劉 娟

（蚌埠學院，安徽 蚌埠233030）

0 引言

近年來傳染病模型受到了國內外學者的廣泛關注，成為生物數學模型中重要的一類模型。利用微分方程理論研究傳染病模型可以說明傳染病的傳播特性，能實現對傳染病的預防與控制。目前對確定型傳染病模型研究得較多，許多有意義的結果被得出［1-6］。但是在現實的環(huán)境中，隨機干擾無處不在，隨機因素對傳染病的爆發(fā)有重要的影響，因此，在確定型模型中加入隨機擾動項是很有必要的。文獻［7］研究了下列具有時滯項的傳染病模型：

（1）式中S(t)、I(t)、Q(t)、R(t)分別表示易感者、染病者、隔離者、治愈者在時刻t的數量［8-10］。 A 表示人口的常數輸入率，μ為人口的自然死亡率，假設易感者、染病者、隔離者具有相同的死亡率，μ1，μ2表示染病者、隔離者的因病死亡率，c1，c2和k均為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移率為感染率函數。文獻［7］研究了模型（1）Hopf分支的存在性。

對于某些傳染病而言，確定型模型是無法全面描述其傳染規(guī)律的，模型（1）并未考慮到疾病傳播過程中存在的白噪聲，而白噪聲可以引起系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生變化，甚至導致系統(tǒng)中的某一群體滅絕。因此考慮到白噪聲的影響，本文在模型（1）中引入隨機擾動項。假設外界白噪聲主要影響參數為β，即βdt→βdt+σdB(t) ，B(t) 為 標 準 的 布 朗 運 動 且B(0)=0，σ2為白噪聲強度，這樣可以得到傳染病系統(tǒng)（2）。本文將研究隨機傳染病模型（2）正解的存在唯一性及疾病何時消失。

1 系統(tǒng)正解的存在及唯一性

定理1 任意給定的初始條件X(0)=(S(0)，I(0)，Q(0)，R(0))，系統(tǒng)（2）存在唯一的解，且該解以概率1 存在于中，即系統(tǒng)（2）存在唯一的全局正解。

證明 設I=ev(t)，即v(t)=lnI，利用It?公式有

則將系統(tǒng)（2）變?yōu)?/p>

易知系統(tǒng)（3）與系統(tǒng)（2）等價，且系統(tǒng)（3）滿足局部利普希茨條件，則對任意的初始條件，系統(tǒng)（3）存在有唯一的局部解X(t)(t∈[0，τe])，其中τe是系統(tǒng)的爆破時間。以下證明X(t) (t∈[0，τe])是系統(tǒng)（2）的全局正解，只要證明τe=∞a.s.，就可得該結論。

設k0≥1，能使(S(0)，I(0)，Q(0)，R(0))都位于區(qū)間中，再設k≥k0，設停時

或max(S(t)，I(t)，Q(t)，R(t))≥k}

規(guī)定inf ?=∞，由停時定義知τk是k的單調增函數，設如能證明τ∞=∞，則τe=∞且X(t) ∈(t≥0)。所以利用反證的思想證明τ∞=∞，假設τ∞≠∞，則存在常數T 及ε∈(0，1)，有

成立，故存在k1≥k0，使得對所有的k≥k1，有

對于系統(tǒng)（2），將等式兩邊相加得

對于d(S+I+Q+R)=[A-μ(S+I+Q+R)]dt

利用初值X(0)=(S(0)，I(0)，Q(0)，R(0)) ，可求得

為系統(tǒng)（2）的正不變集。

定義

令T＞0，則對任意t:0 ≤t≤τkT，利用It?公式有

令

則

將（6）式代入（5）式得

對（7）兩邊取0到τkT的積分，再取期望得

對所有的k≥k1，有P{τk≤T}＞ε。而對每個ω∈{τk≤T}，S(τk,ω)，I(τk，ω)，Q(τk，ω)，R(τk，ω)這四個量中至少有一個等于k或，則

由（8）得

其中Ωk={τk≤T}，1Ωk(ω)為Ωk的示性函數，令k→∞，得

矛盾，故假設不成立，由此證明了τe=∞a.s.，則系統(tǒng)（2）存在唯一的全局正解。

2 系統(tǒng)疾病的滅絕性

以下討論系統(tǒng)（2）中疾病的滅絕條件，對于疾病何時消失，有如下的定理。

定理2 設X(t)=(S(t)，I(t)，Q(t)，R(t)) 為系統(tǒng)（2）的解，對于任意初始條件X(0)∈Γ?，若

則

證明 利用It?公式，將系統(tǒng)（2）中的第二項變?yōu)?/p>

將上式兩邊取0到t的積分，再除以t，得

即得

由強大數定律得在（9）式兩邊取上極限，并將（10）式代入（9）式得

3 結論

本文在文獻［7］基礎上，討論了一類具有隨機擾動的SIQR模型的正解存在性及疾病的滅絕性，定理2的結果表明，在滿足一定條件的前提下，若能使白噪聲強度足夠大，則疾病I（t）幾乎處處指數趨于0，即疾病將滅絕，幾乎消失。定理說明了外界白噪聲對傳染病系統(tǒng)的影響，具有一定的生物學意義。