摘要：隨著我國(guó)航空事業(yè)的不斷發(fā)展，航空器發(fā)動(dòng)機(jī)的精確化水平越來(lái)越高，為提升航空器發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)水平，首先需要通過(guò)精確化的數(shù)學(xué)模式對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)中重要的部件進(jìn)行描述。阿基米德雙導(dǎo)程蝸桿是航空器發(fā)動(dòng)機(jī)中重要的傳動(dòng)裝置，做好該裝置的模型構(gòu)建工作能夠使發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)更加緊湊、降低噪聲，對(duì)于提高航空器性能有著不可替代的重要意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;阿基米德雙導(dǎo)程蝸桿;構(gòu)建方案

中圖分類(lèi)號(hào)：V23

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-5922（2020）06-0162-05

阿基米德雙導(dǎo)程蝸桿是一種普遍用于航空器的新型蝸桿，該蝸桿的主要特點(diǎn)在于同側(cè)齒面導(dǎo)程相等而對(duì)側(cè)齒面發(fā)程不等[1]。由于現(xiàn)階段航空領(lǐng)域?qū)τ诎⒒椎码p導(dǎo)程蝸桿的應(yīng)用尚處于初始階段，不同機(jī)構(gòu)所采用的加工方法、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)各不相同，并且標(biāo)準(zhǔn)不一，需要通過(guò)數(shù)學(xué)模型對(duì)阿基米德雙導(dǎo)程蝸桿進(jìn)行更加精確的描述，通過(guò)精細(xì)化的設(shè)計(jì)使該部件的結(jié)構(gòu)更加合理、空間更加緊湊[2]。

1 坐標(biāo)系的建議與坐標(biāo)變換

在針對(duì)雙導(dǎo)程蝸桿建立模型之前，首先應(yīng)當(dāng)依照雙導(dǎo)程蝸桿的幾何特性以及蝸輪齒面與蝸桿之間的共軛關(guān)系建立坐標(biāo)系[3]。能夠合理地建立坐標(biāo)系統(tǒng)一方面會(huì)影響到運(yùn)算的難易程度，還一方面也決定著整個(gè)建模過(guò)程是否順利[4]。

在建立模型時(shí)，首先需要于標(biāo)準(zhǔn)截面上固定σ=o· xyz的位置，選定蝸桿的螺旋長(zhǎng)度的1/2處并將其設(shè)定為坐標(biāo)原點(diǎn)[8]。將固定坐標(biāo)系所在位置設(shè)置為σ1=o1-x1y1z1的起始位置，將蝸桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角度設(shè)為

2 阿基米德雙導(dǎo)程蝸桿齒面的數(shù)學(xué)模型

設(shè)有一個(gè)固定坐標(biāo)系xoz，將雙導(dǎo)程蝸桿的標(biāo)準(zhǔn)齒厚的齒置于該空間中，具體形式如圖2所示，將軸向齒形解記為α，將蝸桿分度圓半徑記為r0，蝸桿的任意半徑為r，軸線與Q點(diǎn)之間的距離為u[9]。

根據(jù)圖2所體現(xiàn)出來(lái)的幾何關(guān)系可知：

在雙導(dǎo)程蝸桿繞逆時(shí)針繞z軸旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為θ，那么m1與m2也將會(huì)在z軸向左移動(dòng)，同時(shí)隨σ1=o1一x1y1z1旋轉(zhuǎn)，由坐標(biāo)變換原理可知，σ→σ1，的變化矩陣可以作如下表示：

上式中的螺旋參數(shù)即為p。

當(dāng)σ1，繞z1軸以螺旋參數(shù)為p、切身角速度為v做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，齒面上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)描述出雙導(dǎo)程桿的螺旋面[10]。在作逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，蝸桿左右兩側(cè)齒面上的點(diǎn)同樣會(huì)呈蝸旋運(yùn)動(dòng)，即在z軸上向左運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)的距離可以表示為pyθ和Pzθ，在此基礎(chǔ)上，設(shè)左齒面變化矩陣為M1，右齒面變化矩陣為

3 雙導(dǎo)程蝸輪齒面的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖1～圖2所示，將與蝸桿固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系設(shè)定為σ1=o1-x1y1z1，將與蝸輪固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系設(shè)定為σ2=o2-x2y2z2。無(wú)論蝸桿與蝸輪采用線嚙合還是點(diǎn)嚙合，均可以通過(guò)以下嚙合方程式進(jìn)行表示：

上式將蝸桿蝸輪齒面接觸點(diǎn)的法線矢量記為n;將蝸桿與蝸輪之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度記為V12。本次研究通過(guò)中法線矢量的計(jì)算方法來(lái)求解雙導(dǎo)程蝸桿齒面上任意一點(diǎn)的法線矢量，具體采用如下計(jì)算方法：

根據(jù)曲面的方程的表達(dá)式可知，參數(shù)r與O決定著法線矢量;根據(jù)曲面上任意點(diǎn)法線矢量的表達(dá)式可知，采用坐標(biāo)變換的方式能夠推導(dǎo)出不同坐標(biāo)軸上同一個(gè)自由矢量的分量變換關(guān)系[15]?；讦?=o1-x1y1z1中蝸桿螺旋齒面的表達(dá)方法，則可以在σ=o - xyz表示齒面上任意一點(diǎn)的分量，表達(dá)方式具體如下：

4 結(jié)語(yǔ)

本次研究針對(duì)航空用阿基米德雙導(dǎo)程蝸桿進(jìn)行了精確化的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建，所取得的研究成果對(duì)于航空改動(dòng)機(jī)內(nèi)部的設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值。在未來(lái)的研究工作中，還需要進(jìn)一步分析延長(zhǎng)漸開(kāi)線雙導(dǎo)程蝸桿數(shù)學(xué)模型，使針對(duì)航空用阿基米德雙導(dǎo)程蝸桿的研究更加深入，豐富航空改動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)的參考條件。

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作者簡(jiǎn)介：霍一飛（1987-），男，河北石家莊人，碩士研究生，講師，研究方向：飛行器制造。