陳和柏 陽豪 張瑞

(中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長沙,410083)

1 背景介紹和主要結(jié)果

在1900年,著名數(shù)學(xué)家Hilbert在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了著名的Hilbert 23個(gè)問題[16].直到現(xiàn)在，這些問題還在引領(lǐng)世界數(shù)學(xué)發(fā)展,其中還有多個(gè)無法解決.關(guān)于Hilbert第16問題的第二部分,講述的是

(1.1)

的最大極限環(huán)數(shù),以及它們的相對(duì)位置,其中P,Q是次數(shù)不高于n次的多項(xiàng)式.當(dāng)n=1時(shí), 系統(tǒng)(1.1)無極限環(huán).然而,即使是n=2的情形,我們也僅知道其最大極限環(huán)數(shù)大于等于4.著名數(shù)學(xué)家Smale在[25]中寫到“I spent much time on the following special case of problem 7, corresponding to Liénard’s equation”,即花費(fèi)許多時(shí)間來解決該猜想,但也毫無頭緒, 并在[25, 26]中建議先解決限制在Liénard系統(tǒng)上的Hilbert第16問題.Lins,Melo和Pugh在[20]中研究了如下的Liénard系統(tǒng)

(1.2)

和

其中F(x)是關(guān)于x的五次多項(xiàng)式，ε是充分小的正數(shù)，對(duì)Lins-Melo-Pugh猜想給出了肯定回答.進(jìn)一步可以問，對(duì)n≥6的情形,系統(tǒng)(1.2)的最大極限環(huán)是關(guān)于n的一個(gè)什么函數(shù)關(guān)系.關(guān)于該猜想的更詳細(xì)的結(jié)果和發(fā)展，可參見[19].

上面講述的均是g(x)=x的結(jié)果，還有更多關(guān)于多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)的結(jié)果，可參見[4, 5, 23].現(xiàn)在介紹g(x)為二次及更高次多項(xiàng)式的結(jié)果.當(dāng)g(x)為二次多項(xiàng)式且f(x)為一次多項(xiàng)式時(shí)，1988年Coppel[8]給出了其極限環(huán)的唯一性；1992年P(guān)erko[24]給出了其完整的分岔圖和全局相圖；2013年Gasull等[14]發(fā)展了[15]中的方法給出了Perko對(duì)其同宿分岔曲線性質(zhì)的猜想.當(dāng)g(x)為三次多項(xiàng)式且f(x)為一次多項(xiàng)式時(shí)，1990年Dumortier和Rousseau[13]給出了完整的分岔圖和全局相圖(除了焦點(diǎn)情形中圍繞三個(gè)奇點(diǎn)的極限環(huán)的唯一性是猜測(cè)外)；1996年Dumortier和李承治[11]發(fā)展了Coppel方法證明圍繞三個(gè)奇點(diǎn)的極限環(huán)的唯一性問題，即解決了Dumortier本人和Rousseau的猜想.當(dāng)g(x)為二次多項(xiàng)式且f(x)為二次多項(xiàng)式時(shí)，1997年Dumortier和李承治[12]完整地給出了其分岔圖和全局相圖.到目前為止，只有這幾類多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)被完整研究，而且它們的極限環(huán)數(shù)目至多為1.

(1.3)

其中(a,b,c)∈2×[0,+∞)，其有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)以及極限環(huán)的個(gè)數(shù)問題已經(jīng)在[6]中給出，但是該系統(tǒng)在Poincaré圓盤上的全局相圖還沒有完整給出.在本文中，我們進(jìn)一步給出完整的分岔圖以及在Poincaré圓盤上的全局相圖.

定理1.1系統(tǒng)(1.3)的分岔圖由以下分岔曲面構(gòu)成

(a)超臨界Hopf分岔曲面：H1={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a=0,b>0}；

(b)次臨界Hopf分岔曲面：H2={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a=0,b<0}；

(c)二重環(huán)分岔曲面：DL={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|b=η(a,c)}；

(d)Bautin分岔曲線：O={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a=b=0},

并且η(a,c)是a的減函數(shù).分岔曲面在c=c0≥0時(shí)的切面以及在Poincaré圓盤上的全局相圖如圖1所示，其中

圖1 系統(tǒng)(1.3)的分岔圖的切片c=c0≥0和在Poincaré圓盤上的全局相圖

I={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a>0,b>η(a)},

II={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a>0,b<η(a)},

III={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a<0}.

(1.4)

其中(a,b,c)∈2×+,我們有如下的定理.

定理1.2系統(tǒng)(1.4)的分岔圖由下列分岔曲面構(gòu)成

(a)廣義超臨界Hopf分岔曲面∶H1={(a,b,c)∈2×+|a=0,b≥0};

(b)廣義次臨界Hopf分岔曲面∶H2={(a,b,c)∈2×+|a=0,b<0};

圖2 系統(tǒng)(1.4)的分岔圖的切片c=c0≥0和在Poincaré圓盤上的全局相圖

I={(a,b,c)∈2×+|a>0,b>φ(a)},

II={(a,b,c)∈2×+|a>0,b<φ(a)},

III={(a,b,c)∈2×+|a<0}.

本文第二部分回顧一些關(guān)于Liénard系統(tǒng)唯二性的結(jié)果以及多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)(1.3)和(1.4)在Poincaré圓盤上無窮遠(yuǎn)處的軌道性質(zhì)，第三部分給出主要定理結(jié)果證明，第四部分給出數(shù)值結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

為了證明主要結(jié)果，在本節(jié)中，我們引入一些已有的結(jié)果.考慮如下的廣義Liénard系統(tǒng)

(2.1)

定理2.1[6, Theorem 1.1] 針對(duì)系統(tǒng)(2.1)，假設(shè)下列條件成立:

(C1)F(x)在某區(qū)間(-d,d)內(nèi)Lipschitz連續(xù)，且F(-x)=-F(x);

(C2)當(dāng)x=β1,β2時(shí),F(x)=0;當(dāng)x∈(β1,β2)時(shí),F(x)<0;當(dāng)x∈(0,β1)∪(β2,d)時(shí),F(x)>0，且當(dāng)x∈(β1,α1)∪(α1，d)時(shí),F(x)∈C1,當(dāng)x∈(β1,α1)時(shí)，F(xiàn)′(x)≤0，其中0<β1<α1<β2

(C3)g(x)∶=g0(x)+csgn(x),其中c≥0,g0在(-d,d)內(nèi)Lipschitz連續(xù)且對(duì)任意x≠0,xg0(x)>0;

2.5.3 包封率和載藥量 精密量取白藜蘆醇DPPC脂質(zhì)體粉霧劑10 mg，純化水復(fù)溶，加入預(yù)先溶脹的葡聚糖凝膠G-25色譜柱中分離，頂部加純化水洗脫，收集洗脫液，每管2 mL，分別加入無水乙醇定容至10 mL，參考“2.1.2”項(xiàng)色譜條件測(cè)定。計(jì)算包封率、載藥量。

(C4)f(x)或者(F(x)-F(α1))f(x)g(x)在x∈(α1,d)上單調(diào)不減.

則系統(tǒng)(2.1)至多有兩個(gè)極限環(huán)，且當(dāng)極限環(huán)存在時(shí)，或者有一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)和一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)，或者僅有一個(gè)半穩(wěn)定極限環(huán).

定理2.3[10] 考慮多項(xiàng)式Liénard系統(tǒng)

(2.2)

其中m

圖3 系統(tǒng)(2.2)在m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，ε=1時(shí)的無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)

3 主要結(jié)果的證明

3.1 定理1.1的證明

我們只需確定系統(tǒng)(1.3)在無窮遠(yuǎn)處的軌線性態(tài)即可.為此，對(duì)系統(tǒng)(1.3)做如下變換

x′=51/3x,y′=52/3(y-51/3bx3-5x5),t′=5-1/3t.

為了敘述方便，仍用(x,y,t)代替(x′,y′,t′).此時(shí)系統(tǒng)(1.3)可改寫成

(3.1)

系統(tǒng)(3.1)滿足定理2.3的條件，它與系統(tǒng)(2.2)在無窮遠(yuǎn)處的軌道性質(zhì)是拓?fù)涞葍r(jià)的.實(shí)際上，系統(tǒng)(3.1)在x軸上的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，在y軸上的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)為鞍點(diǎn).由于在區(qū)域I∪H1內(nèi)，系統(tǒng)(3.1)沒有極限環(huán)，唯一奇點(diǎn)是穩(wěn)定的，無窮遠(yuǎn)處軌線是發(fā)散的，故連接無窮遠(yuǎn)處的所有軌線的ω極限集為唯一奇點(diǎn)O，因此連接無窮遠(yuǎn)處的所有軌線也連接O；在區(qū)域II內(nèi)，系統(tǒng)(3.1)有唯一奇點(diǎn)O，O是穩(wěn)定的，且有一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)Γ1和一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)Γ2，Γ2環(huán)繞Γ1，因此連接無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有軌線的ω極限集為Γ2；在區(qū)域III∪H2內(nèi)，系統(tǒng)(3.1)有唯一穩(wěn)定的極限環(huán)，顯然連接無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有軌線的ω極限集為此唯一極限環(huán)；在DL上，系統(tǒng)(3.1)有一半穩(wěn)定的極限環(huán)，同樣地，連接無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有軌線的ω極限集是這一半穩(wěn)定極限環(huán).由于系統(tǒng)(3.1)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)無分岔發(fā)生，分岔圖直接可由[6]直接得到，定理得證.

3.2 定理1.2的證明

為了證明定理1.2，首先給出如下幾個(gè)引理.

引理3.1當(dāng)a>0或者a=0且b≥0時(shí)，系統(tǒng)(1.4)的原點(diǎn)O是一個(gè)匯;當(dāng)a<0或者a=0且b<0時(shí)，O是一個(gè)源.系統(tǒng)(1.4)在無窮遠(yuǎn)處的軌線性質(zhì)如圖3所示.

證明顯然

Σ={(x,y)∈2|x=0}

是系統(tǒng)(1.4)的不連續(xù)線.此外，Σ將x-y平面劃分成了3個(gè)子區(qū)域Σ-,Σ,Σ+,其中

Σ-={(x,y)∈2|x<0}, Σ+={(x,y)∈2|x>0}.

因此系統(tǒng)(1.4)可以改寫成

(3.2)

運(yùn)用Filippov方法[1, 18]，考慮在區(qū)域Σ-和Σ+上的標(biāo)準(zhǔn)解以及不連續(xù)線Σ上的滑移解.記

σ(x,y)=<(Hx,Hy),(y-F(x),-x+c)>|x→0-·<(Hx,Hy),(y-F(x),-x-c)>|x→0+,

這里<·,·>代表內(nèi)積，H(x,y)=x.顯然有σ(x,y)=y2,且穿越集Σc和滑移集Σs分別為

Σc={(x,y)2|x=0,y≠0}, Σs={(x,y)2|x=0,y=0}.

同時(shí)，在(0,0)處，內(nèi)積

<(Hx,Hy),(y-F(x),-x+c)-(y-F(x),-x-c)>=0，

也就是說(0,0)是系統(tǒng)(1.4)的奇異滑點(diǎn).

由于O∈Σ,則在O處的Jacobi矩陣不存在.設(shè)

(3.2)

則很清楚地得到

(3.3)

當(dāng)|x|充分小時(shí)，dE/dt的符號(hào)完全由a,b的符號(hào)決定，即

現(xiàn)在，我們有以下斷言：系統(tǒng)(1.4)的從點(diǎn)(0,y0)出發(fā)的流φ(t;0,(0,y0))(這里y0>0且充分小)經(jīng)過有限時(shí)間t0會(huì)再次回到y(tǒng)軸正半軸，即φ(t0;0,(0,y0))=(0,y1)(這里y1>0且充分小)，或者直接連接O.

事實(shí)上，考慮Hamilton系統(tǒng)

(3.4)

設(shè)系統(tǒng)(3.4)過(0,y0)的解為ψ(t).顯然ψ(t)為閉軌，周期為T.根據(jù)解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性，斷言顯然成立.此外，關(guān)于y1與y0的大小關(guān)系，我們有

因此，當(dāng)a>0或者a=0且b≥0時(shí)，y1y0,引理第一部分得證.第二部分同定理1.1的證明，根據(jù)定理2.3的條件易證.

假設(shè)系統(tǒng)(1.4)過初始點(diǎn)(0,y0)(y0>0)的軌線為φ(t;0,(0,y0)),經(jīng)過時(shí)間t0,軌線返回y軸正半軸且交于點(diǎn)(0,y1)，則

即軌線朝著靠近O(0,0)的方向偏移，因此系統(tǒng)(1.4)在此參數(shù)條件下不存在閉軌線.

引理3.3若a<0，b∈或者a=0，b<0,則系統(tǒng)(1.4)有唯一的極限環(huán)，且是穩(wěn)定的.

證明先證極限環(huán)的存在性.由引理3.1可知，原點(diǎn)在此參數(shù)情況下是不穩(wěn)定的.由無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)是發(fā)散的和Poincare-Bendixson環(huán)域定理可知，此時(shí)系統(tǒng)(1.4)必存在穩(wěn)定極限環(huán).我們記最靠近原點(diǎn)O的極限環(huán)為Γ1.

再考慮唯一性.當(dāng)a<0，b∈或者a=0，b<0時(shí)，F(xiàn)(x)=ax+bx3+x5僅有一個(gè)正實(shí)根當(dāng)x∈(0,β2)時(shí)，由引理3.1可知

因此極限環(huán)Γ1不可能位于帶狀區(qū)域|x|≤β2的內(nèi)部，從而它一定會(huì)環(huán)繞包圍(-β2,0)，(β2,0).

假設(shè)除Γ1以外，系統(tǒng)(1.4)還存在其它極限環(huán)Γ2,則必有Γ2環(huán)繞Γ1.如圖4所示，其中A1，D1是Γ1與x=-β2的交點(diǎn)，A2，D2是Γ2與x=-β2的交點(diǎn)，B1，C1是Γ1與x=β2的交點(diǎn)，B2，C2是Γ2與x=β2的交點(diǎn),E2，F(xiàn)2，G2，H2分別是與A1，B1，C1，D1有著相同縱坐標(biāo)且位于Γ2上的點(diǎn).

圖4 當(dāng)a<0，b∈或者a=0，b<0時(shí)，系統(tǒng)(1.4)的極限環(huán)

顯然

從而

因此

(3.4)

同理可得

(3.5)

令yB1=yF2=y1,yC1=yG2=y2,則當(dāng)y1≥y≥y2時(shí)，x2(y)>x1(y).由F(x)的性質(zhì)，在x∈(-∞,-β2)∪(β2,∞),F(x)是單調(diào)遞增的，故F(x1(y))

即

(3.6)

同理可得

(3.7)

又因?yàn)閤>|β2|時(shí)，g(x)F(x)>0, 故我們有

(3.8)

由式(3.4)-(3.8)可得

證明此時(shí)，F(xiàn)(x)=ax+bx3+x5,g0(x)=x,定理2.1中條件(C1)和條件(C3)成立.在這種條件下，F(xiàn)(x)存在兩個(gè)正實(shí)根β1,β2,其中

同時(shí)，f(x)=F′(x)=a+3bx2+5x4也存在兩個(gè)正實(shí)根

另一方面，當(dāng)x≥α1=x2時(shí)，

(a)系統(tǒng)(1.4)恰有一個(gè)極限環(huán)且是半穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)b=φ(a,c);

(b)系統(tǒng)(1.4)有兩個(gè)極限環(huán)且外環(huán)是穩(wěn)定的，內(nèi)環(huán)是不穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)b<φ(a,c);

(c)系統(tǒng)(1.4)沒有極限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)b>φ(a,c).

結(jié)合上述引理，定理1.2得證.

4 數(shù)值仿真與討論

當(dāng)(a,b,c)=(1,-4,1)∈II時(shí)，由定理1.1和1.2，系統(tǒng)(1.3)和(1.4)皆有兩個(gè)極限環(huán).通過數(shù)值仿真，系統(tǒng)(1.3)和(1.4)的確恰有兩個(gè)極限環(huán)，如圖5所示.這驗(yàn)證了我們的理論結(jié)果.此外，在相同的參數(shù)條件下，我們發(fā)現(xiàn)光滑系統(tǒng)(1.3)穩(wěn)定極限環(huán)的振幅大于非光滑系統(tǒng)(1.4)穩(wěn)定極限環(huán)的振幅，光滑系統(tǒng)(1.3)不穩(wěn)定極限環(huán)的振幅確小于非光滑系統(tǒng)(1.4)不穩(wěn)定極限環(huán)的振幅.

圖5 系統(tǒng)(1.3)和系統(tǒng)(1.4)在II上的數(shù)值相圖

當(dāng)a=c=1,b≈-2.0868時(shí),通過數(shù)值仿真，系統(tǒng)(1.3)恰有一個(gè)半穩(wěn)定極限環(huán)；當(dāng)a=c=1,b≈-2.144545時(shí)，通過數(shù)值仿真，系統(tǒng)(1.4)恰有一個(gè)半穩(wěn)定極限環(huán).由此可知，系統(tǒng)(1.3)和(1.4)的半穩(wěn)定分岔曲面的函數(shù)表達(dá)式不一樣，這也說明了分岔圖是不一樣的.

通過數(shù)值仿真，我們可以進(jìn)一步得到φ(a,c)<η(a,c),即系統(tǒng)(1.4)的二重環(huán)分岔曲面位于系統(tǒng)(1.3)的二重環(huán)分岔曲面的下方.

圖6 系統(tǒng)(1.3)和系統(tǒng)(1.4)在各自半穩(wěn)定分岔曲面上的數(shù)值相圖