劉慧

[摘要]現行教材中關于梯形有關概念的編寫，一是概念探索活動的設計缺乏從生活中探究、抽象、提煉出概念的過程，致使思維含量很低;二是有的概念表述不嚴謹或存在科學性錯誤;三是梯形上下底概念界定不明確導致理解的混亂。分析認為，這與對“淡化概念”教學理解的偏頗，致使教學中“形式”與“實質”全面淡化不無關系。

[關鍵詞]教材編寫;梯形;高;上底;下底

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 20-0001-06

梯形是學生在小學第二學段學習的基本圖形之一。關于梯形的有關概念，國內各版本教材安排的時間有所不同：人教版教材安排在四年級第一學期;滬教版教材安排在五年級第一學期;北師大版教材把梯形的概念安排在四年級第一學期，而把梯形的上下底和高安排在五年級第一學期;其他版本教材都是安排在四年級第二學期。由于梯形在生活中有著非常廣泛的應用，且內容比較簡單，各版本教材在編寫時都較充分地體現了新課改的教育理念，注重與生活的聯系和探索活動的設計。然而，研讀、分析教材的編寫以及教學實證后發(fā)現，教材編寫存在著一些不足，有必要對其進行二次開發(fā)。本研究在分析了教材對于梯形有關概念的編寫存在不足的基礎上，對教材進行了二次開發(fā)，并進行教學實踐且取得了良好的效果。

一、梯形概念探索活動的比較分析

綜觀各版本教材，關于梯形概念探索活動的設計雖然大同小異，但從外在形式來看可分為三種情況。

1.“圖形一概念一圖形”的設計

諸多教材中，直接從圖形人手探討梯形概念的只有北師大版教材（如圖1）。它是通過對四邊形進行分類，引導學生觀察、對比后發(fā)現梯形的特征，提煉出概念，再找出梯形的圖形。這是單純從圖形到圖形的設計，前后都沒有聯系生活，學生不能從生活當中體會到學習的必要性，也看不到在生活中的應用。值得肯定的是，通過對比四邊形，學生可能較容易發(fā)現梯形的特征。

2.“構造圖形一概念一生活”的設計

有些教材是讓學生先通過操作活動構造幾個梯形圖形，再歸納圖形的特征，進而得出梯形的概念，而后找一找生活中的梯形。如，滬教版教材（如圖2）和浙教版教材（如圖3）的設計。這體現了讓學生動手動腦進行探索的先進教育理念，也體現了數學知識的應用。雖然兩者的構造方法不同，但教材都是直接給出“圖形的一組對邊平行，另一組對邊不平行”，學生不用思考與探討就能獲得梯形的特征，思維含量很低。另外，聯系生活也僅僅是說明了生活中有梯形這種圖形而已。

3.“生活一圖形一概念”的設計

有些教材是從生活中常見的實物（如梯子、跳箱、足球門、河壩、房頂、畫架、籃球場等）圖片人手，讓學生發(fā)現其中含有一些梯形，再引導學生探討梯形的特征，提煉出有關概念。這樣編寫的教材有人教版教材（如圖4）、蘇教版教材（如圖5）、青島版教材（如圖6-1和圖6-2）、西師大版教材（如圖7）、冀教版教材（如圖8）。這種設計能讓學生體驗到數學知識來源于生活，體會到知識的應用價值。從另一個角度來看，教材中呈現的屋頂、水渠和河壩橫截面等嚴重脫離小學生的生活，要讓他們想象出來很困難;再者，教材也只是告訴學生生活中有梯形而已，這還是從圖形來探討梯形的概念。

綜上可知，各版本教材對梯形概念探索活動的設計實質上都是從圖形到圖形，即使聯系生活也是浮于表面，流于形式，思維含量很低。因為設計沒有真正觸及生活，沒有從生活中抽象、提煉出“這種圖形為什么叫梯形”“為什么只有一組對邊平行，而另一組對邊不平行”“為什么上底比下底短”“生活中的很多事物為什么要設計成這種形狀”等相關知識。實際上，這些都能讓學生從生活中探索、抽象、提煉出來（詳見研究（二）），進而真正理解梯形的有關概念，體會到知識的廣泛應用，做到終身不忘。

二、有的概念表述缺乏嚴謹性或存在科學性錯誤

眾所周知，數學中的概念是學生學習其他數學知識與進行思維的起點和基礎。正確理解數學概念是學生掌握數學知識，進行科學思維，發(fā)展數學能力的前提。但是，一些教材對概念表述缺乏嚴謹性，甚至存在科學性錯誤，主要表現在以下方面。

1.對梯形的高的表述缺乏嚴謹性或存在錯誤

西師大版教材將梯形的高表述為“梯形的高是與兩底都垂直的線段”（如圖7）。顯然，這表述相當不嚴謹。眾所周知，梯形的高是夾在兩底間的垂線段，并不是與兩底都垂直的線段就是高。北師大版教材在五年級上冊一次性就給出了三角形、平行四邊形和梯形的高。首先，給出了“從一個頂點向底引出的、與底垂直的線段就是高”（如圖9）。這不僅犯了與西師大版教材同樣的錯誤，而且“從一個頂點”的前提對平行四邊形和梯形的高來說存在局限性，束縛了學生的思維。也許編者認識到了存在的問題，于是又給出了“平行四邊形可以從邊上任意一點向對邊畫垂線，畫出的這些線段都是高”。這僅僅補充了對平行四邊形的高的定義，還是沒說清畫垂線畫到哪里為止。

若按上述教材的定義，一個梯形（包括三角形和平行四邊形）的高的長度就可以是任意長度。雖然梯形有無數條高，但長度是相等的，不是有無數條長度不同的高，二者不能混淆，毋庸多言。

其次，以下教材中對梯形的高的表述本質是一樣的，只是個別字詞不同，但都存在問題。具體地說，浙教版教材（如圖10）把梯形的高定義為“從梯形上底的一點向下底作一條垂線，這個點和垂足間的線段叫做梯形的高”。滬教版教材（如圖2）把梯形的高定義為“從上底上一點向下底畫垂線，這個點和垂足之間的線段叫做梯形的高”。冀教版教材（如圖8）把梯形的高的定義為“從梯形上底的任意一點向下底引一條垂線，這一點和垂足之間的線段叫做梯形的高”。若根據這三個版本教材的定義，從梯形下底上一點向上底引一條垂線，這個點和垂足之間的線段就不是梯形的高了？顯然，這些定義有失偏頗，且嚴重束縛了學生的思維。

2.四邊形的概念表述錯誤

雖然四邊形的概念不屬于梯形的教學內容，但梯形是四邊形。然而浙教版教材（如圖3）一開始就給出：“畫出與下面各組平行線相交的2條不平行直線，構成一些四邊形。構成的圖形是哪一類四邊形？”這樣的四條直線構成的圖形是四邊形？浙教版教材第80頁“平行四邊形的邊與角”一節(jié)存在同樣的問題：“在一組平行線上，畫出另一組與它們相交的平行線，構成四邊形。這些四邊形有什么特點？”（如圖11）由此可見，這些表述不是失誤或印刷錯誤造成的，是嚴重的科學性錯誤。眾所周知，上述描述中構成的圖形不是四邊形，而是《高等幾何》（射影幾何）中的簡單四線形，《數學辭海》也將其稱為簡單四線形。只能說這樣構成的圖形中有四邊形，或圖形的一部分是四邊形。再者，教材給出的圖形與由四條不共線的線段首尾依次相接圍成的（凸）封閉圖形——四邊形，是一樣的圖形嗎？

當然，上述教材中概念不嚴謹或存在錯誤的問題，可能是考慮到小學生的接受能力，為了體現“淡化概念”的教育理念而精心設計的?？墒?，其他版本教材給出的嚴謹、科學的定義，難道學生就接受不了嗎？這個問題值得我們數學教育工作者深思。

三、梯形上下底界定的不明確導致理解混亂

關于梯形上底和下底的概念，所有教材中都沒有給出明確的界定。有的教材連底的定義都沒有給出，只是在圖形中標出了上底、下底，如人教版教材（如圖4）、青島版教材（如圖12）、北師大版教材（如圖9）;其他教材（如圖2、圖3、圖7、圖8），以及圖13都給出了類似的定義：互相平行的一組對邊分別叫做梯形的上底和下底?？傻降啄臈l是上底，哪條是下底均沒有明確界定，僅僅是在圖中標了出來。最重要的是，所有教材中標出上下底的梯形都是將上下底水平（橫著）放置，且上面的底比下面的底短。

這樣一來就導致學生對上底和下底的理解產生混亂：到底在上邊的叫上底，還是短的叫上底？如果上下底不是水平放置的梯形呢？如果上下底是水平放置的梯形，但短的底在下，長的底在上，又怎么辦呢？這不僅給學生造成了困惑，還讓不少教師也感到困惑。筆者于2019年7月7日6：05上百度搜索“梯形的上底和下底怎么區(qū)分？”得到了“百度為您找到相關結果約9，290，000個”的結果，可見不少人處于困惑之中。擁有4億用戶的“100作業(yè)幫（ https：//www.zybang.com/question/f443f3e088199da30ac4lcba257ecf53html）給出了一個教師與教研組討論及查資料后的“優(yōu)質解答”，主要內容如下：

關于梯形上下底的界定……，大致有以下觀點：一、不論位置上或下，其中較短的一條叫上底，較長的一條叫下底;二、不管它的長短，位置在上的叫上底，位置在下的叫下底。三、如果梯形是橫著放的，平行的一組對邊，上面的叫上底，下面的叫下底;如果梯形是豎著放的，平行的一組對邊畫有高時，有垂直符號的稱下底，另一條稱上底。陜西人民教育出版社出版的《小學教材全解》101頁寫道：“梯形中互相平行的一組對邊中，通常把上邊叫做梯形的上底，下邊叫做梯形的下底?！比嗣窠逃霭嫔绯霭娴摹督處熃虒W用書》93頁提到：“要注意說明，通常把較短的底叫上底，較長的底叫下底?！币苫笾?，個人還是比較支持第一種觀點，因為如果以方位定上下底（即上面的為上底，下面的為下底），那“豎放的梯形”也就是說梯形的兩底在側面，叫它上、下底也不恰當……其實，梯形的上下底之爭完全不必太較真，即使人教版的教學用書也只是用了“通?！倍?，就是習慣上，沒什么科學道理的，也是相對而言的，無論怎樣區(qū)分都不影響梯形的特性。我想這大約也是為什么教科書沒有給出明確定義的原因吧……

對于梯形上下底的理解處于一片混亂狀態(tài)之中，不僅導致教師教學模棱兩可或回避不談，學生更是稀里糊涂，家長指導學生完成家庭作業(yè)時也一籌莫展。

關于梯形的上下底是不是沒有明確的界定？其實，《數學辭海》在“梯形”條目中明確定義：“通常把短的稱為上底，長的稱為下底?！痹僬?，在不同版本的《教師教學用書》中，有的提出了類似的教學建議，有的避而不談。既然有明確界定，那為什么各版本教材中都不說明呢？是為了“淡化概念”，還是和上面那位教師一樣，認為“通?！倍志褪橇晳T，沒有科學道理？抑或是當梯形的上下底不水平放置（橫放），或水平放置（橫放）時長的底在上面，上下的方位與感覺不相符或矛盾，不好解釋，也解釋不通？抑或是不管上底下底，只要不影響梯形面積的計算就行了？

其實，梯形的上下底界定為“短的是上底，長的是下底”是具有科學性的，也沒必要加“通常”二字，因為它來源于人們的現實生活，是對事物抽象的結果（詳見研究（二）），不是隨意而為的。

四、原因分析

眾所周知，數學概念是整個數學大廈的奠基石，它對學生學習數學的重要性毋庸置疑。若說概念探討流于形式還尚無大礙，但概念表述的科學性是必須保證的。當然，由于數學的嚴謹性和抽象性等特征，再加上小學生認知特征的制約，小學教材不可能建立在嚴格的理論體系之上，用通俗易懂的、生活化的語言對數學概念進行宏觀描述是可以的，也是必要的。但是，這些不能成為教材中概念表述不嚴謹，甚至存在科學性錯誤，或回避概念的理由。

回顧課程改革的歷程，基于學生學習數學困難和減負的需要，“淡化概念”教學成為一種“理念”和時尚，課程標準也降低了對數學概念教學的要求。筆者于2019年7月6日8：10在百度搜索“淡化概念教學”，得到“百度為您找到相關結果約3，190，000個”的結果，且絕大多數文章都提出要淡化概念教學，只有極個別的文章提出異議。研讀一些專家的有關論述，發(fā)現“淡化概念”主要有以下觀點：一是不要求學生死記硬背，不出單純考數學概念的題;二是淡化文字敘述，甚至可以不敘述，讓學生了解其大意就行;三是教學不要在概念上下過多的功夫。當然，也指出“淡化概念”教學是“淡化形式”，目的是“注重實質”“講究實效”，讓學生在“用”和“做”中更好地領悟與理解概念。事實上，“淡化概念”的觀點很難實現，甚至存在矛盾。試問：淡化文字敘述，學生只了解概念的大意就能認識到概念的實質？就能更好地理解概念？心理學理論早已表明，實現數學語言和漢語言的轉換是促進學生內化與理解數學知識的關鍵。由此，概念不表述何以進行內化與理解？