張安軍

摘要：數(shù)學(xué)教師應(yīng)該利用數(shù)學(xué)自身的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力?！度切蔚母?、中線與角平分線》一課教學(xué)，可以從數(shù)學(xué)史中挖掘三角形“三線”的相關(guān)問(wèn)題，供學(xué)生探索，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美、接受數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)。相應(yīng)的教學(xué)立意是：挖掘內(nèi)容元素，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)美;創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美;在數(shù)學(xué)美中孕伏適度的挑戰(zhàn)，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)好玩。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)學(xué)習(xí)動(dòng)力《三角形的高、中線與角平分線》

利用數(shù)學(xué)自身的魅力而不是數(shù)學(xué)以外的東西，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，是反對(duì)數(shù)學(xué)教育“去數(shù)學(xué)化”的大背景下，數(shù)學(xué)教師尤其應(yīng)該努力的一個(gè)方向。那么，數(shù)學(xué)自身的魅力包括什么呢？筆者認(rèn)為，至少應(yīng)該包括數(shù)學(xué)的美和適度的挑戰(zhàn)——能帶來(lái)愉悅感和成就感。

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十一章《三角形》第一節(jié)《與三角形有關(guān)的線段》第2課時(shí)的內(nèi)容是“三角形的高、中線與角平分線”。由于內(nèi)容簡(jiǎn)單而單薄，很多教師在課堂上增加了相應(yīng)的練習(xí)。這雖然填充了課堂的內(nèi)容，但使得學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情在做題中慢慢減弱。這促使筆者思考：能否從數(shù)學(xué)史中挖掘三角形“三線”（高、中線與角平分線簡(jiǎn)稱“三線”）的相關(guān)問(wèn)題，供學(xué)生探索，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美、接受數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)？下面，首先呈現(xiàn)基于這一想法的教學(xué)設(shè)計(jì)，然后進(jìn)一步闡述相應(yīng)的教學(xué)立意，與各位同仁交流。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）化靜為動(dòng)，感受“三線”的對(duì)稱美

問(wèn)題1如下頁(yè)圖1，在△ABC中，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上移動(dòng)。在移動(dòng)的過(guò)程中，有沒(méi)有你熟悉的線段AP？

追問(wèn)1你熟悉的線段AP有什么特點(diǎn)？你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這些特點(diǎn)嗎？

追問(wèn)2你能給出你熟悉的線段AP的定義嗎？

追問(wèn)3三角形的高與垂線、三角形的角平分線與角平分線有何區(qū)別？

對(duì)于問(wèn)題1，教師可以利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生觀察線段AP的變化。學(xué)生最容易想到的線段AP是△ABC的邊BC上的高，一方面是因?yàn)槭煜で笕切蚊娣e時(shí)需要高，另一方面則是因?yàn)閷徝溃簝蓷l直線互相垂直是大自然中對(duì)稱美的體現(xiàn)，也是簡(jiǎn)潔美（極值）的體現(xiàn)。同樣地，中點(diǎn)是線段的對(duì)稱中心，角平分線是角的對(duì)稱軸，它們都體現(xiàn)對(duì)稱美。在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，讓學(xué)生在審美的視角下選擇特殊位置的線段AP，然后分別對(duì)這樣特殊的線段進(jìn)行符號(hào)表示、定義提煉以及概念辨析，從而加深對(duì)三角形“三線”概念的理解。

（二）動(dòng)手操作，感受“三線共心”的和諧美與統(tǒng)一美，接受證明的挑戰(zhàn)

問(wèn)題2三角形的中線有幾條？請(qǐng)畫出或折出三角形所有的中線，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

追問(wèn)1三角形所有的中線相交于一點(diǎn)，那么，所有的角平分線相交、所有的高相交又有怎樣的結(jié)果呢？你會(huì)提出哪些猜想？如何驗(yàn)證？

學(xué)生畫出（或折出）三角形的中線后，會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，并驚訝于這是概率很小的事件，卻神奇地發(fā)生了。教師指出這個(gè)結(jié)論在后續(xù)的學(xué)習(xí)中可以證明，激勵(lì)（而不強(qiáng)求）學(xué)生接受證明的挑戰(zhàn)。然后，介紹12歲的愛(ài)因斯坦第一次讀《幾何原本》時(shí)的感受：

在12歲時(shí)，我經(jīng)歷了另一種性質(zhì)完全不同的驚奇，就是在一個(gè)學(xué)年的開(kāi)始，當(dāng)我得到一本關(guān)于歐幾里得平面幾何的小書時(shí)所經(jīng)歷的：這本書里有許多斷言，比如三角形的三條高交于一點(diǎn)，它們本身雖然不是顯而易見(jiàn)的，但是可以很可靠地加以證明，以至任何懷疑似乎都不可能，這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以想象的印象……

接著，讓學(xué)生通過(guò)類比的方法猜想三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，三條高相交于一點(diǎn)，然后畫圖驗(yàn)證，從而感受到數(shù)學(xué)的和諧美和統(tǒng)一美。

（三）聯(lián)系實(shí)際，感受重心的應(yīng)用美與方法美

問(wèn)題3取一根質(zhì)地均勻的木棒，頂住它的重心，它會(huì)保持平衡，那么它的重心分別在哪里？

追問(wèn)1如圖2，把一塊質(zhì)地均勻的三角形木板切成互相平行的一根根木棒，這一組木棒的重心在哪里？

追問(wèn)2三角形木板的重心在哪里？為什么？請(qǐng)你談?wù)勀愕睦斫狻?/span>

當(dāng)學(xué)生驚訝于三角形的三條中線相交于一點(diǎn)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)交點(diǎn)非常重要，就是重心，即重力平衡點(diǎn)，并通過(guò)微分思想進(jìn)行理論證明，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用美和方法美。

（四）拓展探索，感受“三心共線”的奇妙美，接受證明的挑戰(zhàn)

問(wèn)題4如圖3，△ABC的重心為G，垂心（三條高的交點(diǎn)）為H，分別過(guò)△ABC各邊的中點(diǎn)D、E、F作各邊的垂線，交點(diǎn)為O。對(duì)于點(diǎn)H、G、O，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？再任意畫一個(gè)三角形驗(yàn)證你的想法。

在重心和垂心的基礎(chǔ)上，引入外心（不必向?qū)W生介紹這一概念，可以為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“圓”埋下伏筆）。學(xué)生通過(guò)操作、觀察，能夠發(fā)現(xiàn)垂心、重心、外心三點(diǎn)共線，從而再次感受數(shù)學(xué)的奇妙美。教師指出這個(gè)結(jié)論在后續(xù)的學(xué)習(xí)中可以嘗試證明，激勵(lì)（而不強(qiáng)求）學(xué)生接受證明的挑戰(zhàn)。然后，介紹這條直線是數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，被稱作“歐拉線”，鼓勵(lì)學(xué)生勤于思考，善于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題。

（五）“三線”合一，感受等腰三角形的對(duì)稱美和統(tǒng)一美

問(wèn)題5如圖4，AD、AE、AF分別是△ABC的中線、角平分線、高，當(dāng)AD、AE、AF重合時(shí)，△ABC應(yīng)該滿足什么條件？如何驗(yàn)證自己的猜想？

以開(kāi)放的問(wèn)題，讓學(xué)生先猜想結(jié)論，再操作驗(yàn)證。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，三角形的中線、角平分線、高重合時(shí)，三角形是等腰三角形，從而充分感受等腰三角形的對(duì)稱美和統(tǒng)一美。此外，可以進(jìn)一步追問(wèn)為什么這時(shí)中線、角平分線、高重合，讓學(xué)生在說(shuō)理中加深對(duì)“三線”概念的理解。

（六）應(yīng)用性質(zhì)，感受面積等分的創(chuàng)造美和理性美，挑戰(zhàn)適度的困難

問(wèn)題6請(qǐng)用多種方法把如圖5所示的△ABC的面積分成四等份。

追問(wèn)1如何六等分一塊三角形薄餅（厚度忽略不計(jì)，面積記為S）？小明同學(xué)給出了如下操作：

第一步：如圖6，沿邊AB、AC上的中線各切一刀，分成四塊;

第二步：如圖7，再沿邊BC上的中線切一刀，分成六塊。

請(qǐng)問(wèn)：小明第一步分成四塊后，有沒(méi)有面積相等的兩塊？第二步分成的六塊面積相等嗎？為什么？

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，三角形的中線把三角形的面積分成兩等份。那么，如何把三角形的面積分成四等份呢？這個(gè)問(wèn)題有一定的開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性，可以讓學(xué)生獨(dú)立思考，交流碰撞，聚集眾人的智慧，獲得多種不同的分法。如圖8所示是幾種常見(jiàn)的分法。對(duì)于多種不同的分法，可以引導(dǎo)學(xué)生按照審美原則進(jìn)行評(píng)選。由此，學(xué)生可以充分感受到數(shù)學(xué)的創(chuàng)造美。

在追問(wèn)中，學(xué)生不需要給出把三角形的面積六等分的方法，但是需要對(duì)已有的方法進(jìn)行說(shuō)理。這個(gè)問(wèn)題具有一定的深刻性和挑戰(zhàn)性，能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的理性美。

最后是本節(jié)課的回顧反思環(huán)節(jié)，具體設(shè)計(jì)省略。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）挖掘內(nèi)容元素，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)中的概念、符號(hào)、定理、公式、思想、方法等內(nèi)容都蘊(yùn)含著美學(xué)元素。但是，它們都不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷從朦朧到模糊、從模糊到清晰、從清晰到精致的過(guò)程，濃縮了數(shù)學(xué)家集體的智慧。因此，它們的美是內(nèi)隱和深沉的，不如文學(xué)、繪畫、音樂(lè)等來(lái)得直觀和具體。初中生由于知識(shí)水平、個(gè)人閱歷和審美能力的限制，很難欣賞和品味數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的美。因此，教師要用心深入數(shù)學(xué)內(nèi)部，從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思維等角度解讀數(shù)學(xué)內(nèi)容，挖掘美學(xué)元素，并適時(shí)、適度地把數(shù)學(xué)之美融入課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生欣賞、品味。

本節(jié)課，筆者充分解讀三角形的高、中線和角平分線蘊(yùn)含的美學(xué)元素，化靜為動(dòng)，讓學(xué)生尋找線段的特殊狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度、角度的各種平分情況（垂直的本質(zhì)是平角的平分），體驗(yàn)數(shù)學(xué)源于自然的對(duì)稱（以及簡(jiǎn)潔）之美。筆者又充分解讀重心位置證明過(guò)程中的美學(xué)元素，聯(lián)系實(shí)際，讓學(xué)生基于微分思想，自然地發(fā)現(xiàn)三角形的重心恰好是三條中線的交點(diǎn)，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的方法之美。

（二）創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。因此，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，把數(shù)學(xué)內(nèi)容中的美學(xué)元素從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)，作為載體，創(chuàng)設(shè)層層推進(jìn)的活動(dòng)情境，使學(xué)生通過(guò)自身的數(shù)學(xué)活動(dòng)自覺(jué)地發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，從而感到驚訝，受到震撼。

本節(jié)課，筆者讓學(xué)生利用畫圖或折紙的方法得到三角形的三條中線、角平分線、高，甚至三邊的垂直平分線。學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)它們都恰好相交于一點(diǎn)，從而強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)的和諧美與統(tǒng)一美。同樣地，筆者讓學(xué)生在作圖的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)垂心、重心和外心居然在同一條直線上，再次驚訝于數(shù)學(xué)的奇妙。此外，把一個(gè)三角形的面積四等分，引出多種分法等活動(dòng)，則是讓學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。

（三）在數(shù)學(xué)美中孕伏適度的挑戰(zhàn)，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)好玩

除了美，數(shù)學(xué)的魅力還來(lái)自適度的挑戰(zhàn)。誠(chéng)如米蘭·昆德拉所說(shuō)的“麻煩的事情里頭，隱藏著真正的樂(lè)趣”，有挑戰(zhàn)，才好玩，像游戲。陳省身先生倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)好玩”，要在玩中學(xué)、在學(xué)中玩，才會(huì)喜歡、熱愛(ài)數(shù)學(xué)，進(jìn)而自覺(jué)地努力去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，甚至享受其中的艱難。因此，教師要設(shè)置或孕伏一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，通過(guò)明示或暗示，激起學(xué)生的好奇和驚訝，引導(dǎo)學(xué)生接受挑戰(zhàn)，去玩數(shù)學(xué)。

本節(jié)課，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的中線、角平分線和高相交于一點(diǎn)后，必然對(duì)為什么相交于一點(diǎn)感到好奇和驚訝;發(fā)現(xiàn)三角形的垂心、重心和外心在同一條直線上后，必然對(duì)為什么在同一條直線上感到好奇和驚訝。這些都是有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，給學(xué)生留下了探索的空間，激發(fā)了他們的斗志。此外，把一個(gè)三角形的面積四等分，乃至說(shuō)明把一個(gè)三角形的面積六等分的方法是正確的，也都是有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。學(xué)生在眾多具有美感的分法中，在從一個(gè)簡(jiǎn)單、明顯的結(jié)論推導(dǎo)出一個(gè)復(fù)雜、隱蔽的結(jié)論的過(guò)程中，必然會(huì)感覺(jué)到數(shù)學(xué)好玩。

總之，對(duì)數(shù)學(xué)美的追求歸根結(jié)底是對(duì)數(shù)學(xué)真理的追求，對(duì)數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的喜愛(ài)歸根結(jié)底是對(duì)生命活動(dòng)的熱愛(ài)。當(dāng)學(xué)生被激發(fā)出追求美、喜愛(ài)挑戰(zhàn)的情感時(shí)，學(xué)好數(shù)學(xué)自然水到渠成。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李尚志.從數(shù)學(xué)中享受快樂(lè)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2004（12）.