侯艾君，蒲 洋，廖家鋒，2*

（1.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002； 2.西華師范大學(xué)公共數(shù)學(xué)學(xué)院，四川南充637002）

1 前言及主要結(jié)論

考慮如下帶奇異項(xiàng)的 Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

其中，Ω?R3是一個(gè)有界開區(qū)域且具有光滑邊界?Ω，a，b≥0且a+b ＞ 0，m ＞ 0，λ ≥0，1 ＜ p≤6，0＜ γ ＜ 1為非零非負(fù)函數(shù).6為Sobolev空間嵌入到Lp（Ω）（p∈[1，6]）的臨界Sobolev指數(shù).是Kirchhoff型非局部項(xiàng)，故當(dāng) b＞0時(shí)，系統(tǒng)（1）又稱為奇異的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson 系統(tǒng).記

和

當(dāng)a=1，b=λ =0時(shí)，文獻(xiàn)[1]研究了系統(tǒng)（1），即

其中，η=±1，μ＞0.利用變分方法，當(dāng) η=1時(shí)，獲得了系統(tǒng)正解的存在唯一性；當(dāng)η=-1且μ＞0充分小時(shí)，獲得了系統(tǒng)2個(gè)正解的存在性.文獻(xiàn)[2]研究 Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson 系統(tǒng)

其中，Ω?R3是一個(gè)有界開區(qū)域且具有光滑邊界?Ω，a，b≥0 且 a+b＞0，λ，μ∈R+=[0，+ ∞），f∈C（（0，+∞），R+）在 0 附近非增且有（即具有奇異性），g∈C（R+，R+），系數(shù)函數(shù)h為滿足一定條件的正函數(shù)，當(dāng)f、g滿足一定的條件時(shí)，獲得該系統(tǒng)正解的存在性和唯一性.此外，文獻(xiàn)[3]還獲得了帶一般奇異項(xiàng)的 Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的2個(gè)正解.其它有界區(qū)域上的 Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的可參見文獻(xiàn)[4-6].文獻(xiàn)[7-9]研究了系統(tǒng)（1）中單個(gè)方程的非局部問題.文獻(xiàn)[10-15]等對(duì)奇異Kirchhoff型問題進(jìn)行了廣泛研究.

一個(gè)自然的問題：系統(tǒng)（1）是否也存在正解？本文利用變分方法和臨界點(diǎn)理論，證得系統(tǒng)（1）正解的存在唯一性，從而推廣了文獻(xiàn)[1]中定理1.1的結(jié)果.具體結(jié)論如下.

定理1假設(shè) a，b≥0 且為非零非負(fù)函數(shù)，系統(tǒng)（1）都存在唯一的正解

注1一方面，定理1將文獻(xiàn)[1]的部分結(jié)果推廣至奇異的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)；另一方面，文獻(xiàn)[2]只對(duì)具有非局部項(xiàng)的奇異的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)進(jìn)行了研究.定理1將文獻(xiàn)[2]的部分結(jié)果推廣到具有的奇異的 Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson 系統(tǒng).

2 定理的證明

從而，系統(tǒng)（1）的解就等價(jià)于求問題（3）的解.

的最佳Sobolev常數(shù).

首先，為了方便，根據(jù)文獻(xiàn)[1]的引理2.1，給出問題（2）解φu的如下重要性質(zhì).

命題1[1]1）；

2）φu≥0，且當(dāng) u＞0時(shí)，有 φu＞0；

3）對(duì)任意的 t∈R 且 t≠0，有 φtu=t2φu；

引理1假設(shè) a，b≥0且為非零非負(fù)函數(shù)，則泛函 I在能達(dá)到極小值，即存在 u*∈，使得

證明不妨記首先，證明m*是有定義的.由H?lder不等式和（5）式得

根據(jù)命題1中的性質(zhì)2）以及（6）和（7）式可得

這就意味著：m*＜0.接下來，證明在空間中m*是可達(dá)的.

根據(jù)m*的定義，存在一個(gè)極小化序列使得由 I（｜un｜）=I（un），不妨假設(shè) un≥0在 Ω 中幾乎處處成立.顯然，｛un｝在中有界.從而存在一個(gè)子列（仍記為｛un｝）和u*≥0使得當(dāng)n→∞時(shí)，有

令wn=un-u*，只需證明當(dāng)n→∞時(shí)‖wn‖→0.根據(jù)文獻(xiàn)[12]中的（6）式，可得

進(jìn)一步，由（8）式和 Brézis-Lieb 引理可得

一方面，1＜p＜6時(shí)，依據(jù)（8）、（9）式和命題1 中的性質(zhì)5）以及范數(shù)的弱下半連續(xù)性，可得

這就意味著I（u*）=m*.另一方面，p=6時(shí)，依據(jù)（8）～（10）式和命題1中的性質(zhì)5）以及范數(shù)的弱下半連續(xù)性，可得

這就得到I（u*）=m*.引理1證畢.

接下來給出定理1的證明.

定理1的證明事實(shí)上，只需證明為問題（3）的解，即是系統(tǒng)（1）的解.

首先，證明u*（x）＞0在Ω中幾乎處處成立.由，有

根據(jù)Lebesgue控制收斂定理，可得

對(duì)任意的x∈Ω，記

則

這就意味著：h（t）對(duì)一切的t＞0是非增的.進(jìn)一步，對(duì)任意的x∈Ω，有，其中，當(dāng) u*（x）=0且 φ（x）＞0時(shí)，上式值可能是+∞.從而，根據(jù)單調(diào)收斂定理（Beppo-Levi定理），可得

這里可能取到+∞.再結(jié)合（12）式和命題1中的性質(zhì) 6），在（11）式中讓 t→0+，可得

這就意味著u*（x）＞0在Ω中幾乎處處成立.

接下來，證明u*是問題（3）的解.即只需證明u*滿足（4）式.根據(jù)（13）式，只需證明（13）式對(duì)一切的都成立.定義η：[-δ，δ]→R 為η（t）：=I（u*+tu*），則 η 在 t=0 處達(dá)到極小值，這就意味著

當(dāng) ε→0+，有 meas Ω1→0，上式兩邊同時(shí)除以 ε，并令 ε→0+，可推得

因此，這個(gè)不等式對(duì)于-φ也成立，故u*是問題（3）的一個(gè)正解，且 I（u*）＜0.因此，（u*，φu*）是系統(tǒng)（1）的解.

最后，證系統(tǒng)（1）解的唯一性.即證明問題（3）解的唯一性.假設(shè)v*為問題（3）的另一個(gè)解.由（4）式可得

根據(jù)（15）和（16）式可得

其中

根據(jù)H?lder不等式，可得

由0＜γ＜1，p＞1，容易得到

因此

一方面，若 a＞0，再結(jié)合命題1中的性質(zhì)8），由（17）式得到 a‖u*-v*‖2≤0.這就意味著‖u*-v*‖2=0，即u*=v*.另一方面，若 a=0，再結(jié)合命題1中的性質(zhì) 8），由（17）式可得‖u*‖ =‖v*‖，且 J（u*，v*）=0.從而有

即 u*=v*.因此，（u*，φu*）是系統(tǒng)（1）的唯一解.定理1證畢.

致謝西華師范大學(xué)基本科研基金項(xiàng)目（15D006和16E014）和西華師范大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)科研基金項(xiàng)目（CXTD2018-8）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.