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        兩個非線性發(fā)展方程的精確解

        2020-07-04 08:53:30馮立婷孫軼男徐曉明
        科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2020年18期
        關(guān)鍵詞:橢圓函數(shù)波解階數(shù)

        馮立婷 孫軼男 徐曉明

        (東北大學(xué),遼寧 沈陽110004)

        近年來,非線性科學(xué)飛速發(fā)展,許多非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的現(xiàn)象可通過非線性方程的模型進(jìn)行描述。因此,國內(nèi)外眾多學(xué)者對于求解非線性方程進(jìn)行了深入的研究[1-2]。隨著計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,求解非線性方程的精確周期解變得更加簡便。本文對于mKdV 方程[3-4]、KP 方程[5-6]通過修正映射法、拓展Jacobi 橢圓函數(shù)展開法進(jìn)行研究,證明了兩種方法的有效性。

        1 mKdV 方程的修正映射法

        修正的Korteweg-de Vries 方程(以下簡稱mKdV 方程)

        其中α 為自由參數(shù)。此方程在描述等離子的孤立子模型中具有重要作用。

        假設(shè)mKdV 方程的行波解具有形式

        經(jīng)過行波變換,對φ(ξ)積分一次并取積分常數(shù)為0,可得

        設(shè)方程具有以下形式的孤立波解

        根據(jù)其次平衡原則,平衡方程(16)中線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與最高階非線性項(xiàng),即m+3=3m+1,可確定孤立波解的階數(shù)m=1,于是方程(16)具有以下形式的解析近似解:

        其中A0,A1,B1待定。根據(jù)修正的映射法,假設(shè)f 滿足下列方程:

        也即

        結(jié)合(19)、(20)式,可得

        帶入(16)式,整理各次冪系數(shù)并令其為零,可以得到以下非線性代數(shù)方程組:

        通過Maple 或Mathematica 軟件,可解得

        將以上解帶入式(18),可得

        當(dāng)m→1 時,得到解:

        ③當(dāng)f(ξ)=cn(ξ)時,p=2m2-1,q=-2m2,r=1-m2

        當(dāng)m→1時,得到解:

        本章根據(jù)修正的映射法,對mKdV 方程為例,基于齊次平衡原則,求得了經(jīng)典的孤立波解,對分析此類非線程方程描述的物理現(xiàn)象有積極作用。經(jīng)過計算,修改的映射法還可以用于其他形式的非線性方程的求解。

        2 Kadomtsev-Petviashvili 方程的拓展Jacobi 橢圓函數(shù)展開法

        Kadomtsev-Petviashvili 方程(以下簡稱KP 方程)

        其中α,γ,ε 為自由參數(shù)。此方程可以視為KdV 方程在高維情況下的推廣。

        假設(shè)KP 方程的行波解具有形式

        經(jīng)過行波變換,對φ(ξ)積分兩次并取積分常數(shù)為0,可得

        設(shè)方程具有以下形式的孤立波解

        其中f(ξ)=sn(ξ),g(ξ)=cn(ξ)。根據(jù)其次平衡原則,平衡方程(15) 中線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與最高階非線性項(xiàng),即m+2=2m,可確定孤立波解的階數(shù)m=2,于是方程(15)具有以下形式的解析近似解:

        其中a0,a1,a2,b1為待定系數(shù)。根據(jù)Jacobi 橢圓函數(shù)的性質(zhì),求得:

        將上式帶入(15),根據(jù)Jacobi 橢圓函數(shù)的關(guān)系,將(18)中g(shù)j(j=2,3…n)轉(zhuǎn)化為fi(i=1,2,…,n)的多項(xiàng)式,并令figi,(i=1,2,…,n;j=0,1)的系數(shù)為零,可得到方程組

        當(dāng)m→1 時,通過Maple 解以上方程組,可得以下情況:

        下面分析各解的具體情況:

        拓展的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法借助Maple 軟件得到了如(21)-(22)的系列解析近似解,與參考文獻(xiàn)中已知使用混合指數(shù)方法得到KP 方程的解一致。相比較可知,拓展的Jacobi 橢圓函數(shù)展開法更為簡便,并可用于其他形式的非線性方程的求解。

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