四川省成都市第十八中學(xué) (610072) 向 城 安 邦內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 劉成龍

多元變量(二元或以上)的最值(范圍)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，同時(shí)是高考、自主招生、數(shù)學(xué)競賽命題的熱點(diǎn).如何應(yīng)對(duì)該類問題呢？我們認(rèn)為減元是核心.而減元過程中選取恰當(dāng)?shù)墓ぞ呋虿呗允欠浅ｊP(guān)鍵的.研究表明，重要不等式法、待定系數(shù)法、三角換元法、幾何意義法、先猜后證法等在解決多元變量最值(范圍)問題上有強(qiáng)大的功能，文中以2019年高考、自主招生和競賽中的多元變量最值(范圍)問題為例加以說明.

策略1重要不等式法

點(diǎn)評(píng):當(dāng)條件中出現(xiàn)和為定值，而又不能直接運(yùn)用基本不等式時(shí)，可考慮運(yùn)用“1”的代換，構(gòu)造出滿足運(yùn)用基本不等式的條件，達(dá)到減元目的.

分析:利用平面幾何知識(shí)，將ΔBDF的面積用題目中的x，y，z表示出來，問題就轉(zhuǎn)化為求三元函數(shù)的最大值.

圖1

點(diǎn)評(píng):得到目標(biāo)函數(shù)為三元函數(shù)，觀察可發(fā)現(xiàn)x出現(xiàn)兩次，y，z各出現(xiàn)一次，且結(jié)合已知條件有y+z=1+x，利用二元基本不等式消元將三元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，此處利用三元基本不等式整體消元得到最大值，也可從函數(shù)角度求得最大值.

例3 (2019年全國卷Ⅰ理科23題)已知a，b，c是正數(shù)，且abc=1.證明:

(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

(Ⅱ)因?yàn)閍，b，c是正數(shù)，且abc=1，故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3·

策略2待定系數(shù)法

分析:目標(biāo)函數(shù)為三元齊次式，呈現(xiàn)的是積與平方和之間的關(guān)系，考慮用待定系數(shù)法將平方和轉(zhuǎn)化為“積”的形式.

解析:顯然xy+2yz>0時(shí)才能取得最大值.設(shè)x2+y2+z2=(x2+λy2)+[(1-λ)y2+z2]≥

策略3三角換元法

分析:可行域x2+(y-2)2≤1表示的是一個(gè)圓盤，考慮用三角換元.

策略4幾何意義法

例7 (2019年全國卷Ⅲ理科23題)設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z=1.

(Ⅰ)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；

策略5先猜后證法

評(píng)析：牛頓說：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”．波利亞說：“先猜后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道”．本例正是通過猜想，得到了λ的最大值，將原問題轉(zhuǎn)化為了證明一個(gè)具體的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)了問題的簡化.

人的智慧取決于元認(rèn)知能力.心理學(xué)研究表明，反思和總結(jié)是開發(fā)元認(rèn)知的有效途徑.因此，反思和總結(jié)不僅能幫助教師進(jìn)行高效的教學(xué)，也能有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維、邏輯思維、發(fā)散思維、創(chuàng)新思維等.同時(shí)，注意總結(jié)也是單墫教授提出的12條解題要訣之一.文中正是通過對(duì)多元變量最值(范圍)問題的求解策略進(jìn)行總結(jié)和反思，以期讀者對(duì)這一類問題有深刻認(rèn)識(shí).