江蘇省揚州中學(xué) (225009) 戚有建

很多高考題看起來很平凡，實際上卻平而不凡、豐富多彩，都是專家經(jīng)過精心思考編制出來的，是專家集體智慧的結(jié)晶，所以有很大的教學(xué)價值和研究空間，本文從一道高考題出發(fā)，首先研究題目的各種解法，然后研究問題的背景，最后研究背景的應(yīng)用．

一、考題展示

題目已知f(x)=ax3-3x+1對于x∈

[-1,1]總有f(x)≥0成立，求實數(shù)a的值.

點評：本題是2008年高考數(shù)學(xué)江蘇卷14題，是最后一道填空題，是選拔題.考查的是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時考查分類討論、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，本題入口較寬，解法多樣，背景豐富，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的教學(xué)價值和研究價值.

二、解法研究

三、背景研究

本題看似平凡,卻平中見奇，頗具創(chuàng)意，令人回味無窮，那么命題者是如何想到“當(dāng)x∈[-1,1]時ax3-3x+1≥0”的呢？有何命題背景？研究后發(fā)現(xiàn)本題與切比雪夫多項式有關(guān)，本題改編自蘇教版必修4三角變換章節(jié)最后的閱讀材料中的切比雪夫多項式，過程如下：

第一步：由三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα及三角函數(shù)的有界性得4cos3α-3cosα∈[-1,1]；

第二步：換元，令cosα=x，則4x3-3x∈[-1,1]，其中x∈[-1,1]；

第三步：因為函數(shù)y=4x3-3x,x∈[-1,1]是奇函數(shù)，所以簡化為4x3-3x≥-1，其中x∈[-1,1]，即x∈[-1,1]時，4x3-3x+1≥0；

第四步：隱掉x3前的系數(shù)4，該為參數(shù)a．

原來如此，不得不佩服命題者的功力深厚和構(gòu)思精巧．

四、背景應(yīng)用

例1 (南通市高考模擬題)求sin18°的值．