福建省莆田市教師進(jìn)修學(xué)院 (351100) 林 偉

中學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)往往有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性與整體性.在教學(xué)中重視知識(shí)銜接是對(duì)學(xué)生思維拓展和能力延伸的體現(xiàn).本文以知識(shí)銜接視角從全等、相似、共圓、解析幾何等方式呈現(xiàn)對(duì)一道平面幾何題的解析與思考.

圖1

1.試題分析

如圖1,在ΔABC和ΔADE中,∠BAC=∠ADE=90°，AB=AC，AD=DE，連結(jié)EC,求∠BCE的度數(shù).

本題為初中數(shù)學(xué)一道平面幾何題，題目結(jié)構(gòu)比較簡單，以兩個(gè)等腰直角三角形為載體，通過點(diǎn)D的位置需求∠BCE的度數(shù).分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，ΔABC為定三角形，而隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，ΔADE的大小發(fā)生變化，從而帶動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，由設(shè)問可知點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該在一條固定的直線上，所以可以求出∠BCE的度數(shù).本題的適用范圍廣，可通過各個(gè)不同角度來解題從而滲透出平面幾何各部分知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別.

2.試題解析

2.1 從三角形全等的角度

圖2

解析：如圖2過點(diǎn)D作DF⊥BC交CA的延長線于F,由已知得AD=DE,又∠ADF+∠ADC=∠EDC+∠ADC=90°,所以∠ADF=∠EDC,在RtΔCDF中∠FCD=45°,所以DF=DC,所以ΔADF≌ΔEDC.即∠BCE=∠DEA=45°.

評(píng)析：本題欲求∠BCE的度數(shù).從全等三角形的角度出發(fā)，ΔEDC中包含要求的∠BCE，構(gòu)造與ΔEDC全等的三角形是本題的重點(diǎn).在全等三角形中常以平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)做為解題的突破口，本題的解題就是以點(diǎn)D為中心把ΔEDC旋轉(zhuǎn)90°構(gòu)造于之全等的ΔADF.

2.2 從三角形相似的角度

圖3

2.3 從四點(diǎn)共圓的角度

解析：在RtΔABC中，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°.在RtΔADE中，AD=DE,所以∠DAE=∠DEA=45°.則∠DEA=∠ACB，所以A，D，E，C四點(diǎn)共圓，即∠BCE=∠DAE=45°.

評(píng)析：從四點(diǎn)共圓的角度來看，無論圖形如何變化∠DEA=∠ACB始終不變，易判斷出A，D，E，C四點(diǎn)共圓.共圓后利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BCE=∠DAE=45°，也可由∠ADE=90°判斷出AE就是圓的直徑，由圓內(nèi)直徑所對(duì)的圓周角為直角可知AC⊥EC.平面幾何中圓知識(shí)的引入，更好的啟發(fā)學(xué)生從圖形的對(duì)稱和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來研究幾何圖形的性質(zhì).

圖4

2.4 從解析幾何的角度

評(píng)析：本題易從直角三角形的結(jié)構(gòu)特征入手，建立合適的平面直角坐標(biāo)系.求出∠BCE的度數(shù)關(guān)鍵在于確定點(diǎn)E的位置,其中點(diǎn)D為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為從動(dòng)點(diǎn)，求∠BCE的度數(shù)其實(shí)就是確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡的問題.

3.追根朔源，啟發(fā)變式

圖5

根據(jù)幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，采用補(bǔ)形的方法可以得到圖像的載體為正方形.當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)角線BC運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，點(diǎn)E的軌跡落在直線CF上.易得到其一個(gè)變式命題1：

如圖5在正方體ABFC中，D在線段BC上，過D作AD⊥DE交CF于F，求證：AD=DE.

考慮圖形的形狀特征，只要保證兩個(gè)三角形為相似的等腰三角形則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡落在與線段AB平行的直線上.可得到其另一個(gè)變式命題2：

圖6

如圖6,在ΔABC和ΔADE中,∠BAC=∠ADE，AB=AC，AD=DE，連結(jié)EC,求證:AB∥CE.

4.解后反思

本文通過不同的知識(shí)點(diǎn)出發(fā)解題，在構(gòu)造幾何圖形的補(bǔ)助線上有著較大的差異.從數(shù)學(xué)思想的來說，全等到相似是從特殊到一般的過程;從核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來說，全等到相似是從數(shù)學(xué)抽象到直觀想象深化的過程.全等是平面幾何圖形中基礎(chǔ)的關(guān)系，全等可以看作是圖形平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果，這種變換保持圖形的形狀和大小不變.相似則是圖形伸縮變換的一個(gè)過程，圖形的形狀不變而大小發(fā)生變化，要求學(xué)生有更高的直觀想象能力;從數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的銜接來說，平面幾何到解析幾何是幾何與代數(shù)的融會(huì)貫通.