陳新龍

600，3/5，-7.99……這些數(shù)字都是十進(jìn)制數(shù)，因?yàn)槿擞惺种割^，所以最常用的是十進(jìn)制。十進(jìn)制就是滿十進(jìn)一，滿二十進(jìn)二，以此類推……十進(jìn)制數(shù)字按權(quán)展開，第一位權(quán)為10^0，第二位權(quán)為10^1……以此類推，第N位按權(quán)展開10^（N-1），該數(shù)的數(shù)值等于每位的數(shù)值乘該位對(duì)應(yīng)的權(quán)值之和。

在計(jì)算機(jī)的世界里除了十進(jìn)制之外，常用的還有二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制，今天我們就來講一講這個(gè)二進(jìn)制。

二進(jìn)制（binary）在數(shù)學(xué)和數(shù)字電路中指以2為基數(shù)的記數(shù)系統(tǒng)。這一系統(tǒng)中，通常用符號(hào)0和1來表示。數(shù)字電子電路中的高電位和低電位剛好符合二進(jìn)制，因此現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)和依賴計(jì)算機(jī)的設(shè)備中都用到二進(jìn)制。每個(gè)數(shù)字稱為一個(gè)比特（BIT，Binary digit）。

那么日常使用的十進(jìn)制數(shù)是怎樣轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)使用的二進(jìn)制數(shù)呢？

我們先看一下0-10的二進(jìn)制轉(zhuǎn)化十進(jìn)制的對(duì)照表

例如：十進(jìn)制10=二進(jìn)制1010

按權(quán)展開：

1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0=10

例如：十進(jìn)制9=二進(jìn)制1001

按權(quán)展開：

1*2^3+0*2^2+0*2^1+1*2^0=9

初步知道了十進(jìn)制和二進(jìn)制的關(guān)系后，我們思考一下如何將十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制呢？大家可以去網(wǎng)上查閱一下。

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)：十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)采用“除2取余，逆序排列”法。用2整除十進(jìn)制整數(shù)，可以得到一個(gè)商和余數(shù);再用2去除商，又會(huì)得到一個(gè)商和余數(shù)，如此重復(fù)，直到商為小于1時(shí)為止，然后把先得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的低位有效位，后得到的余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的高位有效位，依次排列起來。這就是除二取余法。（圖1）

下面我們來分析將十進(jìn)制正整數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的代碼。問題的核心是將“除2取余，逆序排列”轉(zhuǎn)化成可以執(zhí)行的代碼（圖2）。

設(shè)置了四個(gè)變量，“十進(jìn)制”、“二進(jìn)制”、“商”、“余數(shù)”。

特別要注意二進(jìn)制賦值中為空，否則最后的結(jié)果會(huì)多一位小尾巴0。

將輸入的十進(jìn)制數(shù)設(shè)為“商”。對(duì)它除以2取余數(shù)，將這位“余數(shù)”存入“二進(jìn)制”的個(gè)位，將“商”除以2向下取整存為下一次循環(huán)的“商”。這就是將“除2取余，逆序排列”的計(jì)算步驟轉(zhuǎn)化為編程的循環(huán)語(yǔ)句，一直處理到“商”=0為止。算出每次商除2的余數(shù)，將余數(shù)和二進(jìn)制的數(shù)合并。這樣結(jié)果就可以出來了。

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)方法與整數(shù)不同，要用“乘2取整，順序排列”法。用2乘十進(jìn)制小數(shù)，可以得到積，將積的整數(shù)部分取出，作為二進(jìn)制小數(shù)的高位，再用2乘余下的小數(shù)部分，又得到一個(gè)積，再將積的整數(shù)部分取出，如此進(jìn)行，直到積中的小數(shù)部分為零，或者達(dá)到所要求的精度為止。把取出的整數(shù)部分按順序排列起來，先取的整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)的高位有效位，后取的整數(shù)作為低位有效位。

在計(jì)算機(jī)中將十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)無限循環(huán)的情況。由于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存空間有限，只能保留有限的小數(shù)位。這時(shí)把二進(jìn)制換回十進(jìn)制就會(huì)出現(xiàn)誤差。

比如0.3轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制是0.010011001（1001循環(huán)），0.3轉(zhuǎn)為二進(jìn)制再轉(zhuǎn)回十進(jìn)制就變小了。

0.3≈0.010011001≈0.298828125

這種因存儲(chǔ)空間導(dǎo)致的精度問題是編程上常見的技術(shù)問題，吃透了進(jìn)制轉(zhuǎn)換對(duì)您后續(xù)的編程學(xué)習(xí)有重要的意義。