仇書芹

(四川省成都市龍泉驛區(qū)雙槐中學(xué)校 610000)

一、根據(jù)圓的定義發(fā)現(xiàn)隱形圓

圓在幾何中的定義是：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓.定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑.當(dāng)題目中的條件出現(xiàn)“定長(zhǎng)”、“定點(diǎn)”這些條件時(shí)，可考慮作出隱形圓來解題.

1.定點(diǎn)+定長(zhǎng)模型

例1(2014·成都·B填24)如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是．

因?yàn)镸A′在整個(gè)過程中長(zhǎng)度不發(fā)生變化，A′始終在以M為圓心、MA為半徑的圓上，故當(dāng)A′為MC與圓的交點(diǎn)時(shí)，A′C的長(zhǎng)度最小.

學(xué)生在解決此題時(shí)，由于想到翻折的性質(zhì)—— 對(duì)應(yīng)線段相等，故而想到“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)”這一 結(jié)論，就可以利用 “隱圓”，以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑作出這個(gè)隱藏的圓.再利用圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離的最值問題或一般幾何最值求解模型解決．

2.定點(diǎn)+等距模型

例2(2017·成都·27(3))如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF．

解①證明△CEF是等邊三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的長(zhǎng)．

①證明：如圖2，作BH⊥AE于H，連接BE．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等邊三角形，∴BA=BD=BC.∵E、C關(guān)于BM對(duì)稱，∴BC=BE=BD=BA，F(xiàn)E=FC，∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠AEC=∠ADC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等邊三角形.

例3(2019·成都·28(3))如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-2，5)，與x軸相交于B(-1，0)，C(3，0)兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，若點(diǎn)C′恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)C′和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)P是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△CPQ為等邊三角形時(shí)，求直線BP的函數(shù)表達(dá)式．

解(3)①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，點(diǎn)Q在x軸上方.

∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，∴QB=QC.

∵△CPQ為等邊三角形, ∴QP=QC,∴QB=QP=QC，

∴B、C、P在以Q為圓心QC為半徑的圓上.

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，點(diǎn)Q在x軸下方．

綜上所述，直線BP的函數(shù)表達(dá)式為

從以上例題我們可以看出，當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，并能找到到這個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的一些點(diǎn)時(shí)，就可以根據(jù)圓的定義作出隱形圓.

二、根據(jù)定線對(duì)定角發(fā)現(xiàn)隱形圓

圓中的任意一條弦長(zhǎng)確定，則所對(duì)的圓周角也確定.當(dāng)題目中出現(xiàn)定長(zhǎng)的線段及所對(duì)張角為定角時(shí)，可考慮作隱形圓解題.

1.定弦+直角模型

(3)若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠APB=90°，求k的值．

解如圖5，由題可得：k+m=1，∴m=1-k.

∴直線l:y=kx+1-k,∴kx+1-k=x2-5x+5,

即x2-(k+5)x+k+4=0.

∴x1=1,x2=k+4.

∴B(k+4,k2+3k+1).

設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，∵點(diǎn)P有且只有一個(gè)，∠APB=90°，

∴點(diǎn)P在以 AB為直徑的圓上，以 AB為直徑的圓與

x軸只有一個(gè)交點(diǎn)P，且為切點(diǎn).

∴QP⊥x軸，∴P為MN的中點(diǎn).

2.定弦+非直角模型

解如圖6，∵PE⊥OB，∴∠PEO=90°.

∵點(diǎn)M是內(nèi)心，∴∠OMP=135°.

∵OB=OP，∠MOB=∠MOP，OM=OM，

∴△OMB≌△OMP(SAS)，

∴∠OMB=∠OMP=135°，

∴點(diǎn)M的軌跡是弓形OB上的圓弧，

且∠BQO=2(180°-135°)=90°.

以O(shè)B為斜邊在OB的左邊作等腰Rt△QOB，

以Q為圓心，OB為半徑作圓.

三、根據(jù)定弦對(duì)等角或互補(bǔ)發(fā)現(xiàn)隱形圓模型

當(dāng)位于線段異側(cè)的兩個(gè)角互補(bǔ)或位于線段同側(cè)的兩個(gè)角相等，則這四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，即四點(diǎn)共圓.

例6(2017·重慶·24(2))如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE．

(2)點(diǎn)D是線段BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，連接CD、CF，當(dāng)AF=DF時(shí)，求證：DC=BC．

(2)如圖7，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°.

∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴A，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓，∴∠CFB=∠CAB=45°，

∴∠DFC=∠AFC=135°.

∴△ACF≌△DCF(SAS)，∴CD=AC.

∵AC=BC，∴DC=BC．

例7(2019·張家界·14)14．如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tan∠APD=．

解如圖8，連接AF.

∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF=BE.

易證Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS)，則有AE⊥BF,∠APF=∠ADF=90°.

∴A、P、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠AFD=∠APD.

∴tan∠APD=tan∠AFD=2.

“隱形圓模型”的應(yīng)用實(shí)際上是數(shù)學(xué)建模的其中一種形式，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生親自經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展.

因此要提高學(xué)生解決幾何問題的能力，在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容整理歸納出類型和方法，經(jīng)過加工提煉，得出有指導(dǎo)價(jià)值、有典型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別模型、應(yīng)用模型的能力，能在有限的考試時(shí)間內(nèi)，快速破解難題.