連天虹 王石語 寇科 劉蕓

1) (西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048)2) (西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院， 西安 710071)(2020 年1 月13日收到; 2020 年3 月7日收到修改稿)

給出了離軸抽運(yùn)固體激光器多模速率方程組在閾值附近的小信號求解方法， 用這種方法研究了模式隨離軸量的變化以及厄米-高斯模的競爭行為. 抽運(yùn)光斑較小時， 離軸量增加高階模式依次出現(xiàn); 抽運(yùn)光斑較大時， 模式變化呈現(xiàn)復(fù)雜性. 用小信號近似得到的模式光子數(shù)比例與較高抽運(yùn)功率下數(shù)值求解速率方程組的結(jié)果接近， 表明可以用該方法估算實(shí)際較高功率激光器的模式分布， 這可以方便這類激光器的研究. 對離軸抽運(yùn)下的多厄米-高斯模激光器， 閾值附近的模競爭體現(xiàn)為， 隨著抽運(yùn)功率的增加， 第一個凈增益由負(fù)變正的模式， 光子數(shù)隨即開始增加， 增加趨勢接近線性. 而第二個凈增益由負(fù)變正的模式， 光子數(shù)并不立即開始增加，而要等到抽運(yùn)功率進(jìn)一步增加后才開始增加， 其開始增加后第一個模式的增長趨勢變緩. 從動態(tài)過程看， 各個模式經(jīng)過交叉尖峰和交叉弛豫振蕩競爭后， 逐漸達(dá)到穩(wěn)態(tài). 實(shí)驗(yàn)獲得了HG00-HG50模光束， 實(shí)驗(yàn)所得到的模式分布與理論計算結(jié)果符合很好.

1 引 言

厄米-高斯(Hermite-Gaussian， HG)光束在光通信[1]、渦旋光束產(chǎn)生等方面具有重要的應(yīng)用價值[2，3]，因此， 這類光束的產(chǎn)生一直備受研究人員的關(guān)注.在低功率情況下， 通?？捎每臻g光調(diào)制器將基模高斯光束轉(zhuǎn)換為HG光束[4-6]. 但受轉(zhuǎn)換元件損傷閾值、實(shí)際加工精度等因素的限制， 難以轉(zhuǎn)換出高功率、高純凈度的HG光束. 隨著應(yīng)用研究的深入，在遠(yuǎn)距離空間光通信、探測等應(yīng)用中需要高功率、模式純凈度高的HG光束[7，8]. 用激光器直接產(chǎn)生HG光束在功率水平、模式純凈度方面具有很大的優(yōu)勢， 可為高功率渦旋光產(chǎn)生、遠(yuǎn)距離通信、探測等提供理想的光源. 因此， 用激光器直接產(chǎn)生HG光束成為激光技術(shù)研究的一個熱點(diǎn)[9-14].

HG模是穩(wěn)定球面諧振腔的高階本征模式， 高階模式的亮斑偏離諧振腔軸線. 在二極管端面抽運(yùn)固體激光器中， 可使抽運(yùn)光偏離諧振腔的光軸， 與高階HG模的亮斑達(dá)到模式匹配從而輸出特定的HG光束. 眾所周知， 諧振腔光電場的HG模組成了完備正交的函數(shù)系， 但其模方卻不正交， 即諧振腔中各個HG模的光強(qiáng)空間分布存在一定的交疊，呈現(xiàn)部分交疊部分分離的狀態(tài). 這使得離軸抽運(yùn)時， 抽運(yùn)光難以作用于單個HG模， 而往往是同時作用于若干個HG模. 受抽運(yùn)光作用的這些HG模將產(chǎn)生空間增益競爭， 激光器的穩(wěn)態(tài)輸出模式與抽運(yùn)光分布形式、離軸量等因素有關(guān). 對這種激光器振蕩模式的計算方面， 文獻(xiàn)[15]給出了考慮抽運(yùn)光空間分布和振蕩光模式下各個模式閾值的計算方法， 文獻(xiàn)[16]用這種方法研究了各個模式的閾值，但其成立的條件是只有一個模式振蕩， 不能研究多模競爭問題.

目前， 在固體激光器中迫切需要產(chǎn)生單一的HG模并且實(shí)現(xiàn)模式的調(diào)控[17-21]. 調(diào)控的一個重要方法是使抽運(yùn)光偏離中心軸線與各個高階HG模實(shí)現(xiàn)匹配， 從而實(shí)現(xiàn)模式的調(diào)諧輸出. 在此調(diào)控過程中， 諧振腔結(jié)構(gòu)保持不變， 而抽運(yùn)光通過橫向移動與各個模式發(fā)生匹配. 抽運(yùn)光橫向移動過程中， 將作用于若干個HG模. 為了獲得可控的模式輸出， 需要確定哪些模式最終能夠穩(wěn)定輸出. 本文給出了一種離軸抽運(yùn)下多個HG模激光器模式分布的簡便計算方法. 在諧振腔結(jié)構(gòu)保持不變的情況下， 研究了不同的抽運(yùn)光半徑下， 激光器輸出模式隨離軸量的演變過程， 并研究了模式在閾值附近的競爭行為. 另外， 為了與小信號計算結(jié)果比較，通過直接數(shù)值求解速率方程得到了較高抽運(yùn)功率下的穩(wěn)態(tài)光子數(shù)比例， 并研究了模式競爭的動態(tài)過程. 論文還實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了一些HG模式， 并與理論結(jié)果進(jìn)行了比較分析.

2 理 論

2.1 理論模型

為了簡化問題， 采用如圖1所示的平凹諧振腔進(jìn)行分析. Nd:YAG晶體的端面鍍1064 nm高反射膜和輸出耦合鏡構(gòu)成諧振腔. 以晶體抽運(yùn)端面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、光傳播方向?yàn)閦軸建立直角坐標(biāo)系. 諧振腔長度為L， 輸出鏡的曲率半徑為C. 激光晶體的吸收長度一般都比較短， 如常見的1 at.%摻雜的Nd:YAG晶體， 吸收長度約為1.3 mm. 在這種情況下， 可以近似認(rèn)為增益集中分布在晶體的抽運(yùn)端面， 對腔內(nèi)振蕩光， 可以忽略光斑沿z方向的變化， 只考慮二維分布. 用 P (x，y) 表示抽運(yùn)速率，N (x，y) 表 示反轉(zhuǎn)粒子數(shù)體密度， 用 Φmn(x，y)表示HGmn模的光子數(shù)體密度， 則多個模式振蕩時的速率方程可以寫為

圖 1 端面離軸抽運(yùn)固體激光器圖示Fig. 1. Schematic of an off-axis end-pumped solid-state laser.

其中c為介質(zhì)中的光速， σ為受激發(fā)射截面，τf為上能級壽命，τmn為HGmn模的光子壽命，(x0，y0)為抽運(yùn)光的中心坐標(biāo).

2.2 閾值附近的小信號穩(wěn)態(tài)解

通常情況下， 速率方程(1a)和(1b)不易直接求解. 若激光器工作在閾值附近， 諧振腔中振蕩光場很弱， 可求得其小信號穩(wěn)態(tài)解.

令方程(1a)中 d N/dt=0 ， 可得穩(wěn)態(tài)時的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度為

其中 NE(x，y) 為 穩(wěn)態(tài)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)體密度，ΦEmn(x，y)為穩(wěn)態(tài)時HGmn模的光子數(shù)體密度. 將方程(1b)兩邊在諧振腔體積內(nèi)積分

積分中忽略了z方向反轉(zhuǎn)粒子數(shù)和振蕩光子數(shù)密度的變化， 其中 Lc為諧振腔長度，La為增益介質(zhì)的有效長度， 近似等于吸收長度. 振蕩過程中， 認(rèn)為各個模式的分布形式保持不變， 而光子數(shù) Smn隨時間變化， 可將 Φmn(x，y，t) 用 各模式的光子數(shù) Smn和模式的歸一化分布函數(shù) φmn(x，y) 表示， 即

歸一化分布函數(shù)

其中 Hm(x) 為 m階厄米多項(xiàng)式，ω0為基模振蕩光的半徑， 歸一化條件為.將(4)式代入(3)式， 可得

在穩(wěn)態(tài)下， 令 d Smn(t)/dt=0 ， 可得

將(2)式代入(7)式，

P(x，y，x0，y0)=P0?(x，y，x0，y0)， ? (x，y，x0，y0) 為抽運(yùn)光歸一化分布函數(shù)，為抽運(yùn)速率， 即單位時間抽運(yùn)到上能級的粒子數(shù)， 近似等于單位時間內(nèi)增益介質(zhì)吸收的抽運(yùn)光子數(shù)，為穩(wěn)態(tài)時HGmn模的光子數(shù).

在小信號情況下， 諧振腔中的光子數(shù)很小， 所以 (8)式可以近似為

即

為了方便， 引入以下參數(shù)

則(10)式可以簡寫為

其中求和遍歷所有可能振蕩的模式. αmn具有s—1的量綱， 反映了單位時間內(nèi)光子數(shù)的變化， 包含了抽運(yùn)光與HGmn模的交疊程度及HGmn模光子壽命的影響， 這里稱之為凈增益， 其值為正時表示光子數(shù)增大， 為負(fù)時表示光子數(shù)減小; βmnm′n′反映了抽運(yùn)光與HGmn模、 H Gm′n′模三者的交疊程度. 為了簡化腳標(biāo)， 將模式依次編號

則(12)式可以寫為矩陣形式

其中N為參與振蕩的模式數(shù)目， 利用(13)式可直接求得小信號情況下各個模式的穩(wěn)態(tài)光子數(shù). 需要說明的是， 從(8)式可以看出， 能否滿足小信號條件， 不僅與各個模式的光子數(shù)有關(guān)， 還與模式的歸一化分布函數(shù)有關(guān). 取 ω0=0.15mm，Lc=15cm ，幾個低價模式的光子數(shù)密度的最大值為. 對各模式而言， 符合弱信號條件的腔內(nèi)光子數(shù)大約都在 1 08量級. 當(dāng) ω0和 Lc增大時， 光子數(shù)密度減小， 符合小信號條件的光子數(shù)隨著增大.

3 離軸抽運(yùn)下閾值附近激光器的工作特性

本節(jié)根據(jù)2.2節(jié)中給出的方法， 計算在小功率離軸抽運(yùn)下激光器的模式分布. 對一定的諧振腔結(jié)構(gòu)， 研究抽運(yùn)光半徑分別為振蕩光半徑的一半和與振蕩光半徑相等時， 模式隨離軸量的演變過程. 歸一化分布函數(shù) ? (x，y，x0，y0) 采用(14)式所給形式，

其中 ωp為抽運(yùn)光半徑. 抽運(yùn)速率 P0=Pa/(hνp)，Pa為抽運(yùn)光功率，h νp為抽運(yùn)光光子能量. 對于Nd:YAG，σ =6.5×10-19cm2，τf=230 μs， 抽運(yùn)光波長為808 nm， 吸收長度La取為1 mm. 諧振腔長度Lc取為15 cm， 輸出鏡的曲率半徑C取為200 mm， 對應(yīng)的抽運(yùn)端面處的HG00模振蕩光半徑 ω0約為0.15 mm. 光子壽命 τmn取決于模式的損耗， 在本文的計算條件下， 諧振腔的菲涅耳數(shù)很大， 各模式的衍射損耗近似相等， 可近似認(rèn)為光子壽命由耦合輸出鏡的反射率決定， 即 τmn=Lc/ [c0ln(R)]，c0為真空中的光速. 計算中， 只考慮沿x軸方向離軸的情形， 即 y0=0， 這時離軸量 Δ x=|x0| . 根據(jù)Nd:YAG的晶體參數(shù)及給定的諧振腔參數(shù)， 可以估算出激光器的閾值抽運(yùn)功率約為0.15 W， 為滿足小信號條件， 計算中抽運(yùn)功率取值略高于閾值功率. 為計算簡便又能說明問題， 計算中考慮HG00，HG10， HG20， HG30， HG40， HG50， HG607個模式.這樣， 給定離軸量、抽運(yùn)功率和抽運(yùn)光半徑， 將(14)式及相關(guān)參數(shù)代入(11)式， 求解方程組(13)便可得到一定離軸量下各模式的光子數(shù).

3.1 抽運(yùn)光半徑 ωp=0.5ω0 時的輸出模式

圖 2 抽運(yùn)功率0.25 W、抽運(yùn)光半徑0.075 mm時， 16個離軸量下的光斑Fig. 2. Laser beam profiles with different mode distributions in the sixteen transverse displacements when the pump power is 0.25 W and the pump beam radius is 0.075 mm.

圖2 是 Pa為0.25 W、抽運(yùn)光半徑 ωp=0.5ω0=0.075mm 時， 不同離軸量下各模式光子數(shù)分布形成的光斑. 圖中 γ00:γ10:γ20:γ30:γ40: γ50:γ60表示模式的光子數(shù)比例. 可以看出， 當(dāng)在中心抽運(yùn)時，只有HG00模工作; 隨著離軸量的增加， 模式依次出現(xiàn)演變. 當(dāng)離軸量為0.08 mm時， 為HG00模和HG10模的疊加， 疊加比例為0.58∶0.42， 離軸量為0.11 mm時， HG00模不再出現(xiàn)， 單一HG10模工作. 離軸量再增加時， HG20模出現(xiàn); 當(dāng)離軸量為0.13 mm時， HG10模和HG20模的疊加比例為0.9∶0.1; 當(dāng)增加到0.155 mm時， 這一比例變?yōu)?.46∶0.54， 光斑不再有明顯的暗線， 呈現(xiàn)出模糊的狀態(tài); 當(dāng)增加到0.16 mm時， 呈現(xiàn)出單一的HG20模. 再往后， 隨著離軸量的增加， 各個高階HG模依次出現(xiàn)， 在離軸量為0.22， 0.26， 0.29和0.33 mm時， 分 別 出 現(xiàn)HG30， HG40， HG50和HG60模. 在每兩個模式轉(zhuǎn)換之間， 會出現(xiàn)兩個模式的疊加工作狀態(tài)， 如離軸量為0.27和0.32 mm時.在模式疊加狀態(tài)下， 光斑呈現(xiàn)一定程度的模糊. 在此抽運(yùn)光半徑下， 離軸量適當(dāng)時總會出現(xiàn)單一模式工作的狀態(tài)， 從而可實(shí)現(xiàn)單一模式的選擇和調(diào)控.

通常單一模式激光器抽運(yùn)功率高于閾值后， 振蕩光子數(shù)隨抽運(yùn)功率的增加線性增加. 這里研究兩個模式工作的特點(diǎn)， 圖3所示是離軸量為0.08和0.155 mm時， 對應(yīng)的兩個模式的光子數(shù)在閾值附近隨抽運(yùn)功率的變化情況. 為了分析， 圖4中表示了這兩個離軸量對應(yīng)的兩個模式的凈增益， 沒有表示出的模式， 凈增益均小于0. 從圖3(a)可以看出，當(dāng)抽運(yùn)功率從0.12 W開始增大時， HG00模的光子數(shù)隨之增大， 變化趨勢接近線性， HG10模的光子數(shù)先保持為0; 從圖4(a)所示的凈增益可以看出，HG00模的凈增益由負(fù)變正， 這符合單模在閾值附近的工作特點(diǎn). 當(dāng)抽運(yùn)功率增大到0.13 W時，HG10模的凈增益也由負(fù)變正， 但從圖3(a)看出，這時HG10模的光子數(shù)并未立即開始增加， 而是一直到抽運(yùn)功率增加為0.15 W時， HG10模的光子數(shù)才由0開始增加， 這和單模激光器的工作特點(diǎn)明顯不同. HG10模的光子數(shù)開始增加后， HG00模的光子數(shù)變化曲線出現(xiàn)了一個拐點(diǎn)， 增加趨勢變緩，HG10模光子數(shù)增加斜率要大于HG00模的斜率，但二者均近似線性增長. 從圖3(b)所示的光子數(shù)所占比例看出， 隨著抽運(yùn)功率增加， 二者所占比例趨于穩(wěn)定， HG00模所占比例大于HG10模.

圖 3 在閾值附近， HG00和HG10模光子數(shù)(a)， 光子數(shù)比例(b); HG10和HG20模光子數(shù)(c)， 光子數(shù)比例(d)隨抽運(yùn)功率的變化Fig. 3. Photon numbers of the mode HG00 and HG10 (a)， and their percentages (b); photon numbers of the modes HG10 and HG20 (c)，and their percentages (d) near the threshold.

圖4 (a)中， 抽運(yùn)功率為0.13 W時， HG10模的凈增益開始大于0， 而一直到抽運(yùn)功率增加為0.15 W時， 圖3(a)中HG10模的光子數(shù)才由0開始增加. 產(chǎn)生這一現(xiàn)象的物理原因是: 凈增益反映了沒有其他模式振蕩情況下， 增益介質(zhì)中屬于這個模式的增益. 若諧振腔中沒有其他的振蕩模式， 某個模式的凈增益大于0后， 該模式將達(dá)到閾值， 光子數(shù)將立即由0開始增加; 而當(dāng)諧振腔中有其他模式振蕩， 且其他模式與該模式空間上有交疊時， 原本屬于該模式的一部分增益被其他模式消耗， 此時盡管計算出的凈增益大于0了， 但實(shí)際上該模式并沒有達(dá)到閾值條件. 這實(shí)際上反映了模式的空間交叉飽和效應(yīng)， 是多模速率方程組(1)式或代數(shù)方程組(13)式中模式耦合效應(yīng)的體現(xiàn). 這里， 抽運(yùn)功率為0.13 W時， HG10模的凈增益開始大于0， 但由于HG00模消耗了二者交疊區(qū)域的增益， 使HG10模直至抽運(yùn)功率增加到0.15 W時才開始增加.

圖3(c)是離軸量為0.155 mm時HG10模和HG20模光子數(shù)的變化情況. 當(dāng)抽運(yùn)功率超過0.14 W時， HG10模和HG20模的光子數(shù)幾乎同時開始增長， 從圖4(b)可以看出， 在此抽運(yùn)功率下，兩個模式的凈增益都由負(fù)變正， HG10模的凈增益略大于HG20模的凈增益. 而從光子數(shù)增加趨勢看，兩個模式光子數(shù)的增加偏離線性， HG10模呈現(xiàn)上凸的增長趨勢， HG20模呈現(xiàn)下凸的增長趨勢， 當(dāng)抽運(yùn)功率增加到0.16 W時， 兩個模式光子數(shù)相等，隨著抽運(yùn)功率的進(jìn)一步增加， 兩個模式的光子數(shù)呈現(xiàn)近似線性增加的趨勢， HG20模的增長斜率要大于HG10模的增長斜率. 從圖3(d)看出， 在抽運(yùn)功率在0.16 W以下時， HG10模光子數(shù)所占比例大于HG20模的光子數(shù)， 隨抽運(yùn)功率增加， 前者快速下降而后者上升， 然后逐漸趨于穩(wěn)定， 最終HG20模光子數(shù)所占比例要大于HG10模的光子數(shù).

3.2 抽運(yùn)光半徑 ωp=ω0 時的輸出模式

圖 4 凈增益隨抽運(yùn)功率的變化 (a) 0.08 mm; (b) 0.155 mmFig. 4. Dependence of the net gains on the pump power: (a) 0.08 mm; (b) 0.155 mm.

圖 5 抽運(yùn)功率0.5 W、抽運(yùn)光半徑0.15 mm時， 8個離軸量下的光斑Fig. 5. Laser beam profiles with different mode distributions in the eight transverse displacements when the pump power is 0.5 W and the pump beam radius is 0.15 mm.

此時抽運(yùn)光與振蕩光的有效交疊變小， 若抽運(yùn)功率繼續(xù)保持為0.25 W， 計算發(fā)現(xiàn)離軸后各模式都不能達(dá)到閾值， 因此將抽運(yùn)功率設(shè)定為0.5 W進(jìn)行計算. 圖5是這種情況下， 不同離軸量時的光斑. 可以看出， 在離軸量為0時， 仍然只有HG00模輸出; 當(dāng)離軸量為0.05 mm時， 為HG00模和HG10模的疊加輸出; 而當(dāng)離軸量為0.1 mm時， 變?yōu)镠G00， HG10和HG20三個模式的疊加輸出; 當(dāng)離軸量增加到0.15 mm時， HG00模不再出現(xiàn)， 變?yōu)镠G10， HG20和HG30三個模式的疊加; 當(dāng)離軸量增加到0.175 mm時， HG20模消失， 模式數(shù)目變少， 成為HG10和HG30兩個模式的疊加; 當(dāng)離軸量繼續(xù)增加到0.2 mm時， 模式數(shù)目增加到四個， 成為HG10， HG20， HG30， HG40模的疊加; 而當(dāng)離軸量進(jìn)一步增加到0.25 mm時， 疊加的四個模式變?yōu)镠G20， HG30， HG40和HG50模.可見， 當(dāng)抽運(yùn)光半徑與HG00模的半徑相等時， 隨著離軸量的增加， 總有多個模式參與振蕩， 整體上呈現(xiàn)低階模被抑制、高階模參與振蕩的趨勢， 但具體的演變過程又存在復(fù)雜性， 并不是低級模消失、高階模出現(xiàn)這樣的簡單變化.

圖6是多個模式參與振蕩時， 閾值附近各模式的光子數(shù)及光子數(shù)所占比例隨抽運(yùn)功率的變化， 為便于分析， 圖7給出了模式的凈增益隨抽運(yùn)功率的變化. 圖6(a)和圖6(b)是離軸量為0.1 mm下，HG00， HG10和HG20模的光子數(shù)及其所占比例隨抽運(yùn)功率的變化， 結(jié)合圖7(a)所示這種情況下凈增益的變化可以看出， HG00模的凈增益最大， 隨著抽運(yùn)功率的增加， 其最先由負(fù)變正， HG00模的光子數(shù)最先開始增加， 在其他模式光子數(shù)增加前， 其接近線性趨勢增大. 當(dāng)抽運(yùn)功率增大到0.24 W時，HG10模的凈增益由負(fù)變正， 但此時HG10模的光子數(shù)并未開始增加. 當(dāng)抽運(yùn)功率增大到0.25 W時，HG20模的凈增益由負(fù)變正， 但HG20模的光子數(shù)也并不開始增加. 直至抽運(yùn)功率增加到0.28 W時，HG10模的光子數(shù)才開始增加， 到0.32 W時，HG20模的光子數(shù)才開始增加. 隨著后面兩個模式的增加， HG00模的曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)， 增長趨勢變緩;當(dāng)HG20模的光子數(shù)開始增加后， HG10模的增長趨勢也變緩. 從三個模式光子數(shù)所占比例看， 隨抽運(yùn)功率的增加， 各自所占比例逐漸趨于穩(wěn)定.

圖 6 在閾值附近， HG00， HG10和HG20模光子數(shù) (a)， 光子數(shù)比例(b); HG10， HG20， HG30和HG40模光子數(shù)((c)， (e))， 光子數(shù)比例((d)， (f))隨抽運(yùn)功率的變化Fig. 6. Photon numbers of the modes HG00 ， HG10 and HG20 (a) and their percentages (b); photon numbers of the modes HG10，HG20 and HG30 ((c)， (e)) and their percentages ((d)， (f)) near the threshold.

圖 7 凈增益隨抽運(yùn)功率的變化 (a) 離軸量0.1 mm; (b) 離軸量0.2 mmFig. 7. Dependence of the net gains on the pump power: (a) 0.1 mm; (b) 0.2 mm.

圖6 (c)—圖6(f)是離軸量為0.2 mm下，HG10， HG20， HG30， HG40模的光子數(shù)及其所占比例隨抽運(yùn)功率的變化， 圖7(b)所示是這種情況下四個模式的凈增益. HG30模的凈增益最大， 隨抽運(yùn)功率的增加， 其光子數(shù)最先開始增加， 然后HG20模的光子數(shù)開始增加. 在抽運(yùn)功率接近0.3 W時， HG10模和HG40模的凈增益先后由負(fù)變正， 在抽運(yùn)功率增加到0.31 W時， 這兩個模式的光子數(shù)開始增加. 這時， 前兩個模式光子數(shù)的增長趨勢變緩. 另外我們看到， HG40模要比HG10模增加得快. 從圖6(e)看出， 當(dāng)抽運(yùn)功率增加到約為0.35 W時， HG20， HG30和HG40模的光子數(shù)增長曲線出現(xiàn)了一個交叉點(diǎn)， HG40模的光子數(shù)變?yōu)樽畲螅?之后逐漸過渡為穩(wěn)定增長， HG20和HG30模的光子數(shù)變得十分接近. 從各模式光子數(shù)所占比例看， 隨著抽運(yùn)功率的增加， 經(jīng)過一個復(fù)雜變化過程后， 比例逐漸趨于穩(wěn)定.

4 模式競爭的動態(tài)過程

第3節(jié)中討論了閾值附近穩(wěn)態(tài)時各個模式的光子數(shù)隨抽運(yùn)功率的變化情況. 本節(jié)通過直接數(shù)值求解速率方程(1)分析模式競爭的動態(tài)過程， 同時計算在較高抽運(yùn)功率下各模式光子數(shù)所占的比例，與閾值附近的計算結(jié)果進(jìn)行比較. 計算了與上文對應(yīng)的幾個離軸抽運(yùn)情況下的光子數(shù)動態(tài)變化， 結(jié)果如圖8所示. 從圖8(a)可以看出， 在抽運(yùn)光半徑為0.075 mm， 離軸量為0.08 mm， 抽運(yùn)功率為0.25 W時， 有兩個模式HG00模和HG10模參與振蕩. HG00模先進(jìn)入了尖峰階段， 經(jīng)過數(shù)次尖峰后，HG10模出現(xiàn)第一次尖峰， HG10模尖峰的出現(xiàn)干擾了HG00模的尖峰規(guī)律. 在200—600 μs， 兩個模式呈現(xiàn)交叉尖峰. 在600 μs后兩個模式出現(xiàn)了交叉弛豫振蕩， 1000 μs后逐漸進(jìn)入穩(wěn)態(tài). 從圖8(b)可以看出當(dāng)抽運(yùn)功率增加為5 W時， 仍然為這兩個模式振蕩， 振蕩的動態(tài)過程基本類似， 交叉尖峰和交叉弛豫振蕩的時間縮短. 結(jié)合圖4(a)可以看出，先進(jìn)入交叉尖峰的HG00模的凈增益較大. 抽運(yùn)功率為5 W時， 數(shù)值計算得到的HG00和HG10模光子數(shù)所占的比例為0.59: 0.41， 與閾值附近計算的結(jié)果十分接近.

當(dāng)抽運(yùn)光半徑為0.15 mm， 離軸量為0.1 mm，抽運(yùn)功率為0.5和5 W時光子數(shù)的動態(tài)過程如圖8(c)和圖8(d)所示. 可以看出， 凈增益最大的HG00模最先進(jìn)入了尖峰階段， 經(jīng)過數(shù)個衰減尖峰后， HG10模出現(xiàn)了第一尖峰， HG00模的尖峰規(guī)律被打亂， 二者交叉尖峰， HG20模的尖峰出現(xiàn)后三者交叉尖峰， 尖峰的幅度逐漸衰減過渡到交叉弛豫振蕩階段， 最終進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài). 在5 W抽運(yùn)功率下，HG00， HG10， HG20三個模式的光子數(shù)所占比例為0.40:0.33:0.27， 與閾值附近計算的結(jié)果十分接近.當(dāng)抽運(yùn)光半徑為0.15 mm， 離軸量為0.2 mm， 抽運(yùn)功率為0.5和5 W時光子數(shù)的動態(tài)過程如圖8(e)和圖8(f)所示. 同樣也是這種情況下凈增益最大的HG30模最先出現(xiàn)尖峰， 其他幾個模式的尖峰出現(xiàn)后互相干擾， 整體上呈現(xiàn)幅度減小趨勢， 逐漸進(jìn)入交叉弛豫階段， 最后進(jìn)入穩(wěn)態(tài). 抽運(yùn)功率較大時，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)需要的時間大為縮短. 在5 W抽運(yùn)功率下， HG10， HG20， HG30和HG40模穩(wěn)態(tài)時光子數(shù)所占比例為0.12∶0.25∶0.24∶0.39， 與閾值附近計算的結(jié)果十分接近.

圖 8 光子數(shù)的動態(tài)變化過程 (a) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa = 0.25 W; (b) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa = 5 W;(c) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 0.5 W; (d) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 5 W; (e) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.2 mm， Pa =0.5 W; (f)ωp = 0.15 mm， Δx = 0.2 mm， Pa = 5 WFig. 8. Dynamics of the photon numbers: (a) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa = 0.5 W; (b) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa= 5 W; (c) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 0.5 W; (d) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 5 W; (e) ωp = 0.15 mm， Δx =0.2 mm， Pa = 0.5 W; (f) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.2 mm， Pa = 5 W.

在較高抽運(yùn)功率下， 計算得到的光子數(shù)比例與閾值附近小信號計算結(jié)果接近的原因在于當(dāng)抽運(yùn)功率升高， 各個模式光子數(shù)開始增加的初始階段光子數(shù)隨抽運(yùn)功率的變化比較復(fù)雜， 但當(dāng)抽運(yùn)功率增加到一定值后， 各個模式的光子數(shù)隨抽運(yùn)功率進(jìn)入線性增加階段， 從此以后， 光子數(shù)的比例保持不變，圖3和圖6中各種情況下的光子數(shù)比例變化圖也說明了這一點(diǎn). 大抽運(yùn)功率下， 數(shù)值計算結(jié)果與閾值附近計算結(jié)果一致， 說明我們可以用閾值附近小信號的計算結(jié)果來估算大抽運(yùn)功率下各個模式光子數(shù)的比例， 從而省去費(fèi)時的數(shù)值計算.

5 實(shí) 驗(yàn)

設(shè)計了一臺離軸抽運(yùn)光纖耦合二極管端面抽運(yùn)Nd: YAG激光器， 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖9所示. 抽運(yùn)源為北京大族天成半導(dǎo)體技術(shù)有限公司的M808± 10-7-F105/22-R2型光纖耦合半導(dǎo)體激光器， 輸出波長808 nm， 纖芯直徑0.105 mm， 數(shù)值孔徑0.22， 耦合透鏡1和耦合透鏡2的焦距分別為20和30 mm， 經(jīng)耦合透鏡變換后的抽運(yùn)光直徑約為0.15 mm. Nd:YAG晶摻雜濃度為1 at.%， 抽運(yùn)端面鍍1064 nm高反、808 nm高透膜. 輸出耦合鏡的曲率半徑為200 mm， 透過率為10%. Nd: YAG晶體和輸出耦合鏡安裝在精密位移臺上， 實(shí)現(xiàn)抽運(yùn)光的離軸. 用光斑分析儀(Cinogy公司， CinCam CMOS-1201)觀察輸出光斑. 實(shí)驗(yàn)中諧振腔長度取為15 cm.

圖 9 離軸抽運(yùn)實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig. 9. Schematic of the experimental setup.

在未離軸時， 激光器在0.4 W抽運(yùn)功率下產(chǎn)生HG00模激光輸出， 將抽運(yùn)功率增加到1 W， 增加離軸量觀察輸出光斑， 結(jié)果如圖10所示. 隨著離軸量的增加， 依次獲得了HG00—HG50模式， 在兩個單模之間， 出現(xiàn)了疊加模式輸出. 本實(shí)驗(yàn)采用的輸出耦合鏡和諧振腔長度， 對應(yīng)的Nd: YAG抽運(yùn)端面處的HG00模半徑約為0.15 mm， 而抽運(yùn)光半徑約為0.075 mm. 從圖10可以看出， 輸出光斑隨離軸量的變化與圖2的理論計算結(jié)果符合很好. 選擇一些離軸量， 研究光斑隨激光功率的變化，圖11是離軸量為0.14 mm時， 光斑隨激光功率的變化. 在該離軸量下， 輸出光斑為HG20模和HG30模的組合， 當(dāng)抽運(yùn)功率在0.7—2.1 W變化時， 激光功率在50—400 mW變化， 而光斑基本保持不變.

圖 10 不同離軸量下的輸出光斑Fig. 10. Output spots with different off-axis displacements.

圖 11 光斑隨激光功率保持不變Fig. 11. The spot keeps unchanged with the variation of the laser power.

圖 12 (a)激光功率隨離軸量的變化; (b)模式能達(dá)到的最大功率Fig. 12. (a) Dependence of the output power on the displacement; (b) the maximum powers of the modes.

圖10 與圖2的符合， 以及圖11中光斑隨功率保持不變的特點(diǎn)， 從實(shí)驗(yàn)上佐證了小信號方法計算的正確性. 圖12(a)是在抽運(yùn)功率為1 W時， 激光輸出功率隨離軸量的變化， 隨著離軸量的增加，輸出功率出現(xiàn)接近線性的下降趨勢. 圖12(b)是各個模式的輸出功率隨抽運(yùn)功率的變化. 激光功率隨抽運(yùn)功率的增加接近線性增加， 但模式階數(shù)越高，功率越小. 高階模式的功率減小， 與實(shí)際諧振腔的衍射損耗及離軸抽運(yùn)時非對稱熱效應(yīng)形成的熱致衍射損耗等因素有關(guān).

6 結(jié) 論

針對離軸抽運(yùn)下固體激光器中多個HG模的競爭問題， 給出了閾值附近的小信號求解方法， 該方法把多模耦合的微分方程組化簡為線性代數(shù)方程組. 用這種方法研究了輸出光斑隨離軸量的變化. 當(dāng)抽運(yùn)光半徑在基模振蕩光半徑的一半以下時， 能選擇出單一HG模; 當(dāng)抽運(yùn)光半徑與基模振蕩光半徑相等時， 會出現(xiàn)三模以至四模輸出. 隨著離軸量的增加， 模式變化的整體趨勢是高階模工作， 低階模抑制， 但具體過程呈現(xiàn)復(fù)雜性. 在多模競爭情況下， 在閾值附近隨著抽運(yùn)功率的增加， 第一個凈增益由負(fù)變正的模式， 對應(yīng)的模式光子數(shù)隨即開始增加. 而第二個凈增益由負(fù)變正的模式， 其光子數(shù)并不立即開始增加， 而要到抽運(yùn)功率進(jìn)一步增加后才開始增加， 其開始增加后第一個模式的增長趨勢變緩， 這體現(xiàn)了模式競爭行為. 從動態(tài)過程看， 各個模式經(jīng)過交叉尖峰和交叉弛豫振蕩競爭過程后， 達(dá)到穩(wěn)態(tài). 較高抽運(yùn)功率下的穩(wěn)態(tài)光子數(shù)比例和小信號計算結(jié)果基本一致， 這使我們可以用小信號方法計算實(shí)際較高抽運(yùn)功率激光器的輸出模式， 方便這類激光器的研究. 實(shí)驗(yàn)獲得了HG00-HG50模光束， 輸出光斑隨離軸量的變化與計算的結(jié)果符合很好.