梁奇鋒 王志 川上拓人 胡曉

1) (紹興文理學(xué)院物理系， 紹興 312000)2) (中山大學(xué)物理系， 廣州 510275)3) (日本大阪大學(xué)大學(xué)院理學(xué)研究科物理學(xué)專(zhuān)攻， 大阪 565-0871， 日本)4) (日本國(guó)立物質(zhì)材料研究機(jī)構(gòu)，國(guó)際物質(zhì)納米結(jié)構(gòu)學(xué)研究中心， 筑波 305-0044， 日本)5) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 卡弗里理論物理研究所， 北京 100190)(2019 年6 月20日收到; 2019 年9 月9日收到修改稿)

Majorana束縛態(tài)具有非阿貝爾量子統(tǒng)計(jì)特性， 是極具潛力的拓?fù)淞孔佑?jì)算方案的核心. 近期有多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究提供了Majorana束縛態(tài)在某些超導(dǎo)體系中的存在證據(jù)， 使其成為近期凝聚態(tài)物理以及量子計(jì)算領(lǐng)域的前沿焦點(diǎn)之一. 本文介紹拓?fù)涑瑢?dǎo)的機(jī)理、Majorana束縛態(tài)的新奇物理特性、實(shí)驗(yàn)觀測(cè)和操作的方法以及相關(guān)量子器件的設(shè)計(jì)， 最后展望該研究方向的發(fā)展前景.

1 引 言

2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予Thouless，Haldane和Kosterlitz， 以表彰他們關(guān)于拓?fù)湎嘧兒臀镔|(zhì)拓?fù)湎嗟拈_(kāi)創(chuàng)性理論研究. 關(guān)于物質(zhì)拓?fù)湎嘀匾缘恼J(rèn)識(shí)起源于von Klitzing在20世紀(jì)80年代發(fā)現(xiàn)的量子霍爾效應(yīng)[1]. 如圖1(a)所示， 在垂直強(qiáng)磁場(chǎng)下半導(dǎo)體界面二維電子系統(tǒng)出現(xiàn)具有線(xiàn)性色散關(guān)系的手征邊緣狀態(tài)， 其承載電流不會(huì)引起能量耗散. Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs(TKNN)理論闡明， 手征邊緣態(tài)的數(shù)量正好由拓?fù)潢悢?shù)給出[2]. Haldane[3]指出當(dāng)時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性被系統(tǒng)的磁性所破壞時(shí)， 即使沒(méi)有外部磁場(chǎng)也可能出現(xiàn)相同的手征邊緣態(tài)， 這被稱(chēng)為量子反?；魻栃?yīng). 2005年， 人們發(fā)現(xiàn)了在時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)情況下由于自旋軌道耦合而產(chǎn)生的另一類(lèi)拓?fù)鋺B(tài)， 即量子自旋霍爾效應(yīng). 其特征在于螺旋邊緣狀態(tài)， 相反自旋的電子分別朝相反方向運(yùn)動(dòng)[4，5]， 由Z2拓?fù)鋽?shù)描述. 經(jīng)典的能帶理論根據(jù)費(fèi)米能處有無(wú)能隙將材料劃分為金屬和絕緣體， 而能帶拓?fù)涞难芯恐赋鼋^緣體里面還有能帶拓?fù)淦接购头瞧接怪? 拓?fù)浣^緣體的邊緣態(tài)由于受到體能帶拓?fù)湫再|(zhì)的保護(hù)， 對(duì)材料缺陷或外界擾動(dòng)呈現(xiàn)魯棒性， 更有利于最先進(jìn)的量子器件的開(kāi)發(fā). 因此， 10多年來(lái)拓?fù)湫?yīng)引起了科學(xué)家的極大關(guān)注， 拓?fù)湮锢韺W(xué)和相關(guān)的材料科學(xué)也因此迎來(lái)了快速的發(fā)展.

和絕緣體一樣， 具有能隙的超導(dǎo)態(tài)也可以劃分為具有非平庸拓?fù)涮卣鞯某瑢?dǎo)態(tài)和平庸的超導(dǎo)態(tài).因?yàn)槌瑢?dǎo)具有粒子空穴對(duì)稱(chēng)， 拓?fù)涑瑢?dǎo)的最顯著的特征是其零能的準(zhǔn)粒子激發(fā)[5-10]. 這些被稱(chēng)為零能Majorana束縛態(tài)的準(zhǔn)粒子， 有利于穩(wěn)定的拓?fù)淞孔佑?jì)算的實(shí)現(xiàn). 本文介紹拓?fù)涑瑢?dǎo)的機(jī)理、Majorana束縛態(tài)的新奇物理特性、實(shí)驗(yàn)觀測(cè)和操作的方法、量子器件的設(shè)計(jì)，并展望該研究方向的發(fā)展前景.

圖 1 (a) 量子霍爾效應(yīng)及量子反?；魻栃?yīng); (b)量子自旋霍爾效應(yīng); (c) 拓?fù)涑瑢?dǎo)的體能帶結(jié)構(gòu)(紅線(xiàn)和藍(lán)線(xiàn))和邊緣態(tài)(綠色)的色散關(guān)系; (d)實(shí)空間邊緣態(tài)的示意圖Fig. 1. Schematic energy band structures for (a) quantum Hall effect and quantum anomalous Hall effect， (b) quantum spin Hall effect， (c) a topological superconductor and (d) schematic diagram of topological edge/surface states in real space.

2 拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)

本節(jié)先從無(wú)自旋p波超導(dǎo)態(tài)出發(fā)， 分析其產(chǎn)生拓?fù)涮匦缘臋C(jī)理. 無(wú)自旋p波超導(dǎo)既是拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的最簡(jiǎn)單的例子， 作為一個(gè)模型它又可以很好地描述混合材料系統(tǒng)的拓?fù)涑瑢?dǎo)性. 一般來(lái)說(shuō)， 超導(dǎo)態(tài)的平均場(chǎng)哈密頓量可以由Bogoliubov-de Gennes(BdG)形式給出:

圖 2 拓?fù)涑瑢?dǎo)約化能隙 g (k)/|g(k)| 的動(dòng)量空間分布Fig. 2. Distribution of normalized topological superconductivity gap g (k)/|g(k)| in momentum space.

3 Majorana束縛態(tài)

作為超導(dǎo)的一般性質(zhì)， 任何準(zhǔn)粒子激發(fā)都可以描述為電子和空穴的疊加， 而電子型激發(fā)(圖1(c)紅色) 的產(chǎn)生與帶有相反能量和動(dòng)量的空穴型激發(fā)(圖1(c)藍(lán)色)的湮滅完全等價(jià). 因此， 圖1(c)中所示準(zhǔn)粒子激發(fā)的色散關(guān)系相對(duì)于原點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)的， 單一手征邊緣態(tài)的色散關(guān)系(綠色)必定通過(guò)原點(diǎn). 一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩端或者二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體量子渦漩所伴隨的零能準(zhǔn)粒子激發(fā)與其他準(zhǔn)粒子激發(fā)之間保持有限的能隙， 具有非常獨(dú)特的量子特性.

因?yàn)檫@兩個(gè)準(zhǔn)粒子由粒子和空穴以完全相等的權(quán)重疊加， 其零能量為零. 1937年意大利理論物理學(xué)家Majorana[13]提出一種新奇費(fèi)米型基本粒子， 其粒子與其反粒子等價(jià). 中微子可能是Majorana粒子， 但至今尚未定論. 因?yàn)?3)式表明粒子等價(jià)于其反粒子， 人們把拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的零能準(zhǔn)粒子激發(fā)稱(chēng)為Majorana準(zhǔn)粒子. 由于它們位于一維超導(dǎo)體的兩端或者二維超導(dǎo)體量子渦漩的中心， 也被稱(chēng)為Majorana束縛態(tài). 因?yàn)榱隳躆ajorana準(zhǔn)粒子滿(mǎn)足(3)式， 其遵循的對(duì)易關(guān)系是與普通費(fèi)米子的交換關(guān)系 {不同. 換句話(huà)說(shuō)， 由電子以及電子對(duì)(庫(kù)珀對(duì))形成的超導(dǎo)態(tài)里涌現(xiàn)出與費(fèi)米子和玻色子滿(mǎn)足不同量子統(tǒng)計(jì)的新奇準(zhǔn)粒子激發(fā)[14]. 這種特性使得Majorana束縛態(tài)可用于拓?fù)淞孔佑?jì)算.

兩個(gè)Majorana束縛態(tài)可以表達(dá)一個(gè)電子態(tài)，

容易驗(yàn)證， 這樣得到的電子態(tài)服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì). 然而，很明顯這里的電子數(shù)只能反映奇數(shù)和偶數(shù)的區(qū)別.這與在宏觀超導(dǎo)體里電子的數(shù)量不確定的特性密切相關(guān). 兩個(gè)Majorana束縛態(tài)存在于一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩端， 或者二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩個(gè)不同的量子渦漩中心. 其在空間上是分離的， 而又形成對(duì)整個(gè)宏觀超導(dǎo)體的電子特性的一個(gè)刻畫(huà)， 因此兩個(gè)Majorana束縛態(tài)之間具有非局域的量子關(guān)聯(lián). 換而言之， 具有Majorana束縛態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)呈現(xiàn)一種典型的量子糾纏. 而利用Majorana束縛態(tài)來(lái)描述超導(dǎo)體的電子奇數(shù)態(tài)和偶數(shù)態(tài)構(gòu)成拓?fù)淞孔游?

在普通的s波超導(dǎo)體里， 兩個(gè)反向自旋的電子形成一個(gè)庫(kù)珀對(duì). 在這種情況下， 由于電子和空穴的自旋彼此相反， 由此定義出來(lái)的準(zhǔn)粒子滿(mǎn)足不了自共軛關(guān)系(3)式. 因此， 普通的s波超導(dǎo)態(tài)不能產(chǎn)生Majorana束縛態(tài).

4 Majorana束縛態(tài)和非阿貝爾統(tǒng)計(jì)

Majorana束縛態(tài)的自共軛性(3)式使得其可能遵循與普通費(fèi)米粒子不同的量子統(tǒng)計(jì)[14]. 我們考察伴隨二維超導(dǎo)體量子渦旋位置交換而產(chǎn)生的Majorana束縛態(tài)的相位變化. 如圖3所示， 每個(gè)量子渦旋都帶有伴隨超導(dǎo)能隙相位2π不連續(xù)地變化的線(xiàn)段. 當(dāng)準(zhǔn)粒子跨越一根線(xiàn)段時(shí)， 其相位增加π(超導(dǎo)能隙相位一半). 在圖3中， 鑒于第二和第三超導(dǎo)量子渦旋交換位置時(shí)只有第三超導(dǎo)量子渦旋跨越第二超導(dǎo)量子渦旋所帶的線(xiàn)段， 所以?xún)H有第三Majorana束縛態(tài)獲得相位π. 所以有利用自共軛性(3)式， 可以將這個(gè)變

換用幺正變換來(lái)表示:

圖 3 利用拓?fù)涑瑢?dǎo)量子渦旋里的Majorana束縛態(tài)實(shí)現(xiàn)非阿貝爾統(tǒng)計(jì)的示意圖， 其中黑色箭號(hào)代表量子渦旋位置交換的軌跡， 當(dāng)量子渦旋跨越紅線(xiàn)時(shí)超導(dǎo)相位發(fā)生2π的不連續(xù)跳躍Fig. 3. Schematics of realization of non-Abelian statistics using Majorana bound states in vortex cores of a topological superconductor. Black arrows denote the exchanging paths of two quantum vortices. Superconducting phase takes a 2π jump when a vortex crosses the red cuts.

進(jìn)一步可以考慮將(5)式用電子態(tài)湮滅算子(4)式以及對(duì)應(yīng)的產(chǎn)生算子來(lái)表達(dá). 如圖3所示，4個(gè)Majorana束縛態(tài) γ1，γ2，γ3，γ4構(gòu)成兩個(gè)電子態(tài) cL=(γ1+iγ2)/2 和 cR=(γ3+iγ4)/2 . 在這種情 況下，γ2和 γ3的交換(5)式可以寫(xiě)成

從表達(dá)式(6)中可以看到， Majorana束縛態(tài)的位置交換對(duì)應(yīng)于電子數(shù)量改變的幺正變換. 例如， 將(6)式作用于 cL和 cR非占據(jù)態(tài) | 0，0〉 產(chǎn)生其本身與占據(jù)態(tài) | 1，1〉 的線(xiàn)性組合態(tài)[14]. 從量子統(tǒng)計(jì)角度來(lái)看， 這明顯不同于玻色子和費(fèi)米子的情形，從而被稱(chēng)為非阿貝爾統(tǒng)計(jì). 由于Majorana束縛態(tài)所描述的量子態(tài)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)， 許多量子系統(tǒng)常見(jiàn)的退相干問(wèn)題受到抑制. 同時(shí)這些新奇的量子態(tài)滿(mǎn)足非阿貝爾統(tǒng)計(jì)， 可以用于穩(wěn)定的量子計(jì)算， 從而吸 引了包括基礎(chǔ)和應(yīng)用各方面的廣泛興趣[7-10].

5 異質(zhì)結(jié)系統(tǒng)中的拓?fù)涑瑢?dǎo)

2000年的一項(xiàng)理論研究揭示一維無(wú)自旋p波超導(dǎo)態(tài)可以產(chǎn)生Majorana束縛態(tài)[7，15]. 近年來(lái)， 眾多研究表明利用數(shù)種材料的組合形成的混合材料可以實(shí)現(xiàn)等效的無(wú)自旋p波超導(dǎo)， 例如拓?fù)浣^緣體的表面態(tài)和s波超導(dǎo)的組合[16]， 具有強(qiáng)自旋軌道耦合的半導(dǎo)體、鐵磁交換相互作用以及s波超導(dǎo)的組合等[17-19]. 目前， 拓?fù)涑瑢?dǎo)的實(shí)現(xiàn)以及Majorana束縛態(tài)的觀測(cè)和操作的競(jìng)爭(zhēng)在全世界范圍如火如荼地展開(kāi)[20-24]. 下面以我們的研究成果為中心介紹幾個(gè)例子.

5.1 一 維量子線(xiàn)

對(duì)于二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體來(lái)說(shuō)， 在體材料的邊界處， 束縛態(tài)變成了連續(xù)的邊界態(tài). 如圖1(c)所示，這些邊界態(tài)滿(mǎn)足連續(xù)的色散關(guān)系， 因此難以實(shí)現(xiàn)受有限能隙保護(hù)的零能量Majorana束縛態(tài). 另一方面， 一維的拓?fù)涑瑢?dǎo)體， 其邊界態(tài)是具有局域波函數(shù)的束縛態(tài)， 而體系具有有限能隙， 因此有利于產(chǎn)生具有拓?fù)浔Ｗo(hù)的零能Majorana束縛態(tài)[15].

為了在實(shí)際體系中實(shí)現(xiàn)一維拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)，Lutchyn等[19]提出了一種如圖4(a)所示的超導(dǎo)體-半導(dǎo)體混合系統(tǒng). 在這個(gè)系統(tǒng)里， 半導(dǎo)體納米線(xiàn)具有很強(qiáng)的自旋軌道耦合， 這樣原本具有兩重自旋簡(jiǎn)并的能帶結(jié)構(gòu)就在動(dòng)量方向上發(fā)生劈裂(如圖4(b)所示)， 具有向外自旋的電子能帶向左平移， 而具有向內(nèi)自旋的電子能帶則向右平移. 此時(shí)， 費(fèi)米能附近主要有兩類(lèi)電子態(tài): G點(diǎn)附近的線(xiàn)性Dirac電子，以及兩邊kF費(fèi)米動(dòng)量附近的電子態(tài). 如果在納米線(xiàn)上施加足夠大的外部磁場(chǎng)， 塞曼劈裂就會(huì)打破時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性帶來(lái)的Kramers簡(jiǎn)并性， 使得G點(diǎn)附近的線(xiàn)性Dirac電子消失(圖4(b)). 此時(shí)在該系統(tǒng)中， kF動(dòng)量附近的電子具有動(dòng)量-自旋鎖定， 即相反動(dòng)量的電子攜帶幾乎相反的自旋. 這樣， 由s波超導(dǎo)態(tài)帶來(lái)的Cooper對(duì)可以通過(guò)近臨效應(yīng)在納米線(xiàn)中引致超導(dǎo). 同時(shí)， 由于納米線(xiàn)是一維系統(tǒng)，電子不會(huì)具有回旋運(yùn)動(dòng)， 這抑制了磁場(chǎng)對(duì)超導(dǎo)的破壞. 動(dòng)量-自旋鎖定的能帶結(jié)構(gòu)加上s波超導(dǎo)， 使得超導(dǎo)能隙僅在費(fèi)米能附近的單個(gè)能帶中打開(kāi)， 這樣就在納米線(xiàn)中實(shí)現(xiàn)了等效的無(wú)自旋超導(dǎo)性. 由于泡利不相容， 無(wú)自旋超導(dǎo)體的超導(dǎo)能隙必定具有p波或者f波的空間對(duì)稱(chēng)性. 理論計(jì)算表明圖3中的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于p波超導(dǎo)體[17]， 因此， 盡管此系統(tǒng)的超導(dǎo)Cooper對(duì)來(lái)源于正常的自旋單態(tài)s波超導(dǎo)體， 但通過(guò)近鄰效應(yīng)在自旋軌道耦合的半導(dǎo)體中的實(shí)現(xiàn)了等效的無(wú)自旋p波超導(dǎo)性 .

在最近的實(shí)驗(yàn)中， 哥本哈根大學(xué)的研究組實(shí)現(xiàn)了圖4(a)所示的超導(dǎo)體-半導(dǎo)體雜化系統(tǒng). 他們將超導(dǎo)的金屬鋁生長(zhǎng)在半導(dǎo)體InAs納米線(xiàn)的表面，并施加合適的外部磁場(chǎng)， 然后進(jìn)行庫(kù)侖阻塞的實(shí)驗(yàn)測(cè)量[24]. 在傳統(tǒng)的界觀超導(dǎo)體中， Cooper對(duì)的兩個(gè)電子必須同時(shí)隧穿， 帶來(lái)分立的電導(dǎo)峰， 這是常見(jiàn)的庫(kù)侖阻塞的信號(hào). 然而在這個(gè)新的半導(dǎo)體-超導(dǎo)雜化系統(tǒng)中， 實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)了由單電子隧穿所帶來(lái)的庫(kù)侖阻塞的信號(hào). 這意味著除了常規(guī)的超導(dǎo)基態(tài)(電子占有數(shù)的偶數(shù)狀態(tài))之外， 還存在一種電子占有數(shù)為奇數(shù)的基態(tài). 由于超導(dǎo)體中電子都是以Cooper對(duì)的形式出現(xiàn)， 此實(shí)驗(yàn)就提供了一個(gè)有力的證據(jù)， 表明Majorana約束縛態(tài)狀態(tài)存在于細(xì)線(xiàn)的兩端并且?guī)?lái)了簡(jiǎn)并的超導(dǎo)基態(tài).

5.2 由Majorana束縛態(tài)所帶來(lái)的新奇量子隧道現(xiàn)象

當(dāng)一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的末端存在如圖4(a)所示的Majorana束縛態(tài)時(shí)， 在系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)新的量子隧穿現(xiàn)象. 其中尤其有趣的一種是約瑟夫隧道效應(yīng). 我們考慮如圖5(a)所示的拓?fù)浼s瑟夫森結(jié)， 兩邊都是一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體. 此時(shí)， 約瑟夫森結(jié)中的Majorana束縛態(tài)組成一個(gè)量子比特系統(tǒng)， 如圖5(b)所示， 其有效哈密頓量為

圖 4 (a)具有自旋軌道耦合的半導(dǎo)體納米線(xiàn)和s波超導(dǎo)的混合系統(tǒng)的示意圖; (b)半導(dǎo)體納米線(xiàn)在有限磁場(chǎng)(實(shí)線(xiàn))和零磁場(chǎng)(虛線(xiàn))下的色散關(guān)系Fig. 4. (a) Schematics of a heterostructure consisting of a spin-orbital coupling semiconductor nanowire and an s wave superconductor; (b) the band dispersion of the nanowire with finite magnetic field (solid lines) and zero magnetic field (dashed lines).

圖 5 (a) 通過(guò)電壓差控制Majorana量子比特的設(shè)計(jì); (b) Majorana量子比特的兩能級(jí)系統(tǒng); (c)-(e) 量子比特在電流脈沖下的LZS震蕩: (c)短脈沖， (d)長(zhǎng)脈沖， (e)序列脈沖[25]Fig. 5. (a) Schematic design of a universal quantum gate for Majorana qubit， where the qubit is manipulated by voltage across the Josephson-Majorana junction; (b) the two energy levels of the Majorana qubit depending on the phase difference across the junction; (c)-(e) the LZS oscillation of Majorana qubit under current pulse: (c) a short pulse， (d) a long pulse， (e) a sequence of pulses[25].

其中 θ 是超導(dǎo)體之間的相位差，Em是約瑟夫森能，δ 是隧道結(jié)中的Majorana束縛態(tài)與納米線(xiàn)端點(diǎn)處Majorana束縛態(tài)的耦合能. 超導(dǎo)約瑟夫森電流來(lái)源于兩部分的貢獻(xiàn). 首先是由Cooper對(duì)通過(guò)準(zhǔn)粒子態(tài)隧穿所帶來(lái)的貢獻(xiàn)， 其次是單電子通過(guò)隧道結(jié)兩側(cè)的Majorana束縛態(tài)隧穿所帶來(lái)的貢獻(xiàn). 前者是普通的直流約瑟夫森關(guān)系 I =Icsinθ， 其中 Ic為臨界電流， 而后者則是 s in(θ/2) 的函數(shù)形式， 因此被稱(chēng)為分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng). 當(dāng)約瑟夫森結(jié)兩邊存在電壓V時(shí)， 此時(shí)超導(dǎo)相位差會(huì)按照交流約瑟夫森效應(yīng)隨時(shí)間變化 θ ˙=2eV/?， e為元電荷，為約化普朗克常數(shù). 超導(dǎo)相位差的運(yùn)動(dòng)會(huì)通過(guò)Landau-Zener-Stückelberg (LZS) 干涉[25]， 在由Majorana束縛態(tài)所構(gòu)成的量子比特上產(chǎn)生量子振蕩 |ψ0(t)|2=c os2(ωmt) ， 其中LZS振蕩頻率為

其中 J0(x) 是貝塞爾函數(shù). 利用這種量子振蕩， 可以構(gòu)建出一個(gè)Majorana量子比特的通用門(mén)， 如圖5(c)—(e)所示， 通過(guò)控制電流脈沖實(shí)現(xiàn)任意的量子操作.這種通用型量子門(mén)有望成為拓?fù)淞孔颖忍氐幕緲?gòu)件， 并與Majorana束縛態(tài)的編織操作結(jié)合， 完成拓?fù)淞孔佑?jì)算中的操作. Majorana量子比特的LZS 振蕩會(huì)體現(xiàn)在拓?fù)浼s瑟夫森結(jié)的微波輻射中[26]. 在輻射光譜中包含分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)的分量， 因此通過(guò)測(cè)量微波輻射， 就可以獲得Majorana量子比特的時(shí)間演化的特征時(shí)間.

如上所述， 雖然Majorana束縛態(tài)在空間上是分離的， 但實(shí)際上一對(duì)Majorana束縛態(tài)共同描述了拓?fù)涑瑢?dǎo)體的量子態(tài)(即電子占有數(shù)的奇偶性)，因此Majorana束縛態(tài)處于量子糾纏狀態(tài). 這個(gè)物理特性可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)基于Majorana束縛態(tài)的量子傳送(teleportation)[27]. 如圖6(a)所示， 可以在兩端帶有Majorana束縛態(tài)的一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩端各自放置一個(gè)量子點(diǎn)， 調(diào)制一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體與量子點(diǎn)之間的量子隧穿. 由于兩個(gè)遠(yuǎn)距離的Majorana束縛態(tài)之間具有長(zhǎng)程糾纏， 而每個(gè)Majorana束縛態(tài)又分別與量子點(diǎn)進(jìn)行局域耦合， 最后導(dǎo)致兩個(gè)量子點(diǎn)的占據(jù)態(tài)之間也產(chǎn)生了非局域的糾纏. 如圖6(b)所示， 考慮了兩個(gè)量子點(diǎn)的電子占有率的關(guān)聯(lián)函數(shù)[28].考慮一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的庫(kù)侖阻塞效應(yīng)， 可以發(fā)現(xiàn)空間上分離的兩個(gè)量子點(diǎn)的電子占有率之間具有非局域的量子關(guān)聯(lián)， 而這種量子關(guān)聯(lián)也正體現(xiàn)了Majorana束縛態(tài)之間的糾纏性.

5.3 二維拓?fù)涑瑢?dǎo)的量子渦旋和Majorana束縛態(tài)

圖 6 (a) Majorana束縛態(tài)與量子點(diǎn)耦合體系; (b)兩個(gè)量子點(diǎn)的占據(jù)態(tài)關(guān)聯(lián)函數(shù)[28]Fig. 6. (a) System with couplings between Majorana bound states and two quantum dots; (b) correlation between the electron occupations on the two quantum dots[28].

5.2 節(jié)討論了一維拓?fù)涑瑢?dǎo)納米線(xiàn)兩端的邊界Majorana束縛態(tài)的物理性質(zhì)， 本節(jié)討論二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的量子渦旋中的Majorana束縛態(tài)及其量子性質(zhì). 與圖4(a)中具有強(qiáng)自旋軌道耦合的量子線(xiàn)相似， 三維拓?fù)浣^緣體的表面出現(xiàn)自旋和動(dòng)量鎖定的二維Dirac表面態(tài)(如圖7(a)所示). 因此該二維電子系統(tǒng)也可以通過(guò)類(lèi)似機(jī)制實(shí)現(xiàn)二維無(wú)自旋的手征p波超導(dǎo)[16]. 由于拓?fù)浣^緣體的上下表面在理想情況下各自?xún)H具有一個(gè)Dirac電子態(tài)費(fèi)米面， 因此實(shí)現(xiàn)無(wú)自旋超導(dǎo)無(wú)需借助Zeeman場(chǎng).根據(jù)上述理論， 上海交通大學(xué)實(shí)驗(yàn)組在NbSe2超導(dǎo)襯底上生長(zhǎng)了三維拓?fù)浣^緣體Bi2Te3薄膜. 通過(guò)調(diào)節(jié)拓?fù)浣^緣體薄膜的厚度調(diào)制費(fèi)米面位置使其位于拓?fù)浣^緣體的導(dǎo)帶和價(jià)帶之間， 并利用掃描隧道顯微鏡/掃描隧道譜(STM/STS)觀察了超導(dǎo)量子渦旋里的準(zhǔn)粒子激發(fā)， 捕捉到了Majorana束縛態(tài)的信號(hào)(圖7(b))[22].

圖 7 三維拓?fù)浣^緣體(TI)色散關(guān)系(a)及TI-s波超導(dǎo)(SC)的異質(zhì)結(jié)(b)的示意圖， (b)中的紅點(diǎn)代表Majorana束縛態(tài)[29]Fig. 7. (a) Schematic of the linear dispersion of surface state of a 3D TI; (b) schematic of a TI/s-SC heterostructure，where the red points denote the Majorana bound states at the center of a quantum vortex[29].

我們?cè)購(gòu)睦碚撋戏治龀瑢?dǎo)量子渦旋里的Majorana束縛態(tài)的能量和角動(dòng)量. 為方便起見(jiàn)， 考慮單個(gè)量子渦旋. 此時(shí)， 超導(dǎo)準(zhǔn)粒子激發(fā)的總角動(dòng)量是一個(gè)好的量子數(shù)， 共有三項(xiàng)貢獻(xiàn):

其中l(wèi)為軌道角動(dòng)量，s /2 為自旋角動(dòng)量， 由于量子渦旋引起的超導(dǎo)序參量的相位變化產(chǎn)生 - 1/2 (符號(hào)由磁場(chǎng)方向決定). 因?yàn)镸ajorana束縛態(tài)與其反粒子空穴等價(jià)， 要求其能量和總角動(dòng)量為零. 從(9)式可以看出， 總角動(dòng)量歸零 j =0 必須通過(guò)量子渦旋帶來(lái)的半整數(shù)的角動(dòng)量與電子自旋帶來(lái)的半整數(shù)的自旋角動(dòng)量的調(diào)節(jié)才能實(shí)現(xiàn). 之前的研究已經(jīng)從拓?fù)浔Ｗo(hù)的角度對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行了更嚴(yán)格的討論[30].

Majorana束縛態(tài)的總角動(dòng)量歸零可以由兩組不同的自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)，(s，l)=(+1，0)，(-1，1) . 如圖8(a)所示， 自旋向上和自旋向下的準(zhǔn)粒子波動(dòng)函數(shù)在空間的振動(dòng)滿(mǎn)足貝塞爾函數(shù) Jl(kFr) . 同理， 第一激發(fā)態(tài) j =-1 由(s，l)=(+1，-1)，(-1，0) 的組合來(lái)實(shí)現(xiàn). 從自旋向上分量和自旋向下分量之和給出的準(zhǔn)粒子激發(fā)的態(tài)密度來(lái)看， Majorana束縛態(tài)和第一激發(fā)態(tài)并無(wú)兩樣， 這個(gè)特性給Majorana束縛態(tài)的推測(cè)帶來(lái)了困難.

但是， 如果區(qū)分自旋分量， 比如關(guān)注自旋向上的準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)密度， 很明顯Majorana束縛態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)振蕩的峰和谷正好相反. 類(lèi)似的反向振蕩也出現(xiàn)在自旋向下的準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)密度， 以及具有負(fù)能量的第一激發(fā)態(tài)中. 這個(gè)特征可以用來(lái)區(qū)分Majorana束縛態(tài)和其他的激發(fā)狀態(tài).

圖 8 (a)拓?fù)涑瑢?dǎo)量子渦旋里的低能準(zhǔn)粒子激發(fā)的自旋分辨波函數(shù); (b)準(zhǔn)粒子激發(fā)的自旋向上態(tài)密度和自旋向下態(tài)密度之比的能量-空間分布[29]Fig. 8. (a) Spin-resolved wavefunctions of the low energy quasiparticle states in the vortex core of a topological superconductor;(b) spectrum of the ratio between densities of states for the spin-up and spin-down components[29].

為了更清晰地顯示Majorana束縛態(tài)和其他的激發(fā)狀態(tài)的不同， 我們計(jì)算了不同能量的準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)里自旋向上和自旋向下的態(tài)密度分量的比率.如圖8(b)所示， 作為能量和實(shí)空間位置的函數(shù)， 自旋分辨態(tài)密度呈現(xiàn)明顯的棋盤(pán)式圖案. Majorana束縛態(tài)對(duì)應(yīng)于棋盤(pán)中能量為零的一列， 明顯區(qū)別于相鄰列所對(duì)應(yīng)的第一激發(fā)態(tài). 因此， 分析顯示使用自旋極化STM/STS方法可以從超導(dǎo)量子渦旋里準(zhǔn)粒子激發(fā)譜利將Majorana束縛態(tài)作為單量子態(tài)分離出來(lái). 最近實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)開(kāi)始嘗試自旋分辨STM/STS方法[31]， 期待在不久的將來(lái)通過(guò)棋盤(pán)式圖案的測(cè)試， 提供Majorana束縛態(tài)的精準(zhǔn)證據(jù).

5.4 實(shí)現(xiàn)非阿貝爾統(tǒng)計(jì)的納米超導(dǎo)器件

上面已經(jīng)解釋了與量子渦旋交換相關(guān)的非交換統(tǒng)計(jì)量， 但在技術(shù)上精確地控制和移動(dòng)量子渦旋非常困難. 本節(jié)將介紹通過(guò)柵極電壓操縱Majorana束縛態(tài)的理論方案[32]. 首先， 將如圖9(a)中所示拓?fù)涑瑢?dǎo)塊作為方案的一個(gè)基本單元. 該單元的拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)可利用第4節(jié)所介紹的異質(zhì)結(jié)機(jī)制在半導(dǎo)體薄膜上實(shí)現(xiàn)[18]. 當(dāng)一個(gè)量子渦旋進(jìn)入單元中心時(shí)， Majorana束縛態(tài)將出現(xiàn)在量子渦核心中. 由于Majorana束縛態(tài)始終成對(duì)出現(xiàn)， 另一伴隨的Majorana束縛態(tài)將出現(xiàn)在塊體的邊緣(圖9(b)).

接下來(lái)考慮三個(gè)塊體的組合. 塊體通過(guò)結(jié)連接起來(lái)， 結(jié)的開(kāi)(on)和關(guān)(off)通過(guò)結(jié)上的柵極來(lái)控制. 在起始狀態(tài)， 通過(guò)向左側(cè)結(jié)施加?xùn)艠O電壓來(lái)隔離左塊. 此時(shí)， 邊緣的Majorana束縛態(tài)僅出現(xiàn)在左側(cè)塊中(圖9(a)，(b)). 而對(duì)于右邊的處于連接狀態(tài)的兩個(gè)塊體， 其渦流核心各有一個(gè)Majorana束縛態(tài)組成一對(duì)伴隨的Majorana束縛態(tài)， 而邊緣則沒(méi)有Majorana束縛態(tài). 在這里兩個(gè)塊體邊緣的Majorana態(tài)的消失可以理解為(9)式中第三項(xiàng)因?yàn)閮蓚€(gè)磁通的貢獻(xiàn)變成-1， 總角動(dòng)量歸零 條件無(wú)法滿(mǎn)足. 隨后我們降低左結(jié)柵極電壓使左塊的Majorana束縛態(tài)逐漸擴(kuò)散到三個(gè)塊體的邊緣(圖9(c)，(d)). 接下來(lái)， 將柵極電壓添加到右結(jié)并隔離右塊， 處于三個(gè)塊體邊緣的Majorana束縛態(tài)將塌縮至右塊(圖9(e)，(f))中. 通過(guò)該過(guò)程， Majorana束縛態(tài)從左塊轉(zhuǎn)移到了右塊.

圖 9 (a)， (c)， (e)， (g)為利用柵極電壓移動(dòng)邊界Majorana束縛態(tài)的示意圖; (b)， (d)， (f)給出了與(a)， (c)， (e) 相對(duì)應(yīng)的Majorana束縛態(tài)的波函數(shù)分布[32]Fig. 9. (a)， (c)， (e)， (g) Schematic of the device which transports edge Majorana states using gate voltages; (b)， (d)，(f) corresponding wavefunctions of the edge Majorana states in (a)， (c)， (e)[32].

一個(gè)完整的編織操作(braiding)涉及兩個(gè)Majorana束縛態(tài)， 需要4個(gè)超導(dǎo)塊體來(lái)實(shí)現(xiàn)該操作. 考慮由如圖9(g)中所示的4個(gè)塊體單元組合成的器件. 在初始狀態(tài)， 隔離左右塊并連接中間的

兩個(gè)塊體， 此時(shí)Majorana束縛態(tài)出現(xiàn)在左右塊的邊緣上. 參考圖9(a)—(f)中的過(guò)程， 首先將左塊Majorana束縛態(tài)運(yùn)送到最上方的塊體. 然后， 將右Majorana束縛態(tài)傳送到左側(cè)塊. 之后再將已經(jīng)轉(zhuǎn)移到最上方塊的Majorana束縛態(tài)運(yùn)送到右塊.經(jīng)過(guò)此過(guò)程， 器件的設(shè)置恢復(fù)至初態(tài)， 而左右塊中的邊界Majorana束縛態(tài)則發(fā)生了交換. 含時(shí)BdG方程的數(shù)值分析也證明經(jīng)過(guò)交換后右側(cè)Majorana束縛態(tài)獲得了額外π的相位[32，33]. 以這種方式， 便實(shí)現(xiàn)了公式(5)中非交換統(tǒng)計(jì)所需的Majorana束縛態(tài)的編織操作.

5.5 基于Majorana量子比特的單電子泵

研究拓?fù)涑瑢?dǎo)中的Majorana束縛態(tài)的最初動(dòng)機(jī)是由于其在拓?fù)淞孔佑?jì)算中的巨大應(yīng)用潛力. 本節(jié)介紹利用邊緣Majorana束縛態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)Majorana量子比特的NOT操作[34]. 圖10(a)和圖10(b)給出了該量子器件的示意圖. 圖10(b)的右側(cè)4個(gè)超導(dǎo)塊體單元形成一個(gè)環(huán)， 環(huán)的中心固定有一個(gè)量子渦旋. 環(huán)左側(cè)則為一個(gè)獨(dú)立超導(dǎo)單元. 左側(cè)超導(dǎo)塊的邊界和中心渦旋處各有一Majorana束縛態(tài)， 兩者恰好構(gòu)成一個(gè)量子比特. 初始狀態(tài)時(shí)， 右側(cè)4個(gè)超導(dǎo)塊保持在圖10(a)中左下角所示的狀態(tài). 隨后利用5.4節(jié)介紹的Majorana束縛態(tài)轉(zhuǎn)移方式， 可以驅(qū)動(dòng)左邊孤立塊體上的邊緣Majorana束縛態(tài)環(huán)繞右邊4個(gè)塊體組成的圓環(huán)一周， 并最終達(dá)到圖10(a)中右上角所示的終態(tài). 環(huán)繞中心渦旋一周后Majorana束縛態(tài)將獲得一個(gè)π相位(圖10(a))， 這相當(dāng)于對(duì)左側(cè)塊體上的Majorana量子比特實(shí)施了一個(gè)NOT變換， 使其上電子數(shù)的奇偶性(parity)發(fā)生反轉(zhuǎn). 需要注意的是， 在終態(tài)時(shí)右邊4個(gè)超導(dǎo)塊體間的水平結(jié)處于導(dǎo)通狀態(tài)而垂直結(jié)處于斷開(kāi)狀態(tài)， 這一設(shè)置剛好與初態(tài)相反. 可以嚴(yán)格證明結(jié)的連接狀態(tài)的轉(zhuǎn)換將導(dǎo)致右側(cè)超導(dǎo)環(huán)上的基態(tài)電子數(shù)奇偶性反轉(zhuǎn)[34]， 而整個(gè)系統(tǒng)的粒子數(shù)奇偶性仍保持不變.

若把圖10(b)的左側(cè)Majorana量子比特替換為常規(guī)量子點(diǎn)(圖10(d))， 就可能實(shí)現(xiàn)單電子泵.設(shè)初始時(shí)量子點(diǎn)處于空態(tài)， 而4個(gè)超導(dǎo)塊之間的結(jié)處于與圖10(a)中的初態(tài). 通過(guò)對(duì)垂直結(jié)施加?xùn)艠O電壓而把水平結(jié)的柵壓減小， 即對(duì)右側(cè)超導(dǎo)塊體環(huán)實(shí)行NOT操作， 超導(dǎo)塊環(huán)的基態(tài)電子數(shù)奇偶性將發(fā)生如圖10(c)所示的轉(zhuǎn)變. 由于超導(dǎo)體環(huán)和量子點(diǎn)組成的體系整體電子數(shù)奇偶性守恒， 超導(dǎo)體因此將向量子點(diǎn)“排擠”出一個(gè)電子. 此時(shí)若將量子點(diǎn)與一個(gè)外電路連接， 就能向外逐個(gè)地輸出電子， 從而實(shí)現(xiàn)單電子泵的功能.

圖 10 (a)， (b) Majorana量子比特的NOT量子門(mén)操作; (c)， (d) 基于邊界Mojorana束縛態(tài)的單電子泵[34]Fig. 10. (a)， (b) NOT quantum gate operation of the Majorana qubit; (c)， (d) a single-electron pumping based on the edge Majorana states[34].

6 結(jié) 論

本文著重討論了在混合系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)拓?fù)涑瑢?dǎo)性和Majorana束縛態(tài)的方法. 科學(xué)家也嘗試?yán)脝我徊牧蠈?shí)現(xiàn)拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)以及Majorana束縛態(tài)[35-39]. 最近鐵基超導(dǎo)里Majorana束縛態(tài)的觀測(cè)取得重大進(jìn)展. 另外超流3He[40]和冷卻原子氣體中Majorana束縛態(tài)也有一些探索. 我們認(rèn)為Majorana束縛態(tài)完美的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證已經(jīng)近在咫尺了.

基于量子疊加態(tài)的量子計(jì)算有著廣泛而重要的應(yīng)用前景， 例如可以用于開(kāi)發(fā)最先進(jìn)的加密技術(shù)， 實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子模擬以揭示新奇物理現(xiàn)象和開(kāi)發(fā)新型量子物質(zhì). 目前以IBM、微軟和谷歌為代表的企業(yè)也開(kāi)始著手量子計(jì)算機(jī)的開(kāi)發(fā)， 可以說(shuō)一場(chǎng)全球范圍內(nèi)的開(kāi)發(fā)競(jìng)爭(zhēng)正在如火如荼地展開(kāi). 但是， 量子系統(tǒng)的退相干問(wèn)題依然是量子計(jì)算機(jī)開(kāi)發(fā)的瓶頸， 亟待解決. 從原理上看， 使用Majorana束縛態(tài)建立拓?fù)淞孔游痪哂泻艽蟮膬?yōu)勢(shì)， 期待其研究開(kāi)發(fā)在不久的將來(lái)發(fā)生顛覆性進(jìn)展.

盡管基于Majorana束縛態(tài)的拓?fù)淞孔佑?jì)算可能提供常規(guī)量子計(jì)算方案所不具備的超強(qiáng)抗干擾能力， 但是它并不能夠單獨(dú)完成所有的量子計(jì)算操作. 因此， 研究Majorana量子比特與常規(guī)量子比特之間的耦合效應(yīng)并最終實(shí)現(xiàn)全局量子計(jì)算， 也將會(huì)是一個(gè)重要的研究方向.