梁奇鋒 王志 川上拓人 胡曉

1) (紹興文理學(xué)院物理系， 紹興 312000)2) (中山大學(xué)物理系， 廣州 510275)3) (日本大阪大學(xué)大學(xué)院理學(xué)研究科物理學(xué)專攻， 大阪 565-0871， 日本)4) (日本國立物質(zhì)材料研究機構(gòu)，國際物質(zhì)納米結(jié)構(gòu)學(xué)研究中心， 筑波 305-0044， 日本)5) (中國科學(xué)院大學(xué)， 卡弗里理論物理研究所， 北京 100190)(2019 年6 月20日收到; 2019 年9 月9日收到修改稿)

Majorana束縛態(tài)具有非阿貝爾量子統(tǒng)計特性， 是極具潛力的拓?fù)淞孔佑嬎惴桨傅暮诵? 近期有多項實驗研究提供了Majorana束縛態(tài)在某些超導(dǎo)體系中的存在證據(jù)， 使其成為近期凝聚態(tài)物理以及量子計算領(lǐng)域的前沿焦點之一. 本文介紹拓?fù)涑瑢?dǎo)的機理、Majorana束縛態(tài)的新奇物理特性、實驗觀測和操作的方法以及相關(guān)量子器件的設(shè)計， 最后展望該研究方向的發(fā)展前景.

1 引 言

2016年諾貝爾物理學(xué)獎授予Thouless，Haldane和Kosterlitz， 以表彰他們關(guān)于拓?fù)湎嘧兒臀镔|(zhì)拓?fù)湎嗟拈_創(chuàng)性理論研究. 關(guān)于物質(zhì)拓?fù)湎嘀匾缘恼J(rèn)識起源于von Klitzing在20世紀(jì)80年代發(fā)現(xiàn)的量子霍爾效應(yīng)[1]. 如圖1(a)所示， 在垂直強磁場下半導(dǎo)體界面二維電子系統(tǒng)出現(xiàn)具有線性色散關(guān)系的手征邊緣狀態(tài)， 其承載電流不會引起能量耗散. Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs(TKNN)理論闡明， 手征邊緣態(tài)的數(shù)量正好由拓?fù)潢悢?shù)給出[2]. Haldane[3]指出當(dāng)時間反演對稱性被系統(tǒng)的磁性所破壞時， 即使沒有外部磁場也可能出現(xiàn)相同的手征邊緣態(tài)， 這被稱為量子反?；魻栃?yīng). 2005年， 人們發(fā)現(xiàn)了在時間反演對稱情況下由于自旋軌道耦合而產(chǎn)生的另一類拓?fù)鋺B(tài)， 即量子自旋霍爾效應(yīng). 其特征在于螺旋邊緣狀態(tài)， 相反自旋的電子分別朝相反方向運動[4，5]， 由Z2拓?fù)鋽?shù)描述. 經(jīng)典的能帶理論根據(jù)費米能處有無能隙將材料劃分為金屬和絕緣體， 而能帶拓?fù)涞难芯恐赋鼋^緣體里面還有能帶拓?fù)淦接购头瞧接怪? 拓?fù)浣^緣體的邊緣態(tài)由于受到體能帶拓?fù)湫再|(zhì)的保護， 對材料缺陷或外界擾動呈現(xiàn)魯棒性， 更有利于最先進(jìn)的量子器件的開發(fā). 因此， 10多年來拓?fù)湫?yīng)引起了科學(xué)家的極大關(guān)注， 拓?fù)湮锢韺W(xué)和相關(guān)的材料科學(xué)也因此迎來了快速的發(fā)展.

和絕緣體一樣， 具有能隙的超導(dǎo)態(tài)也可以劃分為具有非平庸拓?fù)涮卣鞯某瑢?dǎo)態(tài)和平庸的超導(dǎo)態(tài).因為超導(dǎo)具有粒子空穴對稱， 拓?fù)涑瑢?dǎo)的最顯著的特征是其零能的準(zhǔn)粒子激發(fā)[5-10]. 這些被稱為零能Majorana束縛態(tài)的準(zhǔn)粒子， 有利于穩(wěn)定的拓?fù)淞孔佑嬎愕膶崿F(xiàn). 本文介紹拓?fù)涑瑢?dǎo)的機理、Majorana束縛態(tài)的新奇物理特性、實驗觀測和操作的方法、量子器件的設(shè)計，并展望該研究方向的發(fā)展前景.

圖 1 (a) 量子霍爾效應(yīng)及量子反?；魻栃?yīng); (b)量子自旋霍爾效應(yīng); (c) 拓?fù)涑瑢?dǎo)的體能帶結(jié)構(gòu)(紅線和藍(lán)線)和邊緣態(tài)(綠色)的色散關(guān)系; (d)實空間邊緣態(tài)的示意圖Fig. 1. Schematic energy band structures for (a) quantum Hall effect and quantum anomalous Hall effect， (b) quantum spin Hall effect， (c) a topological superconductor and (d) schematic diagram of topological edge/surface states in real space.

2 拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)

本節(jié)先從無自旋p波超導(dǎo)態(tài)出發(fā)， 分析其產(chǎn)生拓?fù)涮匦缘臋C理. 無自旋p波超導(dǎo)既是拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的最簡單的例子， 作為一個模型它又可以很好地描述混合材料系統(tǒng)的拓?fù)涑瑢?dǎo)性. 一般來說， 超導(dǎo)態(tài)的平均場哈密頓量可以由Bogoliubov-de Gennes(BdG)形式給出:

圖 2 拓?fù)涑瑢?dǎo)約化能隙 g (k)/|g(k)| 的動量空間分布Fig. 2. Distribution of normalized topological superconductivity gap g (k)/|g(k)| in momentum space.

3 Majorana束縛態(tài)

作為超導(dǎo)的一般性質(zhì)， 任何準(zhǔn)粒子激發(fā)都可以描述為電子和空穴的疊加， 而電子型激發(fā)(圖1(c)紅色) 的產(chǎn)生與帶有相反能量和動量的空穴型激發(fā)(圖1(c)藍(lán)色)的湮滅完全等價. 因此， 圖1(c)中所示準(zhǔn)粒子激發(fā)的色散關(guān)系相對于原點是對稱的， 單一手征邊緣態(tài)的色散關(guān)系(綠色)必定通過原點. 一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩端或者二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體量子渦漩所伴隨的零能準(zhǔn)粒子激發(fā)與其他準(zhǔn)粒子激發(fā)之間保持有限的能隙， 具有非常獨特的量子特性.

因為這兩個準(zhǔn)粒子由粒子和空穴以完全相等的權(quán)重疊加， 其零能量為零. 1937年意大利理論物理學(xué)家Majorana[13]提出一種新奇費米型基本粒子， 其粒子與其反粒子等價. 中微子可能是Majorana粒子， 但至今尚未定論. 因為(3)式表明粒子等價于其反粒子， 人們把拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的零能準(zhǔn)粒子激發(fā)稱為Majorana準(zhǔn)粒子. 由于它們位于一維超導(dǎo)體的兩端或者二維超導(dǎo)體量子渦漩的中心， 也被稱為Majorana束縛態(tài). 因為零能Majorana準(zhǔn)粒子滿足(3)式， 其遵循的對易關(guān)系是與普通費米子的交換關(guān)系 {不同. 換句話說， 由電子以及電子對(庫珀對)形成的超導(dǎo)態(tài)里涌現(xiàn)出與費米子和玻色子滿足不同量子統(tǒng)計的新奇準(zhǔn)粒子激發(fā)[14]. 這種特性使得Majorana束縛態(tài)可用于拓?fù)淞孔佑嬎?

兩個Majorana束縛態(tài)可以表達(dá)一個電子態(tài)，

容易驗證， 這樣得到的電子態(tài)服從費米統(tǒng)計. 然而，很明顯這里的電子數(shù)只能反映奇數(shù)和偶數(shù)的區(qū)別.這與在宏觀超導(dǎo)體里電子的數(shù)量不確定的特性密切相關(guān). 兩個Majorana束縛態(tài)存在于一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩端， 或者二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩個不同的量子渦漩中心. 其在空間上是分離的， 而又形成對整個宏觀超導(dǎo)體的電子特性的一個刻畫， 因此兩個Majorana束縛態(tài)之間具有非局域的量子關(guān)聯(lián). 換而言之， 具有Majorana束縛態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)呈現(xiàn)一種典型的量子糾纏. 而利用Majorana束縛態(tài)來描述超導(dǎo)體的電子奇數(shù)態(tài)和偶數(shù)態(tài)構(gòu)成拓?fù)淞孔游?

在普通的s波超導(dǎo)體里， 兩個反向自旋的電子形成一個庫珀對. 在這種情況下， 由于電子和空穴的自旋彼此相反， 由此定義出來的準(zhǔn)粒子滿足不了自共軛關(guān)系(3)式. 因此， 普通的s波超導(dǎo)態(tài)不能產(chǎn)生Majorana束縛態(tài).

4 Majorana束縛態(tài)和非阿貝爾統(tǒng)計

Majorana束縛態(tài)的自共軛性(3)式使得其可能遵循與普通費米粒子不同的量子統(tǒng)計[14]. 我們考察伴隨二維超導(dǎo)體量子渦旋位置交換而產(chǎn)生的Majorana束縛態(tài)的相位變化. 如圖3所示， 每個量子渦旋都帶有伴隨超導(dǎo)能隙相位2π不連續(xù)地變化的線段. 當(dāng)準(zhǔn)粒子跨越一根線段時， 其相位增加π(超導(dǎo)能隙相位一半). 在圖3中， 鑒于第二和第三超導(dǎo)量子渦旋交換位置時只有第三超導(dǎo)量子渦旋跨越第二超導(dǎo)量子渦旋所帶的線段， 所以僅有第三Majorana束縛態(tài)獲得相位π. 所以有利用自共軛性(3)式， 可以將這個變

換用幺正變換來表示:

圖 3 利用拓?fù)涑瑢?dǎo)量子渦旋里的Majorana束縛態(tài)實現(xiàn)非阿貝爾統(tǒng)計的示意圖， 其中黑色箭號代表量子渦旋位置交換的軌跡， 當(dāng)量子渦旋跨越紅線時超導(dǎo)相位發(fā)生2π的不連續(xù)跳躍Fig. 3. Schematics of realization of non-Abelian statistics using Majorana bound states in vortex cores of a topological superconductor. Black arrows denote the exchanging paths of two quantum vortices. Superconducting phase takes a 2π jump when a vortex crosses the red cuts.

進(jìn)一步可以考慮將(5)式用電子態(tài)湮滅算子(4)式以及對應(yīng)的產(chǎn)生算子來表達(dá). 如圖3所示，4個Majorana束縛態(tài) γ1，γ2，γ3，γ4構(gòu)成兩個電子態(tài) cL=(γ1+iγ2)/2 和 cR=(γ3+iγ4)/2 . 在這種情 況下，γ2和 γ3的交換(5)式可以寫成

從表達(dá)式(6)中可以看到， Majorana束縛態(tài)的位置交換對應(yīng)于電子數(shù)量改變的幺正變換. 例如， 將(6)式作用于 cL和 cR非占據(jù)態(tài) | 0，0〉 產(chǎn)生其本身與占據(jù)態(tài) | 1，1〉 的線性組合態(tài)[14]. 從量子統(tǒng)計角度來看， 這明顯不同于玻色子和費米子的情形，從而被稱為非阿貝爾統(tǒng)計. 由于Majorana束縛態(tài)所描述的量子態(tài)受到拓?fù)浔Ｗo， 許多量子系統(tǒng)常見的退相干問題受到抑制. 同時這些新奇的量子態(tài)滿足非阿貝爾統(tǒng)計， 可以用于穩(wěn)定的量子計算， 從而吸 引了包括基礎(chǔ)和應(yīng)用各方面的廣泛興趣[7-10].

5 異質(zhì)結(jié)系統(tǒng)中的拓?fù)涑瑢?dǎo)

2000年的一項理論研究揭示一維無自旋p波超導(dǎo)態(tài)可以產(chǎn)生Majorana束縛態(tài)[7，15]. 近年來， 眾多研究表明利用數(shù)種材料的組合形成的混合材料可以實現(xiàn)等效的無自旋p波超導(dǎo)， 例如拓?fù)浣^緣體的表面態(tài)和s波超導(dǎo)的組合[16]， 具有強自旋軌道耦合的半導(dǎo)體、鐵磁交換相互作用以及s波超導(dǎo)的組合等[17-19]. 目前， 拓?fù)涑瑢?dǎo)的實現(xiàn)以及Majorana束縛態(tài)的觀測和操作的競爭在全世界范圍如火如荼地展開[20-24]. 下面以我們的研究成果為中心介紹幾個例子.

5.1 一 維量子線

對于二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體來說， 在體材料的邊界處， 束縛態(tài)變成了連續(xù)的邊界態(tài). 如圖1(c)所示，這些邊界態(tài)滿足連續(xù)的色散關(guān)系， 因此難以實現(xiàn)受有限能隙保護的零能量Majorana束縛態(tài). 另一方面， 一維的拓?fù)涑瑢?dǎo)體， 其邊界態(tài)是具有局域波函數(shù)的束縛態(tài)， 而體系具有有限能隙， 因此有利于產(chǎn)生具有拓?fù)浔Ｗo的零能Majorana束縛態(tài)[15].

為了在實際體系中實現(xiàn)一維拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)，Lutchyn等[19]提出了一種如圖4(a)所示的超導(dǎo)體-半導(dǎo)體混合系統(tǒng). 在這個系統(tǒng)里， 半導(dǎo)體納米線具有很強的自旋軌道耦合， 這樣原本具有兩重自旋簡并的能帶結(jié)構(gòu)就在動量方向上發(fā)生劈裂(如圖4(b)所示)， 具有向外自旋的電子能帶向左平移， 而具有向內(nèi)自旋的電子能帶則向右平移. 此時， 費米能附近主要有兩類電子態(tài): G點附近的線性Dirac電子，以及兩邊kF費米動量附近的電子態(tài). 如果在納米線上施加足夠大的外部磁場， 塞曼劈裂就會打破時間反演對稱性帶來的Kramers簡并性， 使得G點附近的線性Dirac電子消失(圖4(b)). 此時在該系統(tǒng)中， kF動量附近的電子具有動量-自旋鎖定， 即相反動量的電子攜帶幾乎相反的自旋. 這樣， 由s波超導(dǎo)態(tài)帶來的Cooper對可以通過近臨效應(yīng)在納米線中引致超導(dǎo). 同時， 由于納米線是一維系統(tǒng)，電子不會具有回旋運動， 這抑制了磁場對超導(dǎo)的破壞. 動量-自旋鎖定的能帶結(jié)構(gòu)加上s波超導(dǎo)， 使得超導(dǎo)能隙僅在費米能附近的單個能帶中打開， 這樣就在納米線中實現(xiàn)了等效的無自旋超導(dǎo)性. 由于泡利不相容， 無自旋超導(dǎo)體的超導(dǎo)能隙必定具有p波或者f波的空間對稱性. 理論計算表明圖3中的系統(tǒng)對應(yīng)于p波超導(dǎo)體[17]， 因此， 盡管此系統(tǒng)的超導(dǎo)Cooper對來源于正常的自旋單態(tài)s波超導(dǎo)體， 但通過近鄰效應(yīng)在自旋軌道耦合的半導(dǎo)體中的實現(xiàn)了等效的無自旋p波超導(dǎo)性 .

在最近的實驗中， 哥本哈根大學(xué)的研究組實現(xiàn)了圖4(a)所示的超導(dǎo)體-半導(dǎo)體雜化系統(tǒng). 他們將超導(dǎo)的金屬鋁生長在半導(dǎo)體InAs納米線的表面，并施加合適的外部磁場， 然后進(jìn)行庫侖阻塞的實驗測量[24]. 在傳統(tǒng)的界觀超導(dǎo)體中， Cooper對的兩個電子必須同時隧穿， 帶來分立的電導(dǎo)峰， 這是常見的庫侖阻塞的信號. 然而在這個新的半導(dǎo)體-超導(dǎo)雜化系統(tǒng)中， 實驗上發(fā)現(xiàn)了由單電子隧穿所帶來的庫侖阻塞的信號. 這意味著除了常規(guī)的超導(dǎo)基態(tài)(電子占有數(shù)的偶數(shù)狀態(tài))之外， 還存在一種電子占有數(shù)為奇數(shù)的基態(tài). 由于超導(dǎo)體中電子都是以Cooper對的形式出現(xiàn)， 此實驗就提供了一個有力的證據(jù)， 表明Majorana約束縛態(tài)狀態(tài)存在于細(xì)線的兩端并且?guī)砹撕啿⒌某瑢?dǎo)基態(tài).

5.2 由Majorana束縛態(tài)所帶來的新奇量子隧道現(xiàn)象

當(dāng)一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的末端存在如圖4(a)所示的Majorana束縛態(tài)時， 在系統(tǒng)中會出現(xiàn)新的量子隧穿現(xiàn)象. 其中尤其有趣的一種是約瑟夫隧道效應(yīng). 我們考慮如圖5(a)所示的拓?fù)浼s瑟夫森結(jié)， 兩邊都是一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體. 此時， 約瑟夫森結(jié)中的Majorana束縛態(tài)組成一個量子比特系統(tǒng)， 如圖5(b)所示， 其有效哈密頓量為

圖 4 (a)具有自旋軌道耦合的半導(dǎo)體納米線和s波超導(dǎo)的混合系統(tǒng)的示意圖; (b)半導(dǎo)體納米線在有限磁場(實線)和零磁場(虛線)下的色散關(guān)系Fig. 4. (a) Schematics of a heterostructure consisting of a spin-orbital coupling semiconductor nanowire and an s wave superconductor; (b) the band dispersion of the nanowire with finite magnetic field (solid lines) and zero magnetic field (dashed lines).

圖 5 (a) 通過電壓差控制Majorana量子比特的設(shè)計; (b) Majorana量子比特的兩能級系統(tǒng); (c)-(e) 量子比特在電流脈沖下的LZS震蕩: (c)短脈沖， (d)長脈沖， (e)序列脈沖[25]Fig. 5. (a) Schematic design of a universal quantum gate for Majorana qubit， where the qubit is manipulated by voltage across the Josephson-Majorana junction; (b) the two energy levels of the Majorana qubit depending on the phase difference across the junction; (c)-(e) the LZS oscillation of Majorana qubit under current pulse: (c) a short pulse， (d) a long pulse， (e) a sequence of pulses[25].

其中 θ 是超導(dǎo)體之間的相位差，Em是約瑟夫森能，δ 是隧道結(jié)中的Majorana束縛態(tài)與納米線端點處Majorana束縛態(tài)的耦合能. 超導(dǎo)約瑟夫森電流來源于兩部分的貢獻(xiàn). 首先是由Cooper對通過準(zhǔn)粒子態(tài)隧穿所帶來的貢獻(xiàn)， 其次是單電子通過隧道結(jié)兩側(cè)的Majorana束縛態(tài)隧穿所帶來的貢獻(xiàn). 前者是普通的直流約瑟夫森關(guān)系 I =Icsinθ， 其中 Ic為臨界電流， 而后者則是 s in(θ/2) 的函數(shù)形式， 因此被稱為分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng). 當(dāng)約瑟夫森結(jié)兩邊存在電壓V時， 此時超導(dǎo)相位差會按照交流約瑟夫森效應(yīng)隨時間變化 θ ˙=2eV/?， e為元電荷，為約化普朗克常數(shù). 超導(dǎo)相位差的運動會通過Landau-Zener-Stückelberg (LZS) 干涉[25]， 在由Majorana束縛態(tài)所構(gòu)成的量子比特上產(chǎn)生量子振蕩 |ψ0(t)|2=c os2(ωmt) ， 其中LZS振蕩頻率為

其中 J0(x) 是貝塞爾函數(shù). 利用這種量子振蕩， 可以構(gòu)建出一個Majorana量子比特的通用門， 如圖5(c)—(e)所示， 通過控制電流脈沖實現(xiàn)任意的量子操作.這種通用型量子門有望成為拓?fù)淞孔颖忍氐幕緲?gòu)件， 并與Majorana束縛態(tài)的編織操作結(jié)合， 完成拓?fù)淞孔佑嬎阒械牟僮? Majorana量子比特的LZS 振蕩會體現(xiàn)在拓?fù)浼s瑟夫森結(jié)的微波輻射中[26]. 在輻射光譜中包含分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)的分量， 因此通過測量微波輻射， 就可以獲得Majorana量子比特的時間演化的特征時間.

如上所述， 雖然Majorana束縛態(tài)在空間上是分離的， 但實際上一對Majorana束縛態(tài)共同描述了拓?fù)涑瑢?dǎo)體的量子態(tài)(即電子占有數(shù)的奇偶性)，因此Majorana束縛態(tài)處于量子糾纏狀態(tài). 這個物理特性可以用來實現(xiàn)基于Majorana束縛態(tài)的量子傳送(teleportation)[27]. 如圖6(a)所示， 可以在兩端帶有Majorana束縛態(tài)的一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的兩端各自放置一個量子點， 調(diào)制一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體與量子點之間的量子隧穿. 由于兩個遠(yuǎn)距離的Majorana束縛態(tài)之間具有長程糾纏， 而每個Majorana束縛態(tài)又分別與量子點進(jìn)行局域耦合， 最后導(dǎo)致兩個量子點的占據(jù)態(tài)之間也產(chǎn)生了非局域的糾纏. 如圖6(b)所示， 考慮了兩個量子點的電子占有率的關(guān)聯(lián)函數(shù)[28].考慮一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的庫侖阻塞效應(yīng)， 可以發(fā)現(xiàn)空間上分離的兩個量子點的電子占有率之間具有非局域的量子關(guān)聯(lián)， 而這種量子關(guān)聯(lián)也正體現(xiàn)了Majorana束縛態(tài)之間的糾纏性.

5.3 二維拓?fù)涑瑢?dǎo)的量子渦旋和Majorana束縛態(tài)

圖 6 (a) Majorana束縛態(tài)與量子點耦合體系; (b)兩個量子點的占據(jù)態(tài)關(guān)聯(lián)函數(shù)[28]Fig. 6. (a) System with couplings between Majorana bound states and two quantum dots; (b) correlation between the electron occupations on the two quantum dots[28].

5.2 節(jié)討論了一維拓?fù)涑瑢?dǎo)納米線兩端的邊界Majorana束縛態(tài)的物理性質(zhì)， 本節(jié)討論二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體的量子渦旋中的Majorana束縛態(tài)及其量子性質(zhì). 與圖4(a)中具有強自旋軌道耦合的量子線相似， 三維拓?fù)浣^緣體的表面出現(xiàn)自旋和動量鎖定的二維Dirac表面態(tài)(如圖7(a)所示). 因此該二維電子系統(tǒng)也可以通過類似機制實現(xiàn)二維無自旋的手征p波超導(dǎo)[16]. 由于拓?fù)浣^緣體的上下表面在理想情況下各自僅具有一個Dirac電子態(tài)費米面， 因此實現(xiàn)無自旋超導(dǎo)無需借助Zeeman場.根據(jù)上述理論， 上海交通大學(xué)實驗組在NbSe2超導(dǎo)襯底上生長了三維拓?fù)浣^緣體Bi2Te3薄膜. 通過調(diào)節(jié)拓?fù)浣^緣體薄膜的厚度調(diào)制費米面位置使其位于拓?fù)浣^緣體的導(dǎo)帶和價帶之間， 并利用掃描隧道顯微鏡/掃描隧道譜(STM/STS)觀察了超導(dǎo)量子渦旋里的準(zhǔn)粒子激發(fā)， 捕捉到了Majorana束縛態(tài)的信號(圖7(b))[22].

圖 7 三維拓?fù)浣^緣體(TI)色散關(guān)系(a)及TI-s波超導(dǎo)(SC)的異質(zhì)結(jié)(b)的示意圖， (b)中的紅點代表Majorana束縛態(tài)[29]Fig. 7. (a) Schematic of the linear dispersion of surface state of a 3D TI; (b) schematic of a TI/s-SC heterostructure，where the red points denote the Majorana bound states at the center of a quantum vortex[29].

我們再從理論上分析超導(dǎo)量子渦旋里的Majorana束縛態(tài)的能量和角動量. 為方便起見， 考慮單個量子渦旋. 此時， 超導(dǎo)準(zhǔn)粒子激發(fā)的總角動量是一個好的量子數(shù)， 共有三項貢獻(xiàn):

其中l(wèi)為軌道角動量，s /2 為自旋角動量， 由于量子渦旋引起的超導(dǎo)序參量的相位變化產(chǎn)生 - 1/2 (符號由磁場方向決定). 因為Majorana束縛態(tài)與其反粒子空穴等價， 要求其能量和總角動量為零. 從(9)式可以看出， 總角動量歸零 j =0 必須通過量子渦旋帶來的半整數(shù)的角動量與電子自旋帶來的半整數(shù)的自旋角動量的調(diào)節(jié)才能實現(xiàn). 之前的研究已經(jīng)從拓?fù)浔Ｗo的角度對這一點進(jìn)行了更嚴(yán)格的討論[30].

Majorana束縛態(tài)的總角動量歸零可以由兩組不同的自旋角動量和軌道角動量的組合來實現(xiàn)，(s，l)=(+1，0)，(-1，1) . 如圖8(a)所示， 自旋向上和自旋向下的準(zhǔn)粒子波動函數(shù)在空間的振動滿足貝塞爾函數(shù) Jl(kFr) . 同理， 第一激發(fā)態(tài) j =-1 由(s，l)=(+1，-1)，(-1，0) 的組合來實現(xiàn). 從自旋向上分量和自旋向下分量之和給出的準(zhǔn)粒子激發(fā)的態(tài)密度來看， Majorana束縛態(tài)和第一激發(fā)態(tài)并無兩樣， 這個特性給Majorana束縛態(tài)的推測帶來了困難.

但是， 如果區(qū)分自旋分量， 比如關(guān)注自旋向上的準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)密度， 很明顯Majorana束縛態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)振蕩的峰和谷正好相反. 類似的反向振蕩也出現(xiàn)在自旋向下的準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)密度， 以及具有負(fù)能量的第一激發(fā)態(tài)中. 這個特征可以用來區(qū)分Majorana束縛態(tài)和其他的激發(fā)狀態(tài).

圖 8 (a)拓?fù)涑瑢?dǎo)量子渦旋里的低能準(zhǔn)粒子激發(fā)的自旋分辨波函數(shù); (b)準(zhǔn)粒子激發(fā)的自旋向上態(tài)密度和自旋向下態(tài)密度之比的能量-空間分布[29]Fig. 8. (a) Spin-resolved wavefunctions of the low energy quasiparticle states in the vortex core of a topological superconductor;(b) spectrum of the ratio between densities of states for the spin-up and spin-down components[29].

為了更清晰地顯示Majorana束縛態(tài)和其他的激發(fā)狀態(tài)的不同， 我們計算了不同能量的準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)里自旋向上和自旋向下的態(tài)密度分量的比率.如圖8(b)所示， 作為能量和實空間位置的函數(shù)， 自旋分辨態(tài)密度呈現(xiàn)明顯的棋盤式圖案. Majorana束縛態(tài)對應(yīng)于棋盤中能量為零的一列， 明顯區(qū)別于相鄰列所對應(yīng)的第一激發(fā)態(tài). 因此， 分析顯示使用自旋極化STM/STS方法可以從超導(dǎo)量子渦旋里準(zhǔn)粒子激發(fā)譜利將Majorana束縛態(tài)作為單量子態(tài)分離出來. 最近實驗上已經(jīng)開始嘗試自旋分辨STM/STS方法[31]， 期待在不久的將來通過棋盤式圖案的測試， 提供Majorana束縛態(tài)的精準(zhǔn)證據(jù).

5.4 實現(xiàn)非阿貝爾統(tǒng)計的納米超導(dǎo)器件

上面已經(jīng)解釋了與量子渦旋交換相關(guān)的非交換統(tǒng)計量， 但在技術(shù)上精確地控制和移動量子渦旋非常困難. 本節(jié)將介紹通過柵極電壓操縱Majorana束縛態(tài)的理論方案[32]. 首先， 將如圖9(a)中所示拓?fù)涑瑢?dǎo)塊作為方案的一個基本單元. 該單元的拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)可利用第4節(jié)所介紹的異質(zhì)結(jié)機制在半導(dǎo)體薄膜上實現(xiàn)[18]. 當(dāng)一個量子渦旋進(jìn)入單元中心時， Majorana束縛態(tài)將出現(xiàn)在量子渦核心中. 由于Majorana束縛態(tài)始終成對出現(xiàn)， 另一伴隨的Majorana束縛態(tài)將出現(xiàn)在塊體的邊緣(圖9(b)).

接下來考慮三個塊體的組合. 塊體通過結(jié)連接起來， 結(jié)的開(on)和關(guān)(off)通過結(jié)上的柵極來控制. 在起始狀態(tài)， 通過向左側(cè)結(jié)施加?xùn)艠O電壓來隔離左塊. 此時， 邊緣的Majorana束縛態(tài)僅出現(xiàn)在左側(cè)塊中(圖9(a)，(b)). 而對于右邊的處于連接狀態(tài)的兩個塊體， 其渦流核心各有一個Majorana束縛態(tài)組成一對伴隨的Majorana束縛態(tài)， 而邊緣則沒有Majorana束縛態(tài). 在這里兩個塊體邊緣的Majorana態(tài)的消失可以理解為(9)式中第三項因為兩個磁通的貢獻(xiàn)變成-1， 總角動量歸零 條件無法滿足. 隨后我們降低左結(jié)柵極電壓使左塊的Majorana束縛態(tài)逐漸擴散到三個塊體的邊緣(圖9(c)，(d)). 接下來， 將柵極電壓添加到右結(jié)并隔離右塊， 處于三個塊體邊緣的Majorana束縛態(tài)將塌縮至右塊(圖9(e)，(f))中. 通過該過程， Majorana束縛態(tài)從左塊轉(zhuǎn)移到了右塊.

圖 9 (a)， (c)， (e)， (g)為利用柵極電壓移動邊界Majorana束縛態(tài)的示意圖; (b)， (d)， (f)給出了與(a)， (c)， (e) 相對應(yīng)的Majorana束縛態(tài)的波函數(shù)分布[32]Fig. 9. (a)， (c)， (e)， (g) Schematic of the device which transports edge Majorana states using gate voltages; (b)， (d)，(f) corresponding wavefunctions of the edge Majorana states in (a)， (c)， (e)[32].

一個完整的編織操作(braiding)涉及兩個Majorana束縛態(tài)， 需要4個超導(dǎo)塊體來實現(xiàn)該操作. 考慮由如圖9(g)中所示的4個塊體單元組合成的器件. 在初始狀態(tài)， 隔離左右塊并連接中間的

兩個塊體， 此時Majorana束縛態(tài)出現(xiàn)在左右塊的邊緣上. 參考圖9(a)—(f)中的過程， 首先將左塊Majorana束縛態(tài)運送到最上方的塊體. 然后， 將右Majorana束縛態(tài)傳送到左側(cè)塊. 之后再將已經(jīng)轉(zhuǎn)移到最上方塊的Majorana束縛態(tài)運送到右塊.經(jīng)過此過程， 器件的設(shè)置恢復(fù)至初態(tài)， 而左右塊中的邊界Majorana束縛態(tài)則發(fā)生了交換. 含時BdG方程的數(shù)值分析也證明經(jīng)過交換后右側(cè)Majorana束縛態(tài)獲得了額外π的相位[32，33]. 以這種方式， 便實現(xiàn)了公式(5)中非交換統(tǒng)計所需的Majorana束縛態(tài)的編織操作.

5.5 基于Majorana量子比特的單電子泵

研究拓?fù)涑瑢?dǎo)中的Majorana束縛態(tài)的最初動機是由于其在拓?fù)淞孔佑嬎阒械木薮髴?yīng)用潛力. 本節(jié)介紹利用邊緣Majorana束縛態(tài)來實現(xiàn)Majorana量子比特的NOT操作[34]. 圖10(a)和圖10(b)給出了該量子器件的示意圖. 圖10(b)的右側(cè)4個超導(dǎo)塊體單元形成一個環(huán)， 環(huán)的中心固定有一個量子渦旋. 環(huán)左側(cè)則為一個獨立超導(dǎo)單元. 左側(cè)超導(dǎo)塊的邊界和中心渦旋處各有一Majorana束縛態(tài)， 兩者恰好構(gòu)成一個量子比特. 初始狀態(tài)時， 右側(cè)4個超導(dǎo)塊保持在圖10(a)中左下角所示的狀態(tài). 隨后利用5.4節(jié)介紹的Majorana束縛態(tài)轉(zhuǎn)移方式， 可以驅(qū)動左邊孤立塊體上的邊緣Majorana束縛態(tài)環(huán)繞右邊4個塊體組成的圓環(huán)一周， 并最終達(dá)到圖10(a)中右上角所示的終態(tài). 環(huán)繞中心渦旋一周后Majorana束縛態(tài)將獲得一個π相位(圖10(a))， 這相當(dāng)于對左側(cè)塊體上的Majorana量子比特實施了一個NOT變換， 使其上電子數(shù)的奇偶性(parity)發(fā)生反轉(zhuǎn). 需要注意的是， 在終態(tài)時右邊4個超導(dǎo)塊體間的水平結(jié)處于導(dǎo)通狀態(tài)而垂直結(jié)處于斷開狀態(tài)， 這一設(shè)置剛好與初態(tài)相反. 可以嚴(yán)格證明結(jié)的連接狀態(tài)的轉(zhuǎn)換將導(dǎo)致右側(cè)超導(dǎo)環(huán)上的基態(tài)電子數(shù)奇偶性反轉(zhuǎn)[34]， 而整個系統(tǒng)的粒子數(shù)奇偶性仍保持不變.

若把圖10(b)的左側(cè)Majorana量子比特替換為常規(guī)量子點(圖10(d))， 就可能實現(xiàn)單電子泵.設(shè)初始時量子點處于空態(tài)， 而4個超導(dǎo)塊之間的結(jié)處于與圖10(a)中的初態(tài). 通過對垂直結(jié)施加?xùn)艠O電壓而把水平結(jié)的柵壓減小， 即對右側(cè)超導(dǎo)塊體環(huán)實行NOT操作， 超導(dǎo)塊環(huán)的基態(tài)電子數(shù)奇偶性將發(fā)生如圖10(c)所示的轉(zhuǎn)變. 由于超導(dǎo)體環(huán)和量子點組成的體系整體電子數(shù)奇偶性守恒， 超導(dǎo)體因此將向量子點“排擠”出一個電子. 此時若將量子點與一個外電路連接， 就能向外逐個地輸出電子， 從而實現(xiàn)單電子泵的功能.

圖 10 (a)， (b) Majorana量子比特的NOT量子門操作; (c)， (d) 基于邊界Mojorana束縛態(tài)的單電子泵[34]Fig. 10. (a)， (b) NOT quantum gate operation of the Majorana qubit; (c)， (d) a single-electron pumping based on the edge Majorana states[34].

6 結(jié) 論

本文著重討論了在混合系統(tǒng)中實現(xiàn)拓?fù)涑瑢?dǎo)性和Majorana束縛態(tài)的方法. 科學(xué)家也嘗試?yán)脝我徊牧蠈崿F(xiàn)拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)以及Majorana束縛態(tài)[35-39]. 最近鐵基超導(dǎo)里Majorana束縛態(tài)的觀測取得重大進(jìn)展. 另外超流3He[40]和冷卻原子氣體中Majorana束縛態(tài)也有一些探索. 我們認(rèn)為Majorana束縛態(tài)完美的實驗驗證已經(jīng)近在咫尺了.

基于量子疊加態(tài)的量子計算有著廣泛而重要的應(yīng)用前景， 例如可以用于開發(fā)最先進(jìn)的加密技術(shù)， 實現(xiàn)大規(guī)模量子模擬以揭示新奇物理現(xiàn)象和開發(fā)新型量子物質(zhì). 目前以IBM、微軟和谷歌為代表的企業(yè)也開始著手量子計算機的開發(fā)， 可以說一場全球范圍內(nèi)的開發(fā)競爭正在如火如荼地展開. 但是， 量子系統(tǒng)的退相干問題依然是量子計算機開發(fā)的瓶頸， 亟待解決. 從原理上看， 使用Majorana束縛態(tài)建立拓?fù)淞孔游痪哂泻艽蟮膬?yōu)勢， 期待其研究開發(fā)在不久的將來發(fā)生顛覆性進(jìn)展.

盡管基于Majorana束縛態(tài)的拓?fù)淞孔佑嬎憧赡芴峁┏Ｒ?guī)量子計算方案所不具備的超強抗干擾能力， 但是它并不能夠單獨完成所有的量子計算操作. 因此， 研究Majorana量子比特與常規(guī)量子比特之間的耦合效應(yīng)并最終實現(xiàn)全局量子計算， 也將會是一個重要的研究方向.