汪明武，徐新宇，周天龍，董景銓

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院，合肥 230009)

1 引 言

土體應力松弛特性與巖土工程的長期穩(wěn)定性問題緊密相關(guān)，是巖土材料的重要流變特性之一，但基于已有文獻報導[1]，關(guān)于土體的松弛試驗和模型的研究較蠕變本構(gòu)關(guān)系研究要少的多。已有的土體松弛模型主要有經(jīng)驗模型[2]和元件模型，如西原模型[3,4]、Burgers模型[5,6]和廣義Maxwell模型[7]等，但這些模型為整數(shù)階模型，僅能描述線性粘彈性能，描述土體非線性流變行為存在局限性[8,9]，且適用性較差[10]，故為更真實準確反映土體的松弛時效特性，有必要進一步深入開展土體應力松弛模型的研究。而近期發(fā)展起來的分數(shù)階微積分理論是整數(shù)階微積分向任意階的推廣[11,12]，并具有全局相關(guān)性好，物理意義明確，能更好描述巖土非線性力學行為的優(yōu)點[13]，為網(wǎng)紋紅土松弛本構(gòu)研究提供了新思路。學者將分數(shù)階微積分理論應用于巖土體流變非線性的描述[14-20]，取得了有效成果，如于懷昌等[10]建立了巖石分數(shù)階Poynting-Thomson松弛模型；張春曉等[21]構(gòu)建了膨脹土的三元件分數(shù)階松弛模型；Liu等[22]推導了高階分數(shù)導數(shù)本構(gòu)模型，但至今罕有應用分數(shù)階微積分理論針對網(wǎng)紋紅土非線性松弛模型的研究。

本文基于分數(shù)階微積分理論，推導了網(wǎng)紋紅土的分數(shù)階FVMS(Fractional Voigt and Maxwell model in series)松弛模型和分數(shù)階FVMP(Fractional Voigt and Maxwell model in parallel)松弛模型，進而結(jié)合網(wǎng)紋紅土的三軸松弛試驗數(shù)據(jù)驗證模型的適用性，為網(wǎng)紋紅土的非線性松弛特性分析和長期穩(wěn)定性評價提供依據(jù)。

2 分數(shù)階應力松弛模型

2.1 分數(shù)階微積分理論簡介

分數(shù)階微積分是指微分的階數(shù)或積分的階數(shù)不是整數(shù)，而是任意的實數(shù)或者復數(shù)，相對于整數(shù)階微積分，可描述復雜的時效力學過程，刻畫時間上的記憶性和空間上的路徑依賴性。分數(shù)階微積分的定義有多種形式[11]，本文采用Riemann-Liouville 型分數(shù)階微積分算子理論定義函數(shù)f(t)的分數(shù)，

(1)

(Re(β)>0)

(2)

分數(shù)階的微積分Laplace公式為

(3)

式中s是變換參量，F(xiàn)(s)是f(t)的拉普拉斯變化。

基于Riemann-Liouville型分數(shù)階微積分理論的軟體元件本構(gòu)模型方程為

σ(t)=ξdβε(t)/dtβ

(4)

式中σ(t)為應力，ε(t)為應變，t為時間，ξ為類粘滯系數(shù)。顯然，當β=0,1時，軟體元件退化成理想的彈塑性體和理想的流體。當ε(t)為常數(shù)，分數(shù)階元件所描述的是松弛現(xiàn)象。

2.2 基于分數(shù)階微積分的應力松弛模型

以往的非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系大多是由彈性元件和粘性元件串聯(lián)或并聯(lián)來描述，基于分數(shù)階的簡單流變模型常用Maxwell模型和Kelvin模型，是時間的一個指數(shù)函數(shù)，而網(wǎng)紋紅土成分復雜，且運動單元具有多重性，僅用一個松弛時間關(guān)系描述已不能滿足實際要求，需發(fā)展擬合精度更高的多元件廣義分數(shù)階模型來描述[22]。為此，本文探討了黏彈性四元件的FVMS模型和FVMP模型，如 圖1 所示。

圖1 四元件分數(shù)階松弛模型

Fig.1 Fractional relaxation model of four elements

從圖1(a)可以看出，根據(jù)元件的串并聯(lián)法則可得

σ=σ1=σ2=σ3,ε=ε1+ε2+ε3

(5)

σ1=(E1+ξ1D1)ε1,σ2=ξ2D2ε2,σ3=E2ε3

(6)

式中σ為總應力；ε為總應變；σ1和ε1分別是分數(shù)階Kelvin-Voigt模型中總應力和應變；σ2和σ3與ε2和ε3分別是分數(shù)階Maxwell模型中分數(shù)階元件和彈簧元件的應力和應變；E1和E2分別是兩個彈簧的彈性模量；ξ1和ξ2為類粘滯系數(shù)；D1和D2是分數(shù)階算子，D1=dβ1/dtβ1,D2=dβ2/dtβ2；β1和β2為分數(shù)階階數(shù)。聯(lián)立式(5，6)，可得

σ=G(t)ε

(7)

(8)

式中G(t)為松弛模量。令

(9)

(10)

對式(10)第一項進行級數(shù)變換，可得

(11)

對式(10)中各項進行拉普拉斯逆變化可得

(12)

(13,14)

將式(12～14)代入式(10)，并結(jié)合式(9)可得FVMS模型的松弛模量為

(15)

從圖1(b)可以看出，根據(jù)元件的串并聯(lián)法則可得

σ=σ1=σ2+σ3,ε=ε1=ε2+ε3

(16)

σ1=(E1+ξ1D1)ε1,σ2=ξ2D2ε2,σ3=E2ε3

(17)

聯(lián)立式(16,17)，可得

(18)

對式(18)進行拉普拉斯變換，并令ε0(t)=ε0H(t), 則式(18)可變形為

(19)

式中ε0為初始應變，在應力松弛過程中為一恒定值。根據(jù)式(19)可得松弛模量的拉普拉斯逆變換式為

(20)

為得到式(20)的拉普拉斯逆變換，引入Mittag-Leffler(簡稱M-L)函數(shù)來完成。廣義M-L函數(shù)的定義如下[11]。

M-L函數(shù)的拉普拉斯變換為

(22)

將式(20)與式(22)的第三部分進行對比，將式(20)第三部分中各參數(shù)取為k=0,v=1,u=β2,n=E2/ξ2,可得FVMP模型的松弛模量為

(23)

3 模型驗證及參數(shù)識別

為驗證本文提出的松弛模型的適用性和正確性。首先，采用基于GDS非飽和土三軸儀對網(wǎng)紋紅土進行了不同應變條件下的應力松弛試驗，并用上述的應力松弛模型對試驗結(jié)果進行反演，確定了相關(guān)的模型參數(shù)。

3.1 三軸應力松弛試驗

松弛試驗用土取自安徽宣城地區(qū)，土體呈淡紅色，物理性質(zhì)指標列入表1。在圍壓σ3=300 kPa和吸力ua-uw=100 kPa的條件下，開展了應變水平分別為0.5%，0.75%，1.0%，1.45%，2.0%和4.0%的應力松弛試驗。應力松弛試驗主要由吸力平衡、等吸力固結(jié)、剪切及松弛階段構(gòu)成，不同應變水平下，網(wǎng)紋紅土應力松弛試驗的實測曲線如圖2所示。

3.2 模型驗證

本文選取L-M(Levenberg-Marquardt)算法確定模型的參數(shù)取值，可避免最小二乘法通常存在初始值選取不當?shù)膯栴}，根據(jù)式(15,23)，采用L-M算法對圖2的實驗數(shù)據(jù)結(jié)果進行非線性擬合，模型參數(shù)結(jié)果列入表2和表3，擬合曲線如圖3所示。

4 討 論

由表2和表3可知，在不同加載條件下的應力松弛試驗中，盡管分數(shù)階FVMS模型和分數(shù)階FVMP模型中的彈性模量E1和E2以及類粘滯系數(shù)ξ1和ξ2有一定的差異，但總體變化不大，而且擬合系數(shù)R2在0.989以上，最高達到 0.998，說明與實測數(shù)據(jù)誤差較小。從圖3可以看出，用FVMS松弛模型和FVMP松弛模型擬合試驗數(shù)據(jù)可以得到較好的效果，且兩者的分數(shù)階模型都能很好地反映網(wǎng)紋紅土松弛的應力快速下降和應力緩速下降兩個階段。同時可以看到，兩個分數(shù)階模型中的分數(shù)階階數(shù)β基本保持不變，限于篇幅，這里僅考慮分數(shù)階階數(shù)β的敏感性分析。在保持其他參數(shù)不變的條件下，如E1=3 kPa，E2=4 kPa,ξ1=5 kPa·d，ξ2=6 kPa·d，改變分數(shù)階階數(shù)β的數(shù)值，可以得到分數(shù)階階數(shù)β對本文提出模型在描述應力松弛行為時的影響，如圖4所示。可以看出，分數(shù)階數(shù)β的不同值主要影響FVMP模型松弛量的大小，對松弛速率影響較??；對FVMS模型松弛速率和松弛大小都影響較大。

表1 網(wǎng)紋紅土的物理性質(zhì)指標

Tab.1 Physical properties of net-like red soil

最大干密度/g·cm-3含水率/%液限/%塑限/%塑性指數(shù)最優(yōu)含水率/%1.8123.648.528.220.017.9

圖2 網(wǎng)紋紅土應力松弛實測曲線

Fig.2 Stress relaxation measured curve of net-like red soil

表2 FVMS模型參數(shù)擬合值

Tab.2 Fitted values of FVMS model parameters

ε/%E1/kPaE2/kPaξ1/kPa·dξ2/kPa·dβ1β2R20.50908.45306.202437.9855309.440.8510.580.9900.75563.26350.122648.2426957.480.8020.600.9971.00261.15398.034861.8236802.250.740.600.9911.45519.83346.681609.3221302.660.8330.610.9952.001374.07395.292335.4827596.270.8290.590.9974.00169.54453.303777.7823768.210.7500.620.996

表3 FVMP模型參數(shù)擬合值

Tab.3 Fitted values of FVMP model parameters

ε/%E1/kPaE2/kPaξ1/kPa·dξ2/kPa·dβ1β2R20.50311.5858.913.3662.090.7500.210.9890.75304.2581.5812.40328.230.7450.200.9941.00404.6035.335.9914.640.7420.200.9981.45336.46108.297.01119.670.7510.220.9952.00385.1983.496.4364.840.7670.240.9904.00462.5744.989.3135.160.7610.210.994

圖3 FVMP松弛模型和FVMS松弛模型計算值和試驗曲線實際值對比

Fig.3 Comparison of the calculated datas of FVMP model and FVMS model with the measured datas

為了定量描述本文提出的分數(shù)階松弛模型反映網(wǎng)紋紅土松弛時效特性的優(yōu)越性，用應變?yōu)?%條件下的網(wǎng)紋紅土應力松弛數(shù)據(jù)，分別對西原模型、Burgers模型以及本文提出的FVMS模型和FVMP模型進行擬合，并選取均方差(RMSE)、殘差平方和(SSE)、相關(guān)系數(shù)(R2)、卡方系數(shù)以及F統(tǒng)計值作為定量的指標，結(jié)果列入表4。由表4可知，由于RMSE，SSE和卡方系數(shù)在描述擬合效果時，數(shù)值越小表示擬合精度越高，而R2和F統(tǒng)計值則是越大表示擬合效果更好，故綜合五個指標值，本文提出的FVMS松弛模型和FVMP松弛模型擬合效果均優(yōu)于西原模型及Burgers模型，也表明本文模型能較好地反映網(wǎng)紋紅土應力松弛的全過程，擬合精度較高。

圖4 不同分數(shù)階階數(shù)β下的FVMP模型和FVMS模型松弛曲線

Fig.4 Stress relaxation curve of various fractional orders of FVMP model and FVMS model

表4 模型擬合評價

Tab.4 Evaluation of fitting effects of various models

松弛模型RMSESSER2卡方系數(shù)F統(tǒng)計值西原模型2.32237.230.9860.233006.84Burgers模型2.43260.120.9900.252735.03FVMS模型1.65121.010.9960.125924.21FVMP模型2.05185.030.9940.183861.52

5 結(jié) 論

網(wǎng)紋紅土是一種黏性土，應用整數(shù)階模型很難刻畫其松弛非線性特性和松弛全過程。本文基于分數(shù)階微積分理論，探討了網(wǎng)紋紅土分數(shù)階應力松弛模型，進而應用模型反演了實測三軸松弛數(shù)據(jù)，并與其他模型進行對比分析，得到如下結(jié)論。

(1)利用分數(shù)階微積分理論，推導了網(wǎng)紋紅土的FVMS松弛模型和FVMP松弛模型。構(gòu)建模型公式推導嚴格，且具有明確物理意義，可實現(xiàn)網(wǎng)紋紅土非線性松弛時效特性的準確描述。

(2)實測數(shù)據(jù)的模擬結(jié)果表明，本文的分數(shù)階應力松弛模型模擬結(jié)果與試驗實測結(jié)果吻合，并能有效模擬網(wǎng)紋紅土的松弛全過程。

(3)對比西原模型和Burgers模型與FVMS松弛模型和FVMP松弛模型的擬合結(jié)果表明，本文推導的四元件分數(shù)階應力松弛模型具有更高的可靠性和擬合精度，且參數(shù)較少，便于實際應用。同時，在討論分數(shù)階階數(shù)敏感性時發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階階數(shù)對兩個分數(shù)階模型的應力松弛量影響大，但對FVMS模型的松弛速率影響較小，而對FVMP模型的松弛速率影響則較大。