李遼 王勁柏 張沖 杜前洲 蔣詩寧

華中科技大學(xué)建筑環(huán)境與能源應(yīng)用工程系

0 引言

排風(fēng)隔熱墻[1-2]屬于新型的圍護(hù)結(jié)構(gòu)，其基本結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。從室內(nèi)側(cè)到室外側(cè)分別是多孔層，空腔層以及外結(jié)構(gòu)層。其工作原理是通過機(jī)械排風(fēng)或自然壓差使室內(nèi)排風(fēng)通過多孔層至空腔，最終排出至室外。從而可以利用排風(fēng)中的冷量減少墻體的冷負(fù)荷。

圖1 排風(fēng)隔熱墻結(jié)構(gòu)示意圖

為了對排風(fēng)隔熱墻進(jìn)行高效而準(zhǔn)確的傳熱模擬及負(fù)荷計算，需要對排風(fēng)隔熱墻的傳熱計算模型進(jìn)行研究。本文根據(jù)傅里葉變換[3]建立了排風(fēng)隔熱墻的二維頻域有限差分（FDFD）模型，并將該模型和排風(fēng)隔熱墻已有數(shù)值模型[1-2]（二維時域有限差分（FDTD）模型）進(jìn)行了對比，以說明FDFD 模型的精度特點(diǎn)與效率提升。最后，分析了FDFD 模型離散數(shù)對模型精度的影響。

1 排風(fēng)隔熱墻的二維FDFD 模型

1.1 物理模型

排風(fēng)隔熱墻由多孔層，空腔層，外結(jié)構(gòu)層組成。其基本原理為：室內(nèi)排風(fēng)通過多孔層，空腔層排出，從而帶出從室外傳人室內(nèi)的熱量（或冷量），降低外墻體形成的空調(diào)負(fù)荷。為簡化其數(shù)學(xué)模型，對于排風(fēng)隔熱墻作出如下物理假設(shè)：

1）不考慮多孔材料和外層墻體材料在垂直方向的導(dǎo)熱。

2）不考慮空腔中的空氣與兩側(cè)壁面發(fā)生的輻射換熱，只考慮兩側(cè)壁面之間發(fā)生的輻射換熱。

3）墻體，多孔材料和空氣都作為均勻介質(zhì)來處理，物性參數(shù)恒定為常數(shù)。

4）空腔中的空氣作為不可壓縮流體處理，并且不考慮浮升力。空氣的滲透流速沿著多孔材料的厚度方向和高度方向是恒定的和均勻的，且假定氣流在流動過程中的濕度保持不變。

5）多孔材料內(nèi)的空氣與骨料達(dá)到瞬時熱平衡，兩者溫度相同。

其存在的物理過程主要有：室內(nèi)空氣和多孔層的對流換熱，室外空氣和外結(jié)構(gòu)層的對流換熱，空腔空氣與兩側(cè)壁的對流換熱?？涨粌蓚?cè)壁的輻射換熱。多孔層和外結(jié)構(gòu)層導(dǎo)熱。多孔層和空腔的空氣對流熱。

1.2 二維FDFD 模型

根據(jù)物理假設(shè)可建立排風(fēng)隔熱墻的二維FDTD模型[1-2]。在此基礎(chǔ)上引入溫度波的傅里葉級數(shù)分解可以推導(dǎo)出排風(fēng)隔熱墻的二維FDFD 模型。

對于一個以時間τ0為周期的溫度波t(τ)，可以分解為一系列頻率的正弦波的加和[3]，其復(fù)數(shù)形式表示如式（1）：

式中：dw稱之為溫度波的離散頻譜，和頻率w 有關(guān)的復(fù)數(shù)；，是虛數(shù)單位。

將式（1）應(yīng)用到二維FDTD 模型中，可以得到式（2）～（8）組成的二維FDFD 模型的方程組。在此，為了書寫方便，將式（1）中dw的下標(biāo)w 略去。

1）多孔層水平方向上離散為n 個節(jié)點(diǎn)，式（2）為內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程。式（3）、（4）為邊界節(jié)點(diǎn)方程。

2）空腔豎直方向上離散為y 個節(jié)點(diǎn)，式（5）為其節(jié)點(diǎn)方程。

3）外結(jié)構(gòu)層水平方向上離散為m 個節(jié)點(diǎn)，式（6）為內(nèi)節(jié)點(diǎn)方程，式（7）、（8）為邊界節(jié)點(diǎn)方程。

式（2）～（8）中，引入了導(dǎo)熱系數(shù)和一些準(zhǔn)則數(shù)；其中，a=λ/ρc，Pe=ρa(bǔ)cauΔxp/λp，Bi=hΔx/λ；其余參數(shù)的說明：ρ代表密度，kg/m3；c 代表比熱容，J/(kg·K)；λ 代表導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；h 代表對流換熱系數(shù)，W/(m2·K)；Δx 代表水平方向相鄰節(jié)點(diǎn)距離，m；Δy 代表豎直方向相鄰節(jié)點(diǎn)距離，m；υ，υk分別為多孔層中空氣的滲流速度和空腔中第k 個節(jié)點(diǎn)的空氣流速，m/s。下標(biāo)(p,i)，(a,k)，(w,i)分別代表多孔層，空腔層，外結(jié)構(gòu)層各離散節(jié)點(diǎn)，下標(biāo)in,out 分別代表室內(nèi)溫度點(diǎn)，室外空氣綜合溫度點(diǎn)；下標(biāo)a，p，w 分別代表空氣，多孔材料，外層結(jié)構(gòu)；下標(biāo)pi，po，wi，wo，r 分別代表多孔層室內(nèi)側(cè)壁面及外側(cè)壁面，外層結(jié)構(gòu)內(nèi)側(cè)壁面及外側(cè)壁面，多孔層外壁面和外結(jié)構(gòu)層內(nèi)壁面的輻射換熱。

對于多孔層室內(nèi)側(cè)的對流換熱系數(shù)hpi取為5.26 W/(m2·K)[4]，外結(jié)構(gòu)層室外側(cè)對流換熱系數(shù)hwo取為23.26 W/(m2·K)[5]，空腔兩側(cè)的對流換熱系數(shù)hpo，hwi相等，均按式（9）計算[6]：

式（2）～（9）共同構(gòu)成了封閉的方程組，使某個頻率w 下的din，dout作為輸入，則通過二維FDFD 模型可以求出排風(fēng)隔熱墻各點(diǎn)對應(yīng)頻率w 下的溫度波分量。如果要求出排風(fēng)隔熱墻各點(diǎn)的溫度波響應(yīng)，則只需要把所有頻率下的溫度波分量按式（1）進(jìn)行加和即可，具體的求解過程可見圖2。

圖2 時域溫度波響應(yīng)的求解流程

1.3 離散傅里葉變換（DFT）

在實(shí)際問題中，一般處理的不是連續(xù)溫度波，而是離散的溫度時間序列，這時可采用DFT 將周期離散溫度時間序列變?yōu)殡x散溫度頻率序列，采用tn(n=0,…,N-1)表示周期溫度時間序列，dk(k=0,…,N-1)表示頻率序列，DFT 與離散傅里葉逆變換（IDFT）如式（10），式（11）所示：

d0對應(yīng)的頻率分量為0 頻，dk(1≤k≤N/2)對應(yīng)的頻率為正頻率((2π/τ0)k)，而dk(k≥1+N/2)對應(yīng)的頻率為負(fù)頻率((2π/τ0)(k-N))；當(dāng)N 為偶數(shù)時，dk(k=N/2)對應(yīng)頻率代表著負(fù)頻率；當(dāng)N 為奇數(shù)時，dk(k=(N-1)/2)對應(yīng)頻率代表著最大的正頻率，dk(k=(N+1)/2)對應(yīng)頻率代表著最大的負(fù)頻率。

2 模型比較

將二維FDTD 模型和二維FDFD 模型（數(shù)值模型）進(jìn)行比較，說明FDFD 模型的精度，計算效率以及其適用性。

2.1 模型參數(shù)條件說明

模型計算比較時取的物性參數(shù)如表1 所示，其中多孔層材料取的是玻璃纖維，外層結(jié)構(gòu)取的是粘土磚。對于排風(fēng)隔熱墻的尺寸參數(shù)，具體如表2 所示。排風(fēng)隔熱墻的滲透風(fēng)速取0.001 m/s。

表1 材料物性表

表2 尺寸參數(shù)表

取周期為24 h 的室內(nèi)外溫度波擾動，其具體如圖3 所示。室外溫度波的擾動參考了武漢夏季某一天的室外綜合溫度，室內(nèi)溫度波的擾動則為空調(diào)工況下的一天室內(nèi)溫度波動。

圖3 室內(nèi)外溫度波擾動

2.2 FDFD 模型精度比較

以經(jīng)過充分發(fā)展并且已得到驗(yàn)證的FDTD 模型為參考對象[1-2]，說明FDFD 模型的精度特性。

如圖4 所示，表示的是根據(jù)上節(jié)所述條件，然后利用FDFD 模型和FDTD 模型計算出來的一天內(nèi)的排風(fēng)隔熱墻室內(nèi)熱流密度變化，其中q 的計算式如式（12）所示。

圖4 排風(fēng)隔熱墻熱流密度變化

如圖4 所示，可以看出，F(xiàn)DFD 模型和FDTD 模型的計算結(jié)果吻合非常好。進(jìn)一步地可以匯出兩者的差異曲線，如圖5 所示?？梢钥吹?，最大差值也不超過0.1 W/m2，誤差非常小，說明FDFD 模型計算結(jié)果是可靠的。

圖5 兩模型熱流密度差異變化

值得說明的是，本次計算采用的節(jié)點(diǎn)離散數(shù)目分別是：多孔層內(nèi)離散節(jié)點(diǎn)數(shù)n=20，外結(jié)構(gòu)層離散節(jié)點(diǎn)數(shù)m=20，空腔豎直向離散節(jié)點(diǎn)數(shù)y=5。

2.3 FDFD 模型效率和計算輸入

FDFD 模型為計算帶來了效率上的巨大提升。以上面的計算為例，說明FDFD 模型和FDTD 模型計算時間上的差異。在處理器為Intel Core i5-7400 的計算機(jī)上，采用Python3 的編程環(huán)境進(jìn)行計算，F(xiàn)DFD 模型相對于FDTD 模型在計算速度上快了約70 倍左右。

FDFD 模型相對于FDTD 模型的輸入條件有所不同。FDFD 模型需要周期性的溫度波輸入條件，并且無需初始條件。而FDTD 模型需要給定初始條件，和任意的溫度波邊界條件。

3 FDFD 模型離散特性

FDFD 模型計算速度受到模型的空間離散程度的影響，即多孔層內(nèi)離散節(jié)點(diǎn)數(shù)n，外結(jié)構(gòu)層離散節(jié)點(diǎn)數(shù)m 和空腔豎直向離散節(jié)點(diǎn)數(shù)y。如何在保證模型精度的條件下，盡可能地減小離散節(jié)點(diǎn)數(shù)n，m，y。并且如果模型精度得到保證，y 降低到1，F(xiàn)DFD 模型從二維退化成一維，則FDFD 模型可以得到大大簡化。

首先對多孔層離散節(jié)點(diǎn)數(shù)n 對模型結(jié)果的影響進(jìn)行探究。這里，選取一天內(nèi)熱流密度變化的最大值作為模型結(jié)果進(jìn)行比較。如圖6 所示，顯示的是n 分別取2，5，10，20，50，100 時的最大熱流密度。此時的m=20，y=5。

可以看到n=20 時最大熱流密度趨于穩(wěn)定，n=20是較為理想的節(jié)點(diǎn)數(shù)。換算成相應(yīng)的相鄰節(jié)點(diǎn)距離表示，即多孔層內(nèi)的相鄰節(jié)點(diǎn)距離1.58 mm 左右時模型結(jié)果較為理想。

類似地對m 作如上的分析，如圖7 所示，此時的n=20，y=5?？梢钥吹絤=10 時就可以保證足夠的精度。相應(yīng)的外結(jié)構(gòu)層的相鄰節(jié)點(diǎn)距離為22.22 mm 左右時，模型結(jié)果較為理想。

圖7 不同節(jié)點(diǎn)數(shù)m 下的最大熱流密度

圖8 不同節(jié)點(diǎn)數(shù)y 下的最大熱流密度

對y 分別取1，5，10，20，50，100 時，結(jié)果如圖8 所示?？梢钥吹?，即使y 取1，模型結(jié)果誤差也不會超過0.03 W/m2。說明二維FDFD 模型即使簡化成一維也不會對結(jié)果帶來太大的影響。

另外，多孔層的取的節(jié)點(diǎn)數(shù)目n 對模型結(jié)果影響最大，應(yīng)該多取一點(diǎn)。其次是外結(jié)構(gòu)層的節(jié)點(diǎn)數(shù)目m?？涨回Q直向的節(jié)點(diǎn)數(shù)目y 對結(jié)果影響最小，甚至可以簡化為一個，從而將二維模型變?yōu)橐痪S模型。

4 結(jié)論

本研究建立了排風(fēng)隔熱墻的二維FDFD 模型。然后將二維FDFD 模型和數(shù)值模型作了對比，說明其精度，計算效率和計算輸入特點(diǎn)。最后分析了二維FDFD模型的離散特性，得到了如下結(jié)論：

1）二維FDFD 模型和二維FDTD 模型相比具有足夠的精度，在本文的算例中，兩模型計算得到的熱流密度差異最大也不超過0.1 W/m2。

2）二維FDFD 模型相對于二維FDTD 模型計算速度得到了大幅度的提升。兩模型的輸入條件有所不同，F(xiàn)DFD 模型僅需要周期邊界條件，而FDTD 模型需要初始條件以及任意邊界條件。

3）多孔層的離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目n 對二維FDFD 模型帶來的結(jié)果影響較大。外結(jié)構(gòu)層的離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目m，空腔豎直向的離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目y 對二維FDFD 模型的影響較小。

結(jié)果表明：本研究建立的排風(fēng)隔熱墻二維FDFD模型具有和傳統(tǒng)的數(shù)值模型具有幾乎一樣的準(zhǔn)確度，并且計算效率得到大幅度提升。