于海芳

（朝陽師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)系，遼寧 朝陽 122000）

0 引言

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，概率理論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論作為大數(shù)據(jù)理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)顯得越來越重要。概率不等式是概率理論的重要研究部分，概率不等式在證明精確大偏差、強(qiáng)大數(shù)定律、完備收斂等概率理論中起到重要作用。尤其是在概率理論的大偏差方向，一個(gè)好的隨機(jī)變量的概率不等式對(duì)于在求解精確大偏差的上、下界中的作用更為顯著。一個(gè)好的相依隨機(jī)變量的概率不等式，能得到比較好的精確大偏差的上界和下界。本文設(shè){ξi,i=1,2,…}是一個(gè)隨機(jī)變量序列是 {ξ,i=1,2,… }的前n項(xiàng)部分和。當(dāng) {ξ,i=1,2,… }是一個(gè)隨機(jī)變量ii序列，各自對(duì)應(yīng)的分布為 {Fi(x),i=1,2,… }（其中Fi(x)=P(ξi≤x)，x∈ R）。文獻(xiàn)［1］提出：設(shè){yi＞ 0,i= 1,2,…}，y＞ max1≤i≤n{yi}，0

證明過程詳見文獻(xiàn)［1］。在引入相應(yīng)的概率不等式后，文獻(xiàn)［2］給出了D族END隨機(jī)變量的隨機(jī)和的精確大偏差，文獻(xiàn)［3］得到了索賠盈余風(fēng)險(xiǎn)模型中精確大偏差，文獻(xiàn)［4］推廣了延拓負(fù)相依風(fēng)險(xiǎn)模型中的精確大偏差，文獻(xiàn)［5］和［6］分別給出了延拓負(fù)相依和寬相依隨機(jī)變量序列條件下的精確大偏差的結(jié)論，文獻(xiàn)［7］和［8］在帶有隨機(jī)利率條件和NA條件下得到了精確大偏差的漸近結(jié)論。本文主要研究了帶寬上限相依的隨機(jī)變量序列，得到了一個(gè)寬上限相依隨機(jī)變量的概率不等式，旨在為概率論不等式理論提供一個(gè)新的有用的結(jié)論，并將在研究精確大偏差、破產(chǎn)概率等概率理論中起到重要作用。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè){ξi,i=1,2,…}是一個(gè)存在有限期望的、非負(fù)的、不同分布的隨機(jī)變量序列，對(duì)應(yīng)的分布為 {Fi(x),i=1,2,… }，對(duì)應(yīng)的期望為 {μi,i=1,2,… }，且 {ξi,i=1,2,… }滿足如下條件。

定義1［6］設(shè){ξi,i=1,2,…}是一個(gè)隨機(jī)變量序列，對(duì)于每一個(gè)有限的正整數(shù)n，存在某個(gè)有限的正數(shù)gU(n)，使得對(duì)所有的xi∈ (0,∞)，i=1,2,…,n，當(dāng)

成立時(shí)，稱{ξi,i=1,2,…}是寬上限相依的隨機(jī)變量序列，稱gU(n)為{ξi,i=1,2,…}控制系數(shù)。

定義2［5］設(shè)ξ是一個(gè)取值非負(fù)的隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)的分布為F(x)，稱

引理1［6］當(dāng){ξi,i=1,2,…}是一個(gè)非負(fù)的、寬上限相依的隨機(jī)變量序列，則有：

① 如果{fi(·),i≥ 1}是非降的函數(shù)序列，則{fi(ξi),i≥ 1}也是一個(gè)寬上限相依；

②對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，有

特別地，如果{ξi,i=1,2,…}是一個(gè)寬上限相依的隨機(jī)變量序列，則對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n和任意的s＞ 0，有

2 寬上限相依隨機(jī)變量的概率不等式

定理1設(shè)ξ是一個(gè)取值非負(fù)的隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)的分布為F(x)，存在有限的期望μ；設(shè){ξi,i=1,2,…}是一個(gè)非負(fù)的、寬上限相依的、不同分布的隨機(jī)變量序列，控制系數(shù)為gU(n)，對(duì)應(yīng)的分布為{Fi(x),i=1,2,…}，對(duì)應(yīng)的期望為{μi,i=1,2,…}，滿足下列假設(shè)條件：

H1 存在某個(gè)正數(shù)θ∈(0,1)，使得

則對(duì)于任意的v＞ 0，存在與x和n無關(guān)的r3=r3(v)＞ 0，使得對(duì)于所有的n∈Z+和充分大的x，有

證明對(duì)于任意的v＞ 0和任意的θ∈(0,1)，n∈ Z+，記由假設(shè)條件 H2 知當(dāng)x充分大時(shí)，則有

此處利用截?cái)嗾`差的方法來估計(jì)（1）式中P(S?n＞x)的上界。對(duì)于任意的ε∈(0,1)，設(shè)

則當(dāng)n→∞時(shí)有x→∞，從而有h↓ 0，h將在后面用到。由馬爾科夫不等式可得

由{ξi,i=1,2,…}是一個(gè)寬上限相依的隨機(jī)變量序列和引理1的①可知，{ξ?n,n=1,2,…}仍是一個(gè)寬上限相依的隨機(jī)變量序列。由引理1的②則有

對(duì)于任意的ε∈(0,1)，當(dāng)n充分大時(shí)，x充分大，則有

將（3）式代入（2）式，整理可得

由于不等式ln(a+x)

由假設(shè)條件H3，當(dāng)n較充分大時(shí)可有

由（4）式有

將（5）式代入（1）式中，當(dāng)x充分大時(shí)可得