吳文峰， 吳幼明

(1． 代頓大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 俄亥俄 代頓 45469； 2． 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 佛山 528000)

*通信作者：吳幼明，男，廣東廣州人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，博士.

0 引言

很多現(xiàn)實(shí)中的社會(huì)和工程技術(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型都是以微分方程的形式出現(xiàn)的，而工程技術(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般都是高階微分方程組[1]，因此對(duì)微分方程組的求解十分重要.

目前已有很多學(xué)者對(duì)常系數(shù)微分方程組的解法研究做了不少貢獻(xiàn)，但大部分工作都是針對(duì)一階微分方程組的研究，如文[2-3]分別采用初等變換解法和消去法對(duì)一階微分方程組進(jìn)行了求解，文[4-6]分別采用遞推公式法、矩陣解法和初等解法對(duì)一階微分方程組的解法做了探討，并得到了通解公式，等等. 而對(duì)高階微分方程組的研究文獻(xiàn)卻較少，文 [7]采用降階和歐拉方法給出了常系數(shù)微分方程組Af″-Bf=t(x)的通解公式，文[8]采用降階法，把三階微分方程化為3個(gè)一階微分方程來(lái)求解且得到其實(shí)用的通解公式，文[9]得到了常系數(shù)微分方程組f?-Bf=0的通解，文[10]采用一種特征根解法對(duì)方程Af″-Bf′-Cf=0的解做了詳細(xì)的討論，但未能給出簡(jiǎn)明通用的通解公式. 文[11]采用變量代換、特征值方法獲得了常系數(shù)微分方程組Af″-aAf′-Bf=t(x)的通解公式，文獻(xiàn)[12-13]采用降階方法、歐拉方法和待定矩陣方法得出常系數(shù)微分方程組Af″-Bf′-Af=t(x)的通解公式.

本文在文[7,11-12]的基礎(chǔ)上，采用待定矩陣和歐拉方法，導(dǎo)出了微分方程組Af″-bBf′-Bf=t(x)簡(jiǎn)明通用的通解公式，這是文[7]的延續(xù)，亦是文[11-12]的補(bǔ)充. 因此更具有普遍性，為高階微分方程組的研究提供了重要的參考資料.

1 符號(hào)

為了敘述方便，引入一些記號(hào)如下：微分方程組

(1)

其中fi=fi(x)(i=1,2,3)是關(guān)于x的函數(shù)，ti(x)(i=1,2,3)是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，aij,bij,b(i,j=1,2,3)為常數(shù)，將方程組(1)寫(xiě)成矩陣形式：

(2)

(3)

則式(2)可寫(xiě)為

(4)

2 方程的通解

2.1 齊次方程的通解

先采用特征根法解方程(4)對(duì)應(yīng)的齊次方程，其形式如下：

(5)

(6)

矩陣D的特征多項(xiàng)式為

(7)

(8)

1)當(dāng)λ=λ1時(shí)，解特征方程(D-λ1E6)ξ=0，求出特征根λ1對(duì)應(yīng)的特征向量ξ1，即

(9)

對(duì)式(9)系數(shù)矩陣作初等變換，得ξ14=λ1ξ11,ξ15=λ1ξ12,ξ16=λ1ξ13. 而ξ11,ξ12,ξ13由下面方程組解出:

(10)

解方程(10)，得對(duì)應(yīng)λ=λ1時(shí)的特征向量為ξ1=[ξ11,ξ12,ξ13,λ1ξ11,λ1ξ12,λ1ξ13]T.

同理可求出特征根λ2,λ3,λ4,λ5,λ6對(duì)應(yīng)的特征向量ξ2,ξ3,ξ4,ξ5,ξ6，其形式如下：

3)當(dāng)λ=λ3時(shí)，得特征向量為ξ3=[ξ31,ξ32,ξ33,λ3ξ31,λ3ξ32,λ3ξ33]T.

5)當(dāng)λ=λ5時(shí)，得特征向量為ξ5=[ξ51,ξ52,ξ53,λ5ξ51,λ5ξ52,λ5ξ53]T.

(11)

取式(11)的前三項(xiàng)及前面得到的特征值和特征向量的結(jié)論，可得方程(5)的通解為

V[exp(Λ1x)C1′+exp((bΛ2-Λ1)x)C2′].

(12)

2.2 非齊次方程的特解

ft(x)=-B-1t(x)+bB-1t′(x)-(b2B-1+B-1AB-1)t″(x).

(13)

由式(12)與式(13)得方程(2)的通解f=V[exp(Λ1x)C1′+exp((bΛ2-Λ1)x)C2′]+ft.

注當(dāng)b=0時(shí)，方程(2)的通解公式為

[f1,f2,f3]T=V[exp(Λ1x)C1′+exp(-Λ1x)C2′]-B-1t(x)-B-1AB-1t″(x).

(14)

式(14)與式(12)、式(13)[7]一致，說(shuō)明本文的通解公式是文[7]的拓展.

3 算例

用本文方法求下列方程組的通解

(15)

解將式(15)寫(xiě)成矩陣的形式如下：

則方程組(15)的通解為

即

(16)

式(16)經(jīng)驗(yàn)算，確是式(15)的解.

4 結(jié)語(yǔ)

本文方法所得通解具有一般性，對(duì)分析任意初始條件的問(wèn)題帶來(lái)了方便. 微分方程組的右端非齊次項(xiàng)取不同形式時(shí)可得到不同形式的特解. 通解公式可通過(guò)編程進(jìn)行電算. 本文只討論了二階微分方程組通解和特解公式的情況，而目前對(duì)三階及以上的微分方程組的研究還很少，研究的理論和方法也不夠完善，微分方程組的通解和特解之間的聯(lián)系與區(qū)別也還有待發(fā)掘. 后續(xù)工作可著力于三階微分方程組的通解和特解的理論解公式的推導(dǎo)，以及推導(dǎo)這些公式所采用的方式方法研究.