洪勇

(1. 廣東白云學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室， 廣東 廣州 510450； 2. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510320)

0 引言

1908年和1911年，著名數(shù)學(xué)家Hilbert和Schur先后證明了不等式：

兩式中的常數(shù)因子π都是最佳的. 由于這兩個(gè)不等式分別與級數(shù)算子和積分算子有緊密的聯(lián)系，由此它們有重要應(yīng)用價(jià)值. 特別是近代調(diào)和分析采用算子理論作為基本研究方法后，更加突顯了這類不等式的理論意義，從而進(jìn)一步促進(jìn)了對這兩個(gè)不等式的研究，形成了一套Hilbert型不等式的理論體系.

本文針對齊次核的Hilbert型積分不等式理論體系由淺入深、由特殊到一般、由具體到抽象的形成過程，結(jié)合作者的研究成果，陳述其研究歷程及目前的研究現(xiàn)狀，展示了齊次核的Hilbert型積分不等式的3個(gè)發(fā)展階段.

1 Hilbert型積分不等式與權(quán)系數(shù)方法

(1)

因此對式(1)的研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用. 于是引入多個(gè)參數(shù)，對式(1)進(jìn)行改進(jìn)、推廣和向高維發(fā)展的研究隨之展開.

近100年來，特別是最近20年，經(jīng)國內(nèi)外學(xué)者楊必成、匡繼昌、洪勇、高明哲、Mitrino J E、Pecaric J E等的努力，取得了豐碩的成果，在國內(nèi)外重要期刊上發(fā)表了數(shù)百篇的學(xué)術(shù)論文.

之所以近20年內(nèi)，Hilbert型不等式的研究能夠取得重大進(jìn)展，很大程度上也得益于徐利治先生在[2]中提出的權(quán)系數(shù)方法，其基本思想是：

設(shè)r>0，α∈R，記

選取參數(shù)a、b，根據(jù)H?lder不等式，有

其中：權(quán)函數(shù)ω1(x)及ω2(y)為

于是

記α=λ+ap-bp+1，β=λ+bq-aq+1，則得到Hilbert型積分不等式：

(2)

選取適配參數(shù)有較強(qiáng)的技巧，是得到最佳Hilbert型不等式的關(guān)鍵所在.

定義奇異積分算子T為

(3)

則可以證明式(2)等價(jià)于

2 Hilbert型積分不等式研究的第一階段

這個(gè)階段持續(xù)時(shí)間最長，多年來，特別是從徐利治先生提出權(quán)系數(shù)方法以來，以楊必成為首的一大批學(xué)者取得了大量的成果，其特點(diǎn)是：針對一些具體的齊次核，技巧性地進(jìn)行參數(shù)搭配，通過對權(quán)函數(shù)精確細(xì)致的估算，得到若干具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型積分不等式，同時(shí)也對式(1)進(jìn)行改進(jìn)與推廣.

選取適配數(shù)a=b=(1-λ)/4，2000年文[3]引入多個(gè)參數(shù)得到定理1.

這個(gè)定理的意義在于較早引入多個(gè)獨(dú)立參數(shù)，用權(quán)系數(shù)方法得到了齊次核的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型不等式，為后來的進(jìn)一步研究提供了范例.

選取適配數(shù)a=b=(1-λ)/(pq)，文[4]得到定理2.

其中的常數(shù)因子是最佳的.

選取適配數(shù)a=(1-λ)/q2，b=(1-λ)/p2，文[5]得到定理3.

其中的常數(shù)因子是最佳的.

根據(jù)定理2和定理3，選取不同的適配數(shù)進(jìn)行不同的參數(shù)搭配可以得到同一個(gè)齊次核的不同的Hilbert型積分不等式，且常數(shù)因子都是最佳的.

選取適配數(shù)a=b=(2-λ1λ2)/(pq)，可得定理4.

其中的常數(shù)因子是最佳的.

更多的相關(guān)結(jié)果，可以參見文 [6-12].

3 Hilbert型積分不等式研究的第二階段

利用權(quán)系數(shù)方法研究Hilbert型積分不等式時(shí)，要使所得的不等式具有最佳常數(shù)因子，不僅需要精細(xì)的對權(quán)函數(shù)的估算，更關(guān)鍵的還在于搭配參數(shù)a、b的選取. 那么怎樣選取a和b使之能成為適配數(shù)呢？前面的研究都是基于作者豐富的經(jīng)驗(yàn)而得到的. 經(jīng)過對大量文獻(xiàn)的分析和探索，2016年文[13]完美地解決了這一問題，雖然文章是針對級數(shù)不等式而言的，但易知對積分不等式仍然適用.

都收斂. 則

(4)

該結(jié)果的出現(xiàn)，將齊次核的Hilbert型積分不等式的研究推向了一個(gè)新的階段. 其特征是：選取a、b滿足bp+aq=λ+2，可以成批地得到相應(yīng)的Hilbert型積分不等式.

又由于bp+aq=(μ-λ)+2也可寫為

由于bp+aq=(μ-λ)+2還可寫為

設(shè)K(x,y)=|ln(x/y)|/max{xλ,yλ}，則K(x,y)是-λ階齊次非負(fù)函數(shù). 因?yàn)閎p+aq=2-λ可寫為.

其中的常數(shù)因子是最佳的.

4 Hilbert型積分不等式研究的第三階段

(5)

成立. 若要進(jìn)一步求出算子范數(shù)，還需討論當(dāng)式(5)成立時(shí)，其最佳常數(shù)因子是多少？

這些問題的討論顯然是更深入更具重要意義的，可喜的是2017年文[14]得到定理10.

(6)

由此可得到：當(dāng)且僅當(dāng)λ=-1即當(dāng)K(x,y)是-1階齊次非負(fù)函數(shù)時(shí)，T是Lp(0,+)到自身的有界算子.

在這個(gè)階段，可構(gòu)造出齊次核下的所有Hilbert型積分不等式，只需取特定的K(x,y)并計(jì)算出

取0階齊次核的非負(fù)函數(shù)：

于是可得定理11.

取-λ階齊次非負(fù)函數(shù)：

于是可得定理12.

利用上述方法構(gòu)造齊次核的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型積分不等式，主要工作就是計(jì)算積分

5 結(jié)語

在研究齊次核的Hilbert型積分不等式的過程中，許多學(xué)者同時(shí)也討論一些非齊次核的情況，當(dāng)然還考慮Hilbert型級數(shù)不等式、半離散Hilbert型不等式，并將相關(guān)結(jié)果推向高維情形. 限于篇幅，對這些方面的研究進(jìn)展與研究現(xiàn)狀，筆者將在另文陳述.