郭 軍，王炳榮

(北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

0 引 言

隨著我國工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，對機(jī)器人軌跡控制精度提出了更高的要求[1]。

對工業(yè)機(jī)器人性能特征的研究測量具有非常重要的價(jià)值。這些性能標(biāo)準(zhǔn)由國家和國際工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)定義，也描述了評估它們的方法。然而，將這些標(biāo)準(zhǔn)和方法直接應(yīng)用于任何機(jī)器人可能導(dǎo)致機(jī)器人精確度的錯(cuò)誤識別。李志杰等[2]應(yīng)用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論和最小二乘誤差理論,推導(dǎo)出了用于評價(jià)機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)軌跡成形精度的空間最小二乘直線的通用求解方法。該方法具有求解精度高、算法簡便、通用性較強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)；蔡廣宇等[3]提出了空間直線擬合的方法對機(jī)器人直線軌跡進(jìn)行了擬合，通過分析誤差分布情況為機(jī)器人的位姿誤差補(bǔ)償及精度優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)；瑞典Selspot公司生產(chǎn)的雙攝像機(jī)測試系統(tǒng)采用了“替代”求解方法，該方法原理是在對機(jī)器人進(jìn)行多次重復(fù)測量時(shí),迭用其任意一次運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)所確定的空間直線來代替所要求的空間最小二乘直線；陳凱強(qiáng)等[4]提出了一種基于NURBS曲線的插值方法和插補(bǔ)的原理，通過MATLAB仿真對該方法進(jìn)行了測試，顯著降低了插值誤差和計(jì)算量；JOHNEN B等[5]提出了動(dòng)態(tài)時(shí)間扭曲(DTW)作為工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析的方法，提出了DTW算法的一種新變體，它允許內(nèi)插軌跡點(diǎn)的映射，而不會顯著增加計(jì)算復(fù)雜度。

本文采用激光跟蹤儀連續(xù)測量模式對工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行直線位置準(zhǔn)確度指標(biāo)測試[6]，對機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)軌跡精度進(jìn)行評估。

1 位置軌跡準(zhǔn)確度測量方法與原理

國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 12642—2013《工業(yè)機(jī)器人性能規(guī)范及其試驗(yàn)方法》規(guī)定，位置軌跡準(zhǔn)確度是指指令軌跡上m個(gè)位置與n次測量的集群中心點(diǎn)之間的最大偏差[8]。

軌跡準(zhǔn)確度如圖1所示。

圖1 GB/T 12642—2013規(guī)定軌跡準(zhǔn)確度

位置軌跡準(zhǔn)確度的計(jì)算方法如下：

(1)

(2)

式中：xci，yci，zci—每個(gè)測試點(diǎn)的理論位置坐標(biāo)；xij，yij，zij—第j條實(shí)到軌跡與第i個(gè)正交平面交點(diǎn)的坐標(biāo)。

根據(jù)指令軌跡形狀與試驗(yàn)速度，筆者沿指令軌跡選擇一些計(jì)算點(diǎn)及相應(yīng)的正交平面。

但是標(biāo)準(zhǔn)中沒有規(guī)定應(yīng)該構(gòu)造多少正交平面以及應(yīng)該放置它們的位置，所以給軌跡的精度評估帶來了一定的不確定性。本文采用以下3種方法對直線軌跡位置準(zhǔn)確度進(jìn)行近似計(jì)算。

當(dāng)采樣頻率較慢、采樣點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，采用三次樣條插值方法，對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可模擬計(jì)算出更多實(shí)際點(diǎn)的位置，得到更準(zhǔn)確的實(shí)際軌跡位置：

(1)采用點(diǎn)到直線距離近似計(jì)算直線軌跡位置誤差。假設(shè)機(jī)器人在實(shí)際執(zhí)行直線路徑任務(wù)過程中，起點(diǎn)為P0(x0，y0，z0)，終點(diǎn)為P1(x1，y1，z1)每個(gè)時(shí)刻到達(dá)的位置為Pi(xi，yi，zi)，可以通過激光跟蹤儀測量得到該位置坐標(biāo)值。

以該位置在理論直線路徑上的垂足點(diǎn)P0i(x0i，y0i，z0i)作為機(jī)器人實(shí)際執(zhí)行直線路徑任務(wù)過程中每個(gè)時(shí)刻的理論位置，則|PiP0i|為該點(diǎn)近似軌跡位置誤差，點(diǎn)到直線距離計(jì)算軌跡準(zhǔn)確度如圖2所示。

圖2 點(diǎn)到直線距離計(jì)算軌跡準(zhǔn)確度

理論直線方程如下：

(3)

式中：m，n，p—直線的一組方向數(shù)。

m=x1-x0
n=y1-y0
p=z1-z0

(4)

轉(zhuǎn)換成參數(shù)方程為：

x0i=mti+x0
y0i=nti+y0
z0i=pti+z0

(5)

(6)

每個(gè)測量點(diǎn)在理論直線上對應(yīng)的位置由下式計(jì)算：

(7)

則點(diǎn)到直線距離即位置軌跡誤差為：

(8)

(2)假設(shè)機(jī)器人在實(shí)際執(zhí)行直線路徑任務(wù)過程中，起點(diǎn)為P0(x0，y0，z0)，終點(diǎn)為P1(x1，y1，z1)，通過激光跟蹤儀測量每個(gè)時(shí)刻到達(dá)的位置得到該位置坐標(biāo)值。

利用三次樣條插值方法對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，將x作為自變量，將y、z看成x的函數(shù)，y=y(x)，z=z(x)，實(shí)際軌跡插值點(diǎn)記為Pi(xi，yi，zi)，利用分段線性插值方法對理論軌跡直線進(jìn)行計(jì)算。

同樣，將x作為自變量，將y、z看成x的函數(shù)，理論直線軌跡插值點(diǎn)記為P0i(x0i，y0i，z0i)，與實(shí)際軌跡插值點(diǎn)數(shù)一一對應(yīng)，近似計(jì)算直線軌跡位置誤差，如圖3所示。

圖3 利用插值方法計(jì)算軌跡準(zhǔn)確度

理論直線方程如下：

(9)

將理論直線進(jìn)行線性插值，等間距分成m段，則每兩點(diǎn)之間的差值如下：

(10)

則插值計(jì)算后理論直線上的點(diǎn)如下：

P0i=P0(x0,y0,z0)+(dx,dy,dz)i=
(x0+dxi,y0+dyi,z0+dzi)

(11)

軌跡位置誤差為：

(12)

(3)利用速度時(shí)間關(guān)系求解每個(gè)時(shí)刻對應(yīng)理論位置點(diǎn)。假設(shè)機(jī)器人在實(shí)際執(zhí)行直線路徑任務(wù)過程中，起點(diǎn)為P0(x0，y0，z0)，終點(diǎn)為P1(x1，y1，z1)每個(gè)時(shí)刻到達(dá)的位置為Pi(xi，yi，zi)，可以通過激光跟蹤儀測量得到該位置坐標(biāo)值。

利用速度時(shí)間關(guān)系計(jì)算軌跡準(zhǔn)確度如圖4所示。

圖4 利用速度時(shí)間關(guān)系計(jì)算軌跡準(zhǔn)確度

理論直線方程為：

(13)

理論直線方向單位向量為(m，n，p)，可由下式計(jì)算：

(14)

將測量數(shù)據(jù)進(jìn)行等間距分段，對每段直線進(jìn)行相同的分析處理，采樣頻率為t=0.01 s，可根據(jù)下式求出每兩點(diǎn)之間速度：

(15)

將分段內(nèi)的速度值進(jìn)行最小二乘法擬合，即：

v=v0+at

(16)

式中：v0—初始速度；a—加速度；t—運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

將其近似看成沿理論直線方向的運(yùn)動(dòng)速度，據(jù)此由下式求出分段內(nèi)每個(gè)時(shí)刻在理論直線上對應(yīng)位置為P0i(x0i，y0i，z0i)：

x0(i+1)=x0i+vtm
y0(i+1)=y0i+vtn
z0(i+1)=z0i+vtp

(17)

軌跡位置誤差如下：

(18)

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

2.1 測試條件

首先筆者對工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行必要的校準(zhǔn)操作；設(shè)定測試的環(huán)境溫度為20 ℃，試驗(yàn)溫度應(yīng)保持在±2 ℃之內(nèi)，并將實(shí)驗(yàn)裝置置于試驗(yàn)環(huán)境中24 h[9-11]。

該實(shí)驗(yàn)所要測試的直線為點(diǎn)P2～P4。實(shí)驗(yàn)在10%額定負(fù)載(10 kg)、10%速度下進(jìn)行測試，循環(huán)次數(shù)為10次，最終結(jié)果為10次循環(huán)的平均值。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)計(jì)算數(shù)值以激光跟蹤儀為坐標(biāo)系，P2點(diǎn)在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的理論值為(4 823.453 181 mm，-3 317.412 862 mm，1 163.644 51 mm)，P4點(diǎn)在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的理論值為(5 017.637 83 mm，-3 689.241 917 mm，743.126 406 3 mm)，激光跟蹤儀采樣頻率為100 Hz，即t=0.01 s測一個(gè)點(diǎn)。

直線軌跡位置誤差的3種計(jì)算方法結(jié)果如圖5所示。

圖5 3種測量方法直線軌跡誤差測量

圖5(b)中，第2種測量方法將x作為自變量，y、z作為x的函數(shù)，所以x方向的誤差結(jié)果為一條直線。

3種測量方法的誤差最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。

表1 3種測量方法的誤差最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差

2.3 結(jié)果分析

由表1可看出，軌跡誤差最大值最小為0.605 1 mm，軌跡誤差最大值最大為0.636 0 mm；平均值最小為0.501 4 mm，平均值最大為0.525 6 mm；標(biāo)準(zhǔn)差最大為0.045 9 mm，標(biāo)準(zhǔn)差最小為0.035 8 mm，3種計(jì)算方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。

從圖5中可以看出，3種計(jì)算方法整體上誤差值變化有相同的趨勢，誤差變化幅度相似，x方向誤差值比較大，z方向誤差值比較??；3種計(jì)算方法都可以比較精準(zhǔn)地對工業(yè)機(jī)器人直線軌跡位置誤差進(jìn)行評估，可為機(jī)器人位置誤差補(bǔ)償提供理論依據(jù)。

3 結(jié)束語

本文采用激光跟蹤系統(tǒng)對工業(yè)機(jī)器人直線軌跡誤差進(jìn)行了測量，通過最小二乘法和樣條、線性插值法等3種計(jì)算方式對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算。3種方法都解決了國家標(biāo)準(zhǔn)中沒有規(guī)定的應(yīng)該構(gòu)造多少正交平面以及應(yīng)該放置它們的位置等問題。

此外，3種計(jì)算方法都很好地對機(jī)器人直線軌跡位置誤差進(jìn)行了評估，對機(jī)器人的軌跡誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。