馬天兵，陳 凱, 劉 健, 杜 菲

(1.安徽理工大學機械工程學院，安徽 淮南 232001; 2.安徽理工大學礦山智能裝備與技術安徽省重點實驗室，安徽 淮南 232001)

目前，機械臂在工業(yè)、航空以及醫(yī)療等領域應用廣泛，但機械臂運動時會產(chǎn)生一定的振動，影響其定位精度，為減少機械臂振動，需要首先了解振動產(chǎn)生的原因和機理，并對機械臂的振動特性進行分析[1-2]。國內外一些學者從動力學模型入手，對機械臂振動特性進行研究，文獻[3]考慮關節(jié)柔性建立了雙連桿機械臂模型，并對其進行了振動控制，具有重要的工程價值；文獻[4]以絕對節(jié)點坐標法對柔性梁結構進行了建模，探究了剛性、柔性坐標共享的可能性；文獻[5]利用假設模態(tài)法和漢密爾頓原理建立了機械臂柔性部分動力學模型，獲得了末端負載的殘余振動，為主動殘余振動控制提供了參考。這些研究提出了多種可靠的建模方法，但是，僅對一定條件下的振動特性進行了分析，并沒有考慮不同因素對其振動的影響關系，分析不夠全面。除上述研究之外，文獻[6]采用傳遞矩陣與機械導納建立了柔性機械臂的動力學模型，研究了復雜柔性機械臂空間多維振動特性；文獻[7]提出了一種基于變形旋量理論的動力學建模方法，探究了機械臂空間變形耦合和扭轉變形對振動特性的影響；上述研究雖然考慮了不同屬性因素對機械臂振動特性的影響情況，但研究大多側重仿真，缺少實驗的驗證與對照，并且對實測信號的振動特性分析不夠具體。

針對上述問題，本文選取剛柔機械臂作為研究對象，利用拉格朗日方程以及假定模態(tài)法對其進行動力學建模，并考慮關節(jié)柔性對模型進行優(yōu)化，仿真分析兩種模型的振動情況；搭建壓電兩關節(jié)機械臂實驗平臺，選取轉速、電機配置等因素設計正交試驗進行振動測量，并利用信號處理方式，分析振動信號，探究不同因素對機械臂振動特性的影響。

1 考慮關節(jié)柔性的建模及仿真

1.1 動力學模型的建立

為提高模型精確度，減少運算復雜度，在保證建模準確性的前提下，作出如下假設[5]：

1)只考慮柔性機械臂的橫向振動，忽略其軸向變形和剪切變形；

2)假定橫向變形為小變形；

3)機械臂的長度遠大于其截面面積；

4)忽略重力、阻力等因素對系統(tǒng)的影響。

剛柔兩關節(jié)機械臂的簡化模型如圖1所示，XOY為慣性坐標系，X1OY1、X2O2Y2分別為固連于桿1和桿2上的動坐標系，桿1是長度為l1的剛性臂桿，桿2是長度為l2的柔性臂桿；在O處設置驅動電機1，在其帶動下，桿1繞著O點旋轉，其轉動慣量為J1，加載力矩為τ1，轉動角度為θ1，在桿1另一端設置驅動電機2作為關節(jié)，并連接桿2以O2點為原點作旋轉運動，轉動慣量為J2，加載力矩為τ2，轉動角度為θ2，關節(jié)處質量為md。同樣的，P點在X2O2Y2坐標系中的存在變形，假設撓度形變量為y，則P點變形前位置為(l2，0)，變形后為(l2，y)。

圖1 剛柔兩關節(jié)機械臂的物理結構模型

則P點在X1OY1中的位置為(l1+cosθ2l2-sinθ2y,sinθ2l2+cosθ2y)，即，在XOY中的坐標為(Px,Px)，其中

(1)

則末端P點的速度的平方為

(2)

根據(jù)柔性臂桿2一側約束，另一側自由的結構特征，可將其等效為懸臂梁進行分析[7]，由約束條件可知其頻率方程為

coskl2coshkl2=-1

(3)

式中：l2為臂桿長度，則i階的固有頻率為

(4)

式中：ki為頻率方程第i個解，E2為彈性模量；I2為材料橫截面對彎曲中性軸的慣性矩；ρ2為材料密度；A2為截面面積。

對應i階頻率的模態(tài)振型函數(shù)為[8]

Zi(x)=cosh(kix)-cos(kix)-

(5)

關節(jié)轉軸1的動能為

(6)

關節(jié)轉軸2的動能為

(7)

桿1的動能為

(8)

桿1末端關節(jié)處動能為

(9)

桿2的動能為

(10)

式中：Vx為桿2距關節(jié)x處的位置的速度，公式中兩個積分分別用a、b代替

(11)

系統(tǒng)的勢能為

(12)

(13)

其中，L=T1+T2+T3+T4+T5-V。

代入對應公式，并化簡得

(14)

利用Matlab軟件中的Simulink仿真程序對上述模型進行數(shù)值仿真。設定臂桿長度l1= 0.2m、l2= 0.3m， 截面尺寸分別為A1= 9×10-5m2、A2= 1.5×10-5m2，材料密度分別為ρ1=7.8×103kg/m3、ρ2=7.9×103kg/m3，彈性模量分別為E1=2.06×1011N/m2、E2= 1.95×1011N/m2，則其對彎曲中心軸的慣性矩分別為I1= 1.69×10-9m4、I2= 1.25×10-12m4；O、O2關節(jié)處電機轉子轉動慣量分別為J1= 4.5×10-5kg·m2、J2= 5.5×10-6kg·m2，加載力矩分別為τ1= 2.3N·m、τ2= 0.46N·m。

圖2 剛性臂桿關節(jié)轉角曲線

圖3 柔性臂桿關節(jié)轉角曲線

圖4 末端振動位移曲線

從仿真結果可以看出，除開始階段的輕微波動外，剛性臂桿1的轉角曲線斜率基本不變；相對而言，柔性臂桿2的轉角曲線斜率變化較大；末端振動位移曲線主體是幅值2mm、頻率4Hz左右的正弦曲線，但在開始階段出現(xiàn)將近3mm的整體明顯偏差，在3s左右趨于平穩(wěn)。

上述建模過程均在關節(jié)為剛性轉動的前提之下進行，假定了作用在機械臂上的力矩等于驅動力臂，然而，關節(jié)柔性作為機械臂振動的主要原因，是不可忽略的[9]。為了提高模型精度，確保仿真與實際情況相符，需要在模型的建立中考慮關節(jié)柔性的影響，為后續(xù)的振動控制奠定更可靠的理論基礎。

1.2 考慮關節(jié)柔性的模型改進

關節(jié)柔性是指柔性機械臂關節(jié)處的驅動電機轉動時，電機轉子帶動的電機軸會產(chǎn)生扭轉振動，而電機軸再帶動被驅動件，也就是機械臂臂桿，傳遞過程中存在阻尼。本文從模型精確度以及運算復雜度出發(fā)，選擇線性轉子-扭簧系統(tǒng)模型，該模型利用扭簧表示關節(jié)處電機與驅動件之間的傳動關系，忽略驅動電機內部動力結構與傳動裝置，只考慮關節(jié)的輸出運動參數(shù)與驅動力矩之間的關系。

圖5 柔性關節(jié)模型示意圖

如圖5所示，分別在電機轉子與殼體上建立坐標系qm和qs，θm為電機驅動下臂桿的實際轉動角度，θs為柔性機械臂關節(jié)處電機輸出角度，即電機與搭載電機的臂桿關節(jié)殼體的相對轉動角度，而電機與關節(jié)所受力矩的關系為

(15)

式中：τm為電機受到的力矩，τ為電機產(chǎn)生的驅動力矩，τs為關節(jié)受到的力矩，K表示扭簧的非線性扭轉剛度，可利用關節(jié)所受扭矩和轉角的實驗測量數(shù)據(jù)進行擬合求得。

考慮上述關節(jié)柔性問題，結合已有模型對其進行優(yōu)化。首先仿真模擬出關節(jié)柔性參數(shù)，假定關節(jié)轉動響應的實際轉動角度曲線如圖6所示。

圖6 關節(jié)實際轉角響應

采用此屬性下的關節(jié)力矩傳動關系，將上節(jié)模型的相關力矩變量進行更改并仿真，其余參數(shù)、初始條件以及仿真時間均不變，得到考慮關節(jié)柔性的兩關節(jié)柔性機械臂的關節(jié)轉角及末端振動曲線，如圖7～圖9所示。

圖7 考慮關節(jié)柔性的剛性臂桿轉角曲線

圖8 考慮關節(jié)柔性的柔性臂桿轉角曲線

圖9 考慮關節(jié)柔性的末端振動位移曲線

從仿真結果可以看出，考慮關節(jié)柔性之后，兩個關節(jié)轉角曲線在原曲線趨勢的基礎上，均在開始階段出現(xiàn)了明顯的震蕩波動，相比于柔性臂桿2，剛性臂桿1的波動更明顯；而末端振動曲線在關節(jié)柔性影響下的改變更大，在開始階段出現(xiàn)了將近6mm的大幅值曲線震蕩，且曲線為多頻率波形疊加狀態(tài)，然后逐漸衰減，在5s左右變?yōu)榉?mm、頻率4Hz左右的穩(wěn)定正弦曲線。

根據(jù)仿真結果并結合關節(jié)柔性模型，可分析得：由于考慮了關節(jié)柔性，在啟動階段關節(jié)轉角響應電機驅動時，關節(jié)轉角會出現(xiàn)大幅度的擺動，然后擺動幅度逐漸衰減直至平穩(wěn)運轉，而且此情況對剛性臂桿轉角的影響較大；末端振動位移方面，同樣是由于啟動階段關節(jié)處的擺動，才出現(xiàn)了振動，所以出現(xiàn)了開始階段波形為不同頻率波形疊加，而一段時間后恢復單一頻率波形的情況。上述結果與分析說明了關節(jié)柔性會直接影響兩關節(jié)柔性機械臂的仿真結果，在對其模型建立時是否考慮關節(jié)柔性十分必要。

2 基于正交試驗的柔性臂振動測量

2.1 實驗裝置

為了驗證模型的準確性，并進一步探究柔性機械臂的振動特性，設計基于壓電材料的柔性機械臂振動測量系統(tǒng)。選定長300mm，寬15mm，厚1mm的不銹鋼材料作為柔性臂桿；選定長200mm，寬15mm，厚6mm的碳鋼作為剛性臂桿；考慮速度控制和系統(tǒng)成本，選擇步進電機作為驅動電機；根據(jù)臂桿質量以及轉動速度，選擇輸出力矩為2.3N·m的57步進電機(下文簡述為大電機)作為連接底座與剛性臂桿關節(jié)的驅動電機；選擇輸出力矩為0.46N·m的42步進電機(下文簡述為小電機)作為連接剛性臂桿與柔性臂桿關節(jié)的驅動電機，并為兩電機配備普菲德生產(chǎn)的DM542驅動器及型號為KH-01的控制器。

根據(jù)柔性機械臂尺寸，選擇22mm×19.5mm的矩形PZT壓電陶瓷單晶片作為傳感片， 極板面積為18mm×18mm，壓電片兩表面極板之間的距離d=0.12mm；壓電常數(shù)d31=220×10-12C/N。為了對其一階模態(tài)情況下的振動情況進行準確測量，在距離柔性臂桿固定處30mm的位置進行壓電片的粘貼[10]，裝置示意圖如圖10所示。

圖10 機械臂實物圖

選擇NI公司的USB-6003數(shù)據(jù)采集卡作為采集器件，在LabVIEW平臺上編寫程序控制采集卡進行采集。查閱相關資料可知，除特殊要求外，一般的柔性機械臂的角速度在10(°)/s～30(°)/s之間，為貼近工程實際，選擇20(°)/s作為角速度進行研究；而步進電機的轉速由細分、驅動脈沖頻率以及步距角共同決定，具體關系為

ω=fqθb/nx

(16)

式中：ω為轉動角速度，單位為(°)·s-1；fq為電機驅動脈沖頻率，即每秒輸出的脈沖數(shù)；θb為電機步距角，nx為電機細分數(shù)。電機細分數(shù)一般為2的倍數(shù)，為保證基本轉動精度要求，細分一般設定為32、64、128等高細分。

從上述參數(shù)設置可知，存在各電機轉速、各電機細分以及各電機驅動頻率等大量變量，若一一對應組合，會產(chǎn)生大量的實驗組數(shù)，逐一試驗的話，耗時巨大，且意義不大。針對上述情況，擬采用正交試驗的方法設計試驗方案，在進行盡可能少的實驗次數(shù)的前提下，探究盡可能多的影響振動特性的參數(shù)變量，減少工作量。

2.2 正交試驗設計

正交試驗是研究多重影響參數(shù)的一種快速、便捷且有效的實驗設計方法。為了設計探究剛柔耦合下的柔性機械臂振動特性的正交試驗方案，首先需要確定試驗中的參數(shù)變量以及各變量可設定的參數(shù)值。根據(jù)上節(jié)機械臂設置情況可知，每次測量給定總的角速度之后，還需要設定電機速度、電機細分以及電機驅動頻率，具體為剛性臂桿的轉動角速度ω1、大電機細分nx1、驅動頻率fq1、柔性臂桿的轉動角速度ω2、小電機細分nx2以及驅動頻率fq2。上述6個變量為待設定參數(shù)，但根據(jù)公式(16)可知，角速度、細分和驅動脈沖三者中已知兩個便可確定另外一個量，所以，待定參數(shù)為4個；此外，為了保證實驗組的對照性，并使實驗更貼近實際，同上節(jié)，規(guī)定總的角速度為20(°)/s，此時，大小電機的角速度確定其中一個電機的角速度，便可知另一個電機的角速度，綜上所述，待定參數(shù)數(shù)量為3個，也就是3個因素。由于細分的有限種類以及總角速度的確定，在上述六個參數(shù)中，選定大小電機的細分數(shù)nx1、nx2作為待定參數(shù)，并在大小電機角速度中，選定小電機角速度ω2為待定參數(shù)。

根據(jù)步進電機特性可知， 過低的細分在電機運轉時會產(chǎn)生過大的顫振和抖動，所以實際應用中不常采用過低的細分設置，據(jù)此，選取32、64、128作為nx1、nx2因素的三個水平。 根據(jù)20(°)/s的總角速度并考慮實驗對照性， 選取5(°)/s、10(°)/s、15(°)/s作為ω2因素的三個水平，選擇L9正交試驗表進行試驗方案設計，具體如表1所示。

3 基于小波變換的時頻譜分析

3.1 時域結果

測量的初始條件為：將柔性臂桿轉動至剛性臂桿的直線延長線位置，作為初始位置；設定兩步進電機轉動方向一致；同時啟動大小電機，采樣時間設為10s，采樣率設為1k；按照表1參數(shù)分別設置并進行9組實驗，得到9組原始時域信號；由于電機電源的干擾，需要對原始信號進行去噪，利用Matlab進行低通濾波處理，截止頻率選擇45Hz，得到最終結果如圖11所示。

表1 正交試驗表

(a) 第1、2、3組結果

(b) 第4、5、6組結果

(c) 第7、8、9組結果圖11 第1～9組測量結果

從圖11從可以看出，9組情況下的柔性機械臂振動，均呈現(xiàn)出先大幅值震蕩然后逐漸衰減至穩(wěn)定小幅值振動的趨勢，與圖9考慮關節(jié)柔性的振動仿真曲線趨勢相同，說明了考慮關節(jié)柔性建立的模型較為準確，能夠仿真柔性機械臂的實際振動情況。除此之外，從圖11中還可看出，三組不同設置下的振動，雖然總體趨勢是一致的，但是振動幅值、穩(wěn)定時間以及衰減時間等都是不同的。為探究不同參數(shù)設置下的剛柔耦合機械臂振動特征，需要進一步對信號進行處理，去探究影響其振動特性的參數(shù)量是哪些，以及它們之間的影響關系。

3.2 小波變換及分析

小波分析是時頻分析方法的一種，不僅能得到信號的頻率組成，還可以得到不同頻率在不同時間下的強度大小。小波分析的時頻分辨能力與其頻率分解尺度有關，并且，低頻信號成分的時間分辨能力較強，高頻信號成分的頻率分辨能力強[12]。根據(jù)測量信號的頻譜圖可知，測量信號屬于低頻信號，為了在保證時間分辨能力的同時提高頻率分辨能力，采用f/2048的頻率分解尺度，對信號進行小波變換，得到的時頻譜結果如圖12所示。

(a)第1、2、3組時頻譜結果

(b)第4、5、6組時頻譜結果

(c)第7、8、9組時頻譜結果圖12 第1～9組時頻譜結果

如圖12時頻譜結果所示，其中橫坐標為時間，縱坐標為頻率，譜中每一點的顏色由該點對應時刻下，對應頻率的強度確定，顏色亮暗程度與信號強度的關系如時頻譜右側的能量條所示，信號的強度大小與振動幅值相關，強度越大，振動幅值就越大。從時頻譜中可以看出，每幅譜在6Hz、9Hz左右處均明顯存在兩條高強度區(qū)域頻帶，且在前幾秒處，存在由大強度逐漸衰減的衰減段；在后幾秒處，存在強度變化較小的平穩(wěn)段。

為更具體地對這兩種頻率信號成分進行分析，采用類間方差確定衰減段與平穩(wěn)段的分界點。設每條頻帶區(qū)域內t時刻fHz信號的強度為B(t,f)，其中，0s

(17)

衰減段、平穩(wěn)段內的強度均值為

(18)

分界時間為t0時的類間方差為

(19)

將t0遍歷0～10，定義得到最大類間方差的t0為最終分界時間T，即

(20)

確定分界時間之后，定義衰減段中的最大強度B1、平穩(wěn)段的強度平均值B2為振動特征、最大強度B1對應的頻率F為頻帶頻率。

按照上述定義，提取每幅譜中每條頻帶的衰減段最大強度、平穩(wěn)段強度以及兩階段的轉換時間點作為振動特征，具體值如表2所示，結果保留兩位小數(shù)。

表2 第1～9組振動特征值

從表2可以看出，頻帶的頻率基本固定在5.86Hz和9.03Hz，并且，除第3組外，5.86Hz頻帶的衰減段最大強度均大于9.03Hz的強度，由此說明振動信號由5.86Hz、9.03Hz成分組成，且5.86Hz為主成分；觀察分界時間，可看出5.86Hz、9.03Hz頻帶衰減段基本在4～5s、2～3s結束，且1～9組整體趨勢從高逐漸減小，結合表1可判斷電機轉速對進入平穩(wěn)階段的時間有一定影響，并且小電機的轉速越大、或者大電機的轉速越小，振動進入平穩(wěn)階段的時間越早。

此外，兩頻帶的衰減段最大強度變化與平穩(wěn)段最大強度變化基本同步，說明細分和轉速對其作用影響規(guī)律基本相同，結合表1對其影響進行分析。對比1、2、3組結果可看出，兩電機細分相同時，隨著電機細分的增大，兩頻帶衰減段、平穩(wěn)段的強度均有所下降；而大電機為128細分的3、5、7組結果，相對于小電機為128細分的3、6、9組結果，其衰減段最大強度較?。徽f明電機細分越小，引起的振動強度就越大，并且大電機細分的影響較大。對比1～3、4～6、7～9組結果可看出，小電機轉速越小，也就是大電機轉速越大，引起的振動強度越大。觀察表2，振動強度最小的為第3組，其細分最小，但大電機轉速較大；強度最大為第1組，其細分最大，但大電機轉速同樣較大，說明相比于轉速的影響，電機細分對振動強度的影響較大。

4 總結

本文采用拉格朗日方程及假定模態(tài)法對剛柔兩關節(jié)機械臂進行了建模，并考慮關節(jié)柔性對模型進行了優(yōu)化，利用實驗驗證了考慮關節(jié)柔性的必要性。選取臂桿轉速以及電機細分配置作為因素設計正交試驗，并對測量結果進行小波變換，探究了其振動特性；定義了衰減段強度等多個信號特征，通過對比多組結果，得到了不同因素對振動特性的影響關系，為機械臂配置提供了可靠的參考。