王獻(xiàn)鋒，甘旭升，劉 飛，孫靜娟

（1.西京學(xué)院理學(xué)院，西安 710123；2.空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院，西安 710051）

0 引言

1966 年，Reich 提出一種內(nèi)外兩層的立方體飛行沖突模型，并充分考慮了管制的具體要求，引發(fā)了對(duì)沖突檢測(cè)研究的小高潮［1］。1997 年，Erzberger等針對(duì)沖突概率估算問(wèn)題提出了一種二維解析算法，并擴(kuò)展到三維空間中［2］。同年，F(xiàn)ulton 等基于計(jì)算幾何構(gòu)建了Volonoi 多邊形，并采用Delaunay 三角來(lái)降低多機(jī)沖突情況下的計(jì)算復(fù)雜性，但該方法受限于飛機(jī)速度的改變［3］。2000 年，KarineBlin 等在研究誤差概率模型中引入位置誤差，其能夠在沖突檢測(cè)中定位誤差的影響，并最終確定飛機(jī)的動(dòng)態(tài)位置［4］。國(guó)內(nèi)相關(guān)研究雖然起步較晚，但也取得了諸多成果，李春錦等采用Reich 模型研究了平行航路的沖突檢測(cè)問(wèn)題，但沒(méi)有在橫向、縱向及垂直方向深入分解［5］。陳晨等研究了基于布朗運(yùn)動(dòng)的沖突概率算法，并分析了多種影響因素概率［6］。石磊等提出采用預(yù)測(cè)位置空間離散化的新算法來(lái)計(jì)算航路片段的瞬時(shí)沖突概率［7］。王凱等結(jié)合空管中的航路沖突標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建了雙機(jī)基于管制規(guī)則庫(kù)和決策樹(shù)的航路沖突探測(cè)模型［8］。張中廣等提出了基于ADS-B信息的終端區(qū)飛行沖突探測(cè)與告警算法［9］?？v觀目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)可發(fā)現(xiàn)：它們通常集中討論兩架飛機(jī)之間或者一架飛機(jī)與其他多架飛機(jī)之間的沖突檢測(cè)，且沒(méi)有考慮不確定因素的影響，這一點(diǎn)在長(zhǎng)期沖突探測(cè)中尤為重要，而這往往正是沖突檢測(cè)成果的實(shí)用性體現(xiàn)。

有鑒于此，本文在隨機(jī)微分方程位置預(yù)測(cè)基礎(chǔ)上，提出采用蒙特卡羅法解決航路區(qū)與終端區(qū)的飛行沖突檢測(cè)問(wèn)題，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 飛行沖突探測(cè)模型

從飛行程序角度，飛機(jī)從機(jī)場(chǎng)起飛到機(jī)場(chǎng)降落，需要依次經(jīng)過(guò)終端區(qū)-航路區(qū)-終端區(qū)。在此過(guò)程中飛機(jī)的飛行狀態(tài)是不一樣的，飛機(jī)在航路區(qū)飛行時(shí)，飛行高度和速度通常不會(huì)發(fā)生變化；而在終端區(qū)上，飛機(jī)由于要實(shí)施進(jìn)近程序則會(huì)有較多飛行狀態(tài)的改變。因此，本文主要研究飛機(jī)航路區(qū)飛行和終端區(qū)飛行的沖突探測(cè)。

飛行沖突探測(cè)可以分為3 步：第1 步是對(duì)信息的整合處理，這些信息包括飛行數(shù)據(jù)、航線信息、誤差影響等等；第2 步是沖突探測(cè)過(guò)程，包括對(duì)飛機(jī)未來(lái)位置的預(yù)測(cè)，模擬計(jì)算是否會(huì)發(fā)生飛行沖突；第3 步是輸出探測(cè)結(jié)果，用發(fā)生飛行沖突的實(shí)驗(yàn)次數(shù)除以總實(shí)驗(yàn)次數(shù)得到發(fā)生飛行沖突的概率值。具體流程圖如圖1 所示。

圖1 飛行沖突探測(cè)流程

沖突探測(cè)模型即通常所說(shuō)的保護(hù)區(qū)模型，根據(jù)安全間隔，每個(gè)飛機(jī)都會(huì)有自己的保護(hù)區(qū)域，其他飛機(jī)如果進(jìn)入這個(gè)區(qū)域，則視為其他飛機(jī)入侵了我機(jī)的保護(hù)區(qū)，并將這種情況定義為發(fā)生了飛行沖突。

現(xiàn)在常用的沖突探測(cè)模型有圓柱型模型、橢球形模型（E 模型）和球形模型，如圖2 所示。

假設(shè)兩飛機(jī)的位置矢量為（x，y，z）和（x0，y0，z0）。圓柱形保護(hù)區(qū)水平截面圓半徑為r，高度為h；橢球形保護(hù)區(qū)水平半長(zhǎng)軸為a，垂直半短軸為c；球形保護(hù)區(qū)半徑為r。則兩飛機(jī)沖突的條件分別是：

圖2 保護(hù)區(qū)模型

根據(jù)最小安全間隔距離的設(shè)置，發(fā)現(xiàn)最小水平間隔遠(yuǎn)大于最小垂直間隔，對(duì)比這3 種模型，球形保護(hù)區(qū)上任意一點(diǎn)到飛機(jī)（圓心）距離是一樣的，很明顯不利于飛行沖突的判定；圓柱形保護(hù)區(qū)和橢球形保護(hù)區(qū)都滿足最小安全間隔的設(shè)定，但二者相比，橢球形保護(hù)區(qū)更加符合實(shí)際，運(yùn)用該模型（E 模型）得到的沖突概率更加接近真實(shí)值，所以本次研究我們決定采用E 模型。

當(dāng)在任意時(shí)刻兩機(jī)位置關(guān)系滿足沖突條件時(shí)，即潛在沖突機(jī)進(jìn)入到目標(biāo)機(jī)保護(hù)區(qū)內(nèi)，則認(rèn)為兩機(jī)發(fā)生飛行沖突。為符合ATC 標(biāo)準(zhǔn)，取橢球體的長(zhǎng)焦距a=5 n mile，短焦距c=2 000 ft。

一次沖突探測(cè)的主要判定流程為：兩機(jī)沿預(yù)定航線飛行，其預(yù)估航跡的期望值受不確定性誤差的影響。在每一單位時(shí)間長(zhǎng)內(nèi)，判斷單位時(shí)間內(nèi)潛在沖突是否發(fā)生在目標(biāo)飛機(jī)的保護(hù)區(qū)內(nèi)，若滿足條件，則認(rèn)為整個(gè)過(guò)程存在飛行沖突。

2 基于隨機(jī)微分方程的位置預(yù)測(cè)

飛機(jī)在航路區(qū)的飛行高度普遍較高，容易受到高空風(fēng)的影響，風(fēng)往往被認(rèn)為是對(duì)飛機(jī)影響最大的因素，它和其他的誤差因素作用于飛機(jī)上，使飛機(jī)的飛行速度發(fā)生變化。假設(shè)在一段近似為零的時(shí)間內(nèi)，由于外界因素影響，飛機(jī)的飛行速度變化符合高斯分布。構(gòu)建一個(gè)xyz 坐標(biāo)系，在t 時(shí)刻時(shí)（t 滿足t∈T），飛機(jī)的位置方程為X（t）∈R3。則飛機(jī)的飛行速度變化可表述為如下數(shù)學(xué)表達(dá)式

式中，X（t）為t 時(shí)刻飛機(jī)的位置，μ（t）為t 時(shí)刻飛機(jī)的空速，ω（t）為均值為零的高斯分布的隨機(jī)變量。

對(duì)該公式進(jìn)行積分，則可以得到

其中，b（t）為布朗運(yùn)動(dòng)，由上式可知飛機(jī)位置是速度在時(shí)間上的積分附加一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)。

布朗運(yùn)動(dòng)應(yīng)用于概率論的研究。物理學(xué)中對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)有這樣的描述：一個(gè)完全浸沒(méi)于一種液體或者氣體中的小粒子顯示出的運(yùn)動(dòng)叫作布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程{x（t），t≥0}為布朗運(yùn)動(dòng)，則該過(guò)程滿足：①x（0）=0；②{x（t），t≥0}有平穩(wěn)獨(dú)立增量；③對(duì)于每個(gè)t＞0，x（t）服從高斯分布，且均值為0，方差為c2t。其中，c 為布朗運(yùn)動(dòng)方差的系數(shù)，當(dāng)c=1 的時(shí)候，x（t）為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

該模型假定飛機(jī)在三維平面飛行，則t 時(shí)刻飛行方向在水平面的投影與慣性坐標(biāo)系x 軸正向夾角為θ（t），如圖3 所示，飛機(jī)位置x（t）可以用隨機(jī)微分方程表示［10］，即

其中，B（t）為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：

其中，σ2x、σ2y、σ2z分別是飛機(jī)水平航向、水平側(cè)向和垂直方向速度擾動(dòng)的功率譜密度，R（θ（t））為t 時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矩陣，由于風(fēng)對(duì)飛機(jī)水平速度和垂直速度的影響可以認(rèn)為是獨(dú)立的，因此，R（θ（t））為

3 沖突計(jì)算方法

在進(jìn)行飛機(jī)位置預(yù)測(cè)時(shí)，會(huì)因?yàn)楦鞣N因素出現(xiàn)隨機(jī)干擾，這會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)一定的偏差，所以在進(jìn)行沖突探測(cè)時(shí)，一次實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果不能代表飛機(jī)發(fā)生沖突的概率，需要增加實(shí)驗(yàn)次數(shù)，測(cè)算一個(gè)接近真實(shí)概率的概率值。目前關(guān)于沖突探測(cè)的研究主要是對(duì)兩種概率進(jìn)行測(cè)算，一種是總體沖突概率，另一種是最大瞬時(shí)沖突概率。總體沖突概率因?yàn)榭紤]到了航跡上的每一個(gè)航路片段，所以相對(duì)最大瞬時(shí)沖突概率更全面，更具有說(shuō)服力。在飛機(jī)飛行過(guò)程中，采樣數(shù)量是有限的，不一定能夠得到最優(yōu)解，本文主要采用蒙特卡羅法計(jì)算總體沖突概率［11］。

蒙特卡羅法是一類(lèi)隨機(jī)方法的統(tǒng)稱，而并不是一種算法的名稱。它的特點(diǎn)是可以在隨機(jī)采樣上計(jì)算得到近似結(jié)果，隨著采樣的增多，得到的結(jié)果是正確結(jié)果的概率逐漸加大，但在（放棄隨機(jī)采樣，而采用類(lèi)似全采樣這樣的確定性方法）獲得真正的結(jié)果之前，無(wú)法知道目前得到的結(jié)果是不是真正的結(jié)果。也就是在采樣不全時(shí)，通常不能保證找到最優(yōu)解，這時(shí)蒙特卡羅方法就會(huì)認(rèn)為采樣的數(shù)目越多，也就越接近最優(yōu)解。

4 仿真分析

根據(jù)航路區(qū)和終端區(qū)的不同特點(diǎn)，模擬不同場(chǎng)景，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)飛行沖突概率。通過(guò)改變誤差參數(shù)，與相同場(chǎng)景下不同誤差條件下的沖突概率對(duì)比、分析和研究，找出其中相同之處以及區(qū)別所在，以驗(yàn)證所提出方法。

4.1 前期準(zhǔn)備工作

4.1.1 飛機(jī)保護(hù)區(qū)模擬

在前面已經(jīng)通過(guò)比較選定了適合的保護(hù)區(qū)，即橢球形模型（E 模型），根據(jù)ATC 標(biāo)準(zhǔn)，取橢球體的長(zhǎng)焦距a=5 n mile，短焦距c=2 000 ft，將單位換算成m，分別是a=9 260 m，c=609.6 m。在MATLAB 上模擬該保護(hù)區(qū)模型，模擬橢球形模型如圖3 所示。

圖3 橢球形模型

4.1.2 飛機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡與保護(hù)區(qū)結(jié)合

由于研究對(duì)象為兩架飛行航線存在沖突的飛機(jī)，不包括兩架以上，故兩架飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況可以分兩種情況：相向而行與同向而行。在發(fā)生的飛機(jī)空中相撞事件中基本都為相向而行，因?yàn)閮杉茱w機(jī)相向而行，相對(duì)速度都比較大，飛機(jī)調(diào)整非常困難，如果沒(méi)能提前預(yù)警進(jìn)行規(guī)避，飛機(jī)相撞的可能性非常高，所以，我們的研究只考慮相向而行的情況。相向而行即兩架飛機(jī)飛行方向相反，互相朝著對(duì)方飛行，該情況下兩架飛機(jī)飛行速度無(wú)限制，高度需在一個(gè)高度層才會(huì)產(chǎn)生飛行沖突，使用MATLAB 軟件模擬如下頁(yè)圖4 所示。

圖4 相向飛行軌跡模擬

4.2 航路區(qū)飛行沖突探測(cè)

飛機(jī)在航路區(qū)飛行，可視為勻速直線運(yùn)動(dòng)，且飛機(jī)狀態(tài)幾乎不改變。誤差因素只考慮風(fēng)的影響，這里選擇將飛機(jī)在未來(lái)的運(yùn)動(dòng)軌跡作為布朗運(yùn)動(dòng)，以其中一架飛機(jī)為參考系，將兩架飛機(jī)的航跡分別看成是一條直線和一條不規(guī)則的曲線，做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的飛機(jī)進(jìn)入另一架飛機(jī)的保護(hù)求得概率即為飛行沖突概率。

選取烏伯林根空難作為背景，事發(fā)當(dāng)日BTC2937班機(jī)和DHX611 班機(jī)的飛行高度都為11 000 m，且航線存在交點(diǎn)，即兩機(jī)可能會(huì)相撞?？针y發(fā)生前1 min，管制員發(fā)現(xiàn)情況，首先同BTC2937 班機(jī)取得聯(lián)系，通知其飛行員降低高度300 m，以避免同DHX611 班機(jī)相撞。機(jī)組依照指揮下降高度，但飛機(jī)的空中防撞系統(tǒng)（TCAS）卻提示拉高飛機(jī)，同時(shí)DHX611 班機(jī)按照TCAS 提示也開(kāi)始下降高度。之后由于多方面因素，兩架飛機(jī)及管制員都沒(méi)意識(shí)到向著沖突的方向飛行，最終兩機(jī)在10 068 m 高空相撞。

實(shí)驗(yàn)設(shè)定預(yù)警時(shí)間1 min，即管制員發(fā)現(xiàn)情況，兩架飛機(jī)根據(jù)各自提示規(guī)避之后，兩機(jī)位于同一高度層，且下降速率相同，兩機(jī)飛行速度均為巡航速度900 km/h。設(shè)定風(fēng)等因素影響之后，在MATLAB上進(jìn)行5 000 次沖突模擬。

經(jīng)模擬計(jì)算，航路區(qū)內(nèi)兩機(jī)飛行軌跡如圖5 所示，其總體沖突概率與時(shí)刻關(guān)系（P-T）曲線如圖6所示。調(diào)節(jié)風(fēng)的誤差系數(shù)再進(jìn)行模擬，得到兩機(jī)飛行軌跡如圖7 所示，其P-T 曲線如圖8 所示，也就是說(shuō)，若存在風(fēng)對(duì)飛機(jī)的誤差影響，兩機(jī)發(fā)生飛行沖突的概率會(huì)隨著時(shí)間持續(xù)增至100 %。之前的背景是兩架飛機(jī)最終相遇于一點(diǎn)，以該點(diǎn)為最終點(diǎn)往前推算兩架飛機(jī)的起始點(diǎn)，為便于對(duì)比，還可再模擬一個(gè)兩機(jī)未相撞但入侵了各自保護(hù)區(qū)的背景。此時(shí)，兩機(jī)都處于同一高度層。速度設(shè)置為900 km/h，第1 架飛機(jī)航向?yàn)?0，第2 架飛機(jī)航向?yàn)?80，兩機(jī)航向交叉角為90°。經(jīng)過(guò)模擬后兩機(jī)軌跡下頁(yè)如圖9 所示，從航跡預(yù)推圖中可看出，并非所有模擬都發(fā)生了飛行沖突，其P-T 曲線如圖10 所示。

圖5 飛行軌跡

圖6 P-T 曲線

從圖中可以看出，兩架飛機(jī)在1 min 之后發(fā)生飛行沖突的概率不足4%。修改風(fēng)的影響系數(shù)，再進(jìn)行模擬計(jì)算，得到的軌跡模擬如圖11 所示，其P-T曲線如圖12 所示，這種情況下，兩架飛機(jī)1 min 之后發(fā)生飛行沖突的概率為12%。通過(guò)對(duì)比兩種背景下的總體沖突概率可以發(fā)現(xiàn)，風(fēng)對(duì)飛機(jī)的影響不可忽視，同時(shí)，也表明用蒙特卡羅法計(jì)算航路區(qū)的飛行沖突概率是可行的。

圖7 修改風(fēng)影響下的飛行軌跡

圖8 修改風(fēng)影響下的P-T 曲線

圖9 兩機(jī)90°交叉角下的飛行軌跡

圖10 兩機(jī)90°交叉角下的P-T 曲線

圖11 兩機(jī)90°交叉角下修改風(fēng)影響的飛行軌跡

圖12 兩機(jī)90°交叉角下修改風(fēng)影響的P-T 曲線

4.3 終端區(qū)飛行沖突探測(cè)

飛機(jī)在終端區(qū)的飛行狀態(tài)多變，在這里只對(duì)處于同一邊（上升或下降）的兩架飛機(jī)進(jìn)行沖突探測(cè)。

在2016 年上映的電影《火海凌云》中有一個(gè)場(chǎng)景，由科茲洛夫斯基飾演的實(shí)習(xí)飛行員古辛在降落過(guò)程中，由于一架航班飛錯(cuò)梯隊(duì)而降落到古辛的班機(jī)本應(yīng)降落的跑道上，并且該航班已經(jīng)起飛，當(dāng)時(shí)機(jī)場(chǎng)云量大且伴有濃霧，兩架飛機(jī)已處于飛行沖突狀態(tài)下，但是飛機(jī)的告警設(shè)備并沒(méi)有提醒，若不避讓就會(huì)發(fā)生相撞。古辛在降落中感知及時(shí)預(yù)判到該情況，及時(shí)操作飛機(jī)避讓?zhuān)^續(xù)繞飛一圈，避免了事故的發(fā)生。

將該事件作為終端區(qū)沖突探測(cè)的背景，假設(shè)兩架飛機(jī)處于同一邊上，第1 架飛機(jī)正在按照進(jìn)近程序?qū)嵤┫陆?，? 架飛機(jī)由于操作失誤在同一邊實(shí)施起飛程序。兩機(jī)航向相對(duì)，即航向相差180°，由于終端區(qū)的飛機(jī)飛行狀態(tài)多變，所以探測(cè)時(shí)間縮減為1 min，假設(shè)這1 min 內(nèi)兩架飛機(jī)的速度改變量很小，即表速相同，都為300 km/h。飛機(jī)在終端區(qū)的飛行間隔標(biāo)準(zhǔn)為垂直間隔100 m，縱向間隔3 000 m，橫向間隔1 000 m，為提高預(yù)警概率，把橫向的間隔也擴(kuò)大為3 000 m。

兩機(jī)飛行軌跡如圖13 所示，其P-T 曲線如圖14 所示。從圖中可以看出，這兩架飛機(jī)最初發(fā)生飛行沖突的概率是很低的，但是在最后階段卻突然升高，且發(fā)生沖突的可能性高達(dá)95%，此時(shí)管制員應(yīng)及時(shí)下令讓兩機(jī)進(jìn)行規(guī)避，以免發(fā)生飛行沖突甚至空中相撞。改變兩機(jī)初始位置，再進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)是否還會(huì)發(fā)生飛行沖突，飛機(jī)軌跡預(yù)推如下頁(yè)圖15 所示。由圖可看出，1 min 后，兩機(jī)預(yù)推點(diǎn)的距離仍比較大，在1 min 之內(nèi)兩機(jī)發(fā)生沖突的概率始終為0?？梢钥闯?，此情況下兩機(jī)可正常進(jìn)行上升或下降程序，不會(huì)發(fā)生沖突。

圖13 終端區(qū)飛行軌跡

圖14 終端區(qū)P-T 曲線

圖15 終端區(qū)內(nèi)改變初始位置的飛行軌跡

4.4 啟示與意義

從以上兩個(gè)不同區(qū)域的沖突探測(cè)研究中可以看出，蒙特卡羅法應(yīng)用在沖突探測(cè)概率估算中比較具有說(shuō)服力，并且探測(cè)時(shí)間范圍比較廣，可以幫助管制指揮人員預(yù)知發(fā)生飛行沖突的可能性。對(duì)于民航而言，可以將這一研究方法與機(jī)載預(yù)警設(shè)備（TCAS）相結(jié)合，通過(guò)將兩種告警方法結(jié)合，以避免管制人員或者飛行人員因錯(cuò)誤操作而造成飛行事故。同時(shí)，這兩種方法也能互相輔助，大大地增加了預(yù)警的成功率，有效降低虛警率。對(duì)于軍航而言，由于目前軍機(jī)上沒(méi)有安裝機(jī)載預(yù)警設(shè)備，那么，這種方法可以成為后期軍機(jī)改裝的一項(xiàng)課題，從而讓軍機(jī)也具備了自動(dòng)預(yù)警功能。而且這種方法也能夠減輕指揮員的工作壓力，使得指揮員能夠提前對(duì)飛行員進(jìn)行預(yù)警，能夠有更多的時(shí)間來(lái)進(jìn)行動(dòng)作規(guī)避，提高了飛機(jī)的存活率。

5 結(jié)論

1）出于飛行沖突探測(cè)目的，選擇采用隨機(jī)微分方程構(gòu)建適合的飛機(jī)位置預(yù)測(cè)模型，并通過(guò)飛行沖突探測(cè)仿真實(shí)例分析，證明了預(yù)測(cè)模型的有效性。

2）從真實(shí)案例中分別構(gòu)建出航路區(qū)與終端區(qū)的飛行模擬場(chǎng)景，基于所選擇的飛行沖突探測(cè)模型，通過(guò)蒙特卡羅法模擬計(jì)算飛行沖突的總體概率。仿真結(jié)果得出了較為準(zhǔn)確的總體飛行沖突概，也說(shuō)明了蒙特卡羅法應(yīng)用于沖突探測(cè)研究的可行性，并獲得了啟示。

3）研究中只簡(jiǎn)單地討論了風(fēng)的影響，下一步將考慮更多因素，從而使研究背景更加真實(shí)，更加貼近實(shí)際。