方數(shù)丞 王曉剛

摘 要：基于分數(shù)階微積分理論與實際中電感與電容的外特性呈分數(shù)階的事實，運用狀態(tài)空間平均法建立了在電感電流連續(xù)情況下的分數(shù)階Buck電路的數(shù)學(xué)模型和電路模型，提出了分數(shù)階Buck電路紋波分析與連續(xù)條件，推導(dǎo)出占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)和輸入電壓至輸出電壓的傳遞函數(shù)。此模型較整數(shù)階模型更能精確反映實際電路工作狀態(tài)?；贛atlab/Simulink軟件對模型進行了仿真，驗證了該模型的正確性。基于ITAE最優(yōu)控制方法設(shè)計了分數(shù)階PID控制器對該模型進行控制，并對補償后的傳遞函數(shù)進行了仿真，驗證了該控制器的有效性。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階微積分;Buck變換器;建模;分數(shù)階PID控制

0 引言

自從1695年Leibniz在給L′Hospital的書信中第一次提出關(guān)于將微分階次從整數(shù)階推廣到非整數(shù)階的含義的問題，再到由Leibniz所提出的問題開創(chuàng)了一門持續(xù)發(fā)展了300多年的關(guān)于分數(shù)階微積分的學(xué)說。直至1960年開始，分數(shù)階微積分學(xué)逐步推廣到科學(xué)與工程領(lǐng)域，大量學(xué)者做出了杰出貢獻。其中，意大利學(xué)者Caputo與Mainardi教授提出了基于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)建立的耗散問題[1];斯洛伐克學(xué)者Podlubny教授提出了分數(shù)階比例-積分-微分控制器的模型[2];法國學(xué)者Oustaloup教授的研究組提出了分數(shù)階魯棒控制理論，并將其成功應(yīng)用于汽車工業(yè)的懸掛控制。

近年來，分數(shù)階微積分的應(yīng)用越來越受到各工程學(xué)科的關(guān)注，電氣工程領(lǐng)域也不例外[3-4]，一方面，在傳統(tǒng)電路中引入分數(shù)階元件可以使電路設(shè)計變得更加自由和靈活[5-7];另一方面，某些電氣元件的分數(shù)階模型可能取代目前使用的常規(guī)模型。張波教授在文獻[8]中提出了一種buck-boost電路的分數(shù)階建模方法。文獻[9]、文獻[10]分別建立了電感電流連續(xù)模式和電感電流偽連續(xù)模式下boost變換器的分數(shù)階模型。文獻[11]中對Buck電路進行了分數(shù)階建模但沒有對電路進行控制。

在薛定宇教授編寫的書籍[12]中，系統(tǒng)地整合出了分數(shù)階微積分的基本概念，同時建立了一個完整的分數(shù)階系統(tǒng)工具箱，對于將分數(shù)階理論運用到科學(xué)與工程中做出了杰出的貢獻。

本文將分數(shù)階運用于Buck電路中，利用狀態(tài)空間平均法建立數(shù)學(xué)模型，同時建立電路模型，推導(dǎo)出占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)和輸入電壓至輸出電壓的傳遞函數(shù)，得出電感電流紋波計算公式和電路運行在電感電流連續(xù)模式的條件，并運用Matlab/Simulink對其進行仿真分析，在建立的數(shù)學(xué)模型下利用分數(shù)階PID控制，對其進行閉環(huán)控制，從回路成型設(shè)計方法的角度看，在整數(shù)階系統(tǒng)中Bode幅頻特性的漸進線斜率是20 dB/dec的整數(shù)倍，而分數(shù)階系統(tǒng)則沒有這樣的要求，所以可以任意制定預(yù)期的伯德圖形狀，以期得到更好的設(shè)計效果。最后對其傳遞函數(shù)進行仿真與分析，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

1 Buck電路的分數(shù)階建模

根據(jù)文獻[13]可知，分數(shù)階電感和分數(shù)階電容兩端電壓和電流微積分關(guān)系如下：

式中，VL為電感兩端的電壓;iL為流經(jīng)電感兩端的電流;ic為流經(jīng)電容兩端的電流;vo為輸出端電壓，同時也是電容兩端電壓;α、β分別為電感階次與電容階次，且滿足0<α，β<1。Buck變換器的電路原理圖如圖1所示，其兩種工作狀態(tài)等效電路如圖2所示。

（1）當開關(guān)S閉合時，由圖2（a）得出狀態(tài)方程為：

（2）當開關(guān)S斷開時，由圖2（b）得出狀態(tài)方程為：

由式（1）、式（2）、式（3）、式（4）取值平均化，可得以下矩陣方程：

下面根據(jù)狀態(tài)空間平均法，引入小信號，此時Buck電路中的輸入電壓、電感電流以及輸出電壓等參數(shù)均可由直流分量和擾動量的和表示：

注意，各變量的交流分量的幅值遠小于其相應(yīng)的直流分量。

將式（6）代入式（5）分離直流分量，可得：

由Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)[14]定義可知，常數(shù)的分數(shù)階微分值為0，可得：

消去式（5）的直流分量，并忽略高次的交流分量，可得交流小信號模型：

從而根據(jù)狀態(tài)方程可以得到Buck直流變換器輸入到輸出的傳遞函數(shù)為：

根據(jù)Caputo分數(shù)階定義和模態(tài)1中式（1）對其兩邊同時求積分，積分時間為0～DT，此時得出電感電流iL在（0，DT）內(nèi)的增量，即電感的紋波電流：

式中，Г（α）為伽馬函數(shù)[14]。

由式（11）可知電感的紋波電流不僅與輸入電壓、電感L、開關(guān)周期T有關(guān)，還與電感的階次α有關(guān)。

由式（11）可求出電感電流的最大值和最小值如下：

根據(jù)式（13）可以得出Buck電路電感電流連續(xù)的條件為：

2 數(shù)值仿真

為驗證上述建模與理論分析的正確性，基于Matlab/Simulink軟件和薛定宇等人提出的Oustaloup濾波器[15]分數(shù)階微積分改進算法，建立了電感電流連續(xù)模式下分數(shù)階Buck電路的數(shù)學(xué)仿真模型和電路仿真模型，分別如圖3、圖4所示。

在圖3中，運用薛定宇等人提出的改進Oustaloop濾波器，即圖中的Fractional Int s^{-α}模塊有3個關(guān)鍵參數(shù)：擬合頻率下限ωb、擬合頻率上限ωh、濾波器階數(shù)n。電路中元器件的參數(shù)設(shè)置如下：電容C=100 μF，β=0.6，電感L=1 mH，α=0.7，占空比D=0.4，開關(guān)頻率為25 kHz。考慮到還有高于開關(guān)頻率的高頻諧波存在，因而設(shè)置ωb=1×10-6 rad/s，ωh=1×106 rad/s，階數(shù)n=8。再根據(jù)電感電流連續(xù)的條件可得R<2.76 Ω，這里選取R=0.5 Ω。根據(jù)理論計算可得出此時Vo=2 V，IL=4 A，電感電流紋波ΔiL=1.45 A。所得輸出電壓波形和電感電流波形分別如圖5、圖6所示。

由圖6可知，ΔiL=1.697 1 A，Δvo=0.813 8 V與理論值基本一致，證明模型的正確性。但與整數(shù)階Buck電路波形圖不同的是該圖像不是三角波，故在計算紋波電壓Δvo時不能根據(jù)整數(shù)階直接擴展過來。

圖4中關(guān)鍵的元件在于分數(shù)階電感與電容近似。分抗逼近電路[16]有Roy分型分抗電路[17]、Oldham RC鏈分抗逼近電路[18]等，根據(jù)文獻[19]，基于分抗鏈[20]和改進的Oustaloop濾波器的分數(shù)階微積分算法[12]，可以得出分數(shù)階電感和電容的等效模型，如圖7、圖8所示。

當L=1 mH，α=0.7時，圖7中的電感和電阻值分別為：RL1=14.880 9 Ω，RL2=0.883 5 Ω，RL3=0.077 9 Ω，RL4=0.006 9 Ω，RL5=0.618 67 mΩ;RL6=55.171 μΩ，RL7=4.913 μΩ，RL8=0.425 μΩ，L1=24.984 μH，L2=46.894 μH，L3=0.132 4 mH，L4=0.366 4 mH，L5=0.001 H，L6=0.002 9 H，L7=0.008 2 H，L8=0.022 6 H。

當C=100 μF，β=0.6時，圖8中的電感電容值為：RC1=54.871 kΩ，RC2=435.86 kΩ，RC3=3 488.3 kΩ，RC4=35 822 Ω，RC5=13.389 1 Ω，RC6=109.364 3 Ω，RC7=870.237 7 Ω，RC8=6.907 2 kΩ，C1=0.288 7 mF，C2=0.001 2 F，C3=0.004 5 F，C4=0.014 μF，C5=1.183 6 μF，C6=4.584 3 μF，C7=18.156 μF，C8=72.576 μF，R=2.512 Ω。

這樣通過仿真后得出波形與數(shù)學(xué)模型仿真如圖9、圖10所示。

其中淺色線為電路模型仿真波形，由圖9、圖10可知：Vo=2.050 4 V，IL=4.106 9 A，ΔiL=1.679 2 A，Δvo=0.803 6 V。對比數(shù)學(xué)模型仿真和理論分析，由于在構(gòu)建分數(shù)階電容與電感時用高階傳遞函數(shù)近似代入誤差，所以所得結(jié)果與數(shù)學(xué)模型仿真與理論大致一致，從而證明了工作與電感電流連續(xù)模式下Buck變換器理論分析的正確性。

將分數(shù)階模型中的電感和電流換回整數(shù)階，其他參數(shù)不變可以得到圖11、圖12所示的整數(shù)階電感電流和輸出電壓。

由圖11、圖12可知，ΔiL=0.046 1 A，Δvo=0.002 8 V，整數(shù)階時紋波很小尤其是電容紋波接近于一條直線，由此可見該模型同樣也適用于整數(shù)階。

3 Buck電路的PIλDμ控制器設(shè)計

根據(jù)式（10）可得Gvd==，此時令H（s）=1，Gm（s）=1?？傻迷蓟芈吩鲆婧瘮?shù)Go（s）=Gvd（S）H（S）Gm（S），代入?yún)?shù)后得G0=，運用文獻[8]中所給函數(shù)做出其伯德圖，如圖13所示。

由圖13可以得出，原始回路函數(shù)Go的相角裕度為125.9°，可見系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，再做其閉環(huán)函數(shù)單位階躍響應(yīng)曲線，如圖14所示。

由圖14可知系統(tǒng)穩(wěn)定，但具有一定的穩(wěn)態(tài)誤差無法完全跟蹤輸入信號，這就有必要給系統(tǒng)一個補償網(wǎng)絡(luò)。工程系統(tǒng)的優(yōu)化方法有多種，除線性二次型優(yōu)化及動態(tài)規(guī)劃法以外，ITAE優(yōu)化方法也是一種常用的方法。

在優(yōu)化控制系統(tǒng)設(shè)計中，一種合適的性能指標是時間與絕對誤差的乘積積分，稱為ITAE性能指標，表示如下：

ITAE=t|e（t）|dt（15）

選擇ITAE指標，是為了減小較大的初始誤差對性能指標取值的影響，同時也是為了強調(diào)最近的響應(yīng)影響。

在高階系統(tǒng)中，ITAE最優(yōu)性能指標的幾何意義是誤差的廣義面積極小，它也是多維相空間曲面上的一個極值，它的維數(shù)就是該方程所描述系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)。顯然，用解析法很難得到該極值，因此一般采用實驗的方法來確定最優(yōu)系數(shù)。這種方法同樣適用于PIλDμ控制器設(shè)計。根據(jù)文獻[8]，我們選擇ITAE性能指標，假設(shè)仿真終止時間為8 s，并假設(shè)PIλDμ控制器參數(shù)均小于40，且階次區(qū)間為（0，2），調(diào)用fminsearchbnd函數(shù)可以設(shè)計出如下PIλDμ控制器：

Gc=

加入補償網(wǎng)絡(luò)Gc后，回路增益函數(shù)G=GoGc，對該增益函數(shù)做其閉環(huán)函數(shù)單位階躍響應(yīng)曲線，如圖15所示。

由圖15可知，經(jīng)過補償后，穩(wěn)態(tài)誤差得到改善，符合ITAE性能指標特性。

4 結(jié)語

本文基于分數(shù)階微積分理論，運用狀態(tài)空間平均法，建立了Buck變換器的分數(shù)階數(shù)學(xué)仿真模型和電路仿真模型，給出了電感電流紋波的求解方法和Buck變換器在電感電流連續(xù)情況下的工作條件，并給出相應(yīng)傳遞函數(shù)。根據(jù)ITAE性能指標，設(shè)計了基于數(shù)值尋優(yōu)的最優(yōu)PIλDμ控制器。經(jīng)過理論分析發(fā)現(xiàn)：

（1）Buck變換器運行于電感電流連續(xù)模式下的參數(shù)不僅與電感L、負載R、開關(guān)周期T、占空比D有關(guān)，還與電感L的階數(shù)α有關(guān)。輸出電壓的直流分量Vo、電感電流直流分量IL與電感和電容的分數(shù)階階數(shù)無關(guān)。

（2）根據(jù)數(shù)值尋優(yōu)的最優(yōu)設(shè)計方法對電路進行PIλDμ控制器設(shè)計，并用傳遞函數(shù)仿真驗證了控制器的有效性。

綜上所述，根據(jù)電感和電容本質(zhì)上是分數(shù)階的事實，驗證了本文所建立的Buck變換器的分數(shù)階模型和PIλDμ控制器的正確性和有效性。

[參考文獻]

[1] CAPUTO M，MAINARDI F.A new dissipation model based on memory mechanism[J].Pure and Applied Geophysics，1971，91（8）：134-147.

[2] PODLUBNY I.Fractional-order systems and -controllers [J].IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（1）：208-214.

[3] ELWAKIL A S.Fractional-Order Circuits and Systems： An Emerging Interdisciplinary Research Area[J].IEEE Circuits and Systems Magzines，2010，10（4）：40-50.

[4] MONJE C A，CHEN Y Q，VINAGRE B M，et al.Fractionalorder Systems and Controls：Fundamentals and Applications[M].London：Springer，2010.

[5] AHMADI P，MAUNDY B，ELWAKIL A S，et al.High-quality factor asymmetric-slope band-pass filter：A fractional-order capacitor approach[J].IET Circuits，Devices & Systems，2012，6（3）：187-197.

[6] WU C，SI G，ZHANG Y，et al.The fractional-order state-

space averaging modeling of the Buck Boost DC/DC converter in discontinuous conduction mode and the performance analysis[J].Nonlinear Dynamics，2015，79（1）：689-703.

[7] TRIPATHY M C，MONDAL D，BISWAS K，et al.Experimental studies on realization of fractional inductors and fractional-order bandpass filters[J].Int.J.Circuit Theory Appl.，2015，43（9）：1183-1196.

[8] CHEN X，CHAN Y F，ZHANG B.A Modeling and Analysis Method for Fractional-Order DC-DC Converters[J] IEEE Transactions on Power Electronics，2017，32（9）：33-34.

[9] 王發(fā)強，馬西奎.電感電流連續(xù)模式下Boost變換器的分數(shù)階建模與仿真分析[J].物理學(xué)報，2011，60（7）：89-96.

[10] 譚程，梁志珊.電感電流偽連續(xù)模式下Boost變換器的分數(shù)積建模與分析[J].物理學(xué)報，2014（7）：502.

[11] 芮強.分數(shù)階元件構(gòu)造及其在DC/DC變換器中應(yīng)用[D].廣州：華南理工大學(xué)，2016.

[12] 薛定宇.分數(shù)階微積分學(xué)與分數(shù)階控制[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[13] WESTRLUND S，EKETAM L.Capacitor theory[J].IEEE Trans.Dielectr.Electr.Insul.，1994，1（5）：826-839.

[14] 吳強，黃建華.分數(shù)階微積分[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.

[15] OUSTALOUP A，LEVRON F，MATHIEU B，et al. Frequency-band complex noninteger differentiator：Characterization and synthesis[J].IEEE Trans on Circuit and Systems-

I：Fundamental Theory and Applications，2000，47（1）：25-39.

[16] 袁曉.分抗逼近電路之數(shù)學(xué)原理[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[17] 陶磊，袁曉，易舟，等.Roy分形分抗逼近電路得運算特征與逼近性能分析[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2015，22（34）：81-87.

[18] 易舟，袁曉，陶磊，等.Oldham RC鏈分抗逼近電路零極點精確求解[J].四川大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015（6）：1255-1261.

[19] WANG F，MA X K.Transfer function modeling and analysis of the open-loop Buck converter using the fractional caculus[J].Chin.phys.B，2013，22（3）：2-6.

[20] PODLUBNY I.Fractional-order systems and PIλDμ-

controllers[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（1）：208-214.

收稿日期：2020-01-06

作者簡介：方數(shù)丞（1993—），男，江西人，碩士，研究方向：分數(shù)階DC-DC變換器的建模與PIλDμ控制器設(shè)計。