徐志浩

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域中，絕大多數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)象都可以用實(shí)物情境、 教具模型、圖形圖表、言語(yǔ)、書寫符號(hào)這五種類型來(lái)進(jìn)行表征（有的可以細(xì)分、延伸）。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，利用多元表征可以多層次地抽象數(shù)學(xué)概念，多視角地歸納數(shù)學(xué)概念，多維度地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自然生長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：多元表征;數(shù)學(xué)概念;正比例;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度

【認(rèn)識(shí)】基于理論研究，走近數(shù)學(xué)多元表征

數(shù)學(xué)中的“數(shù)”主要是指數(shù)學(xué)中言語(yǔ)化表征，如文字、數(shù)字、式子、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)定理等;相應(yīng)地，數(shù)學(xué)中的“形”主要是指數(shù)學(xué)中視覺化表征，如實(shí)物、教學(xué)模型、圖像、幾何圖形等。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，至少可以運(yùn)用“數(shù)”和“形”兩類表征的多種形式表征，這就是數(shù)學(xué)對(duì)象的多元表征。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家萊什（Lash）從數(shù)學(xué)表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中交流、認(rèn)知等作用出發(fā)，指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有五種外在表征系統(tǒng)（如右圖）：

【窺探】基于問(wèn)題研究，引領(lǐng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

1 多元表征——發(fā)展核心素養(yǎng)的有效載體

隨著課改的推進(jìn)，如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為一個(gè)關(guān)鍵的命題。筆者認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)概念的支撐，而數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的核心是理解，多元表征可以從多角度、多維度地幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的真正理解，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2 多元表征——理解數(shù)學(xué)概念的有效方式

筆者認(rèn)為學(xué)生必須同時(shí)具備以下三個(gè)條件才能真正理解了一個(gè)數(shù)學(xué)概念：第一，他必須能將所學(xué)數(shù)學(xué)概念放入不同的表征系統(tǒng)之中;第二，在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，他能夠很好地處理這個(gè)概念;第三，他必須很精確地將此概念從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)中，即在不同的表征系統(tǒng)之間任意切換。

3 多元表征——提升數(shù)學(xué)思維的有效策略

多元表征，不僅僅給學(xué)生提供多元化問(wèn)題解決方案，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生多樣化思維方式和習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的全面提升。在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)多元表征的過(guò)程中，通過(guò)不斷的表征轉(zhuǎn)換，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平從具體形象思維推向直觀想象和抽象邏輯思維層次，提升學(xué)生解決問(wèn)題的策略水平和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

【深究】基于課例研究，探尋表征實(shí)施路徑

1 通觀教材，全面了解知識(shí)體系編排

1.1 基于學(xué)情現(xiàn)狀，縱向分析單元體系

以人教版為例，知識(shí)的結(jié)構(gòu)性比較清晰，但知識(shí)的結(jié)構(gòu)性不等于學(xué)生認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化需求。雖然人教版教材中有圖、文、表格、圖像等，但知識(shí)的認(rèn)知形式是以邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)表現(xiàn)的，因此，教材在結(jié)構(gòu)編排上需要追根溯源，著力理解“課時(shí)知識(shí)內(nèi)容”的邏輯性結(jié)構(gòu)。

1.2 基于知識(shí)本質(zhì)，橫向比較多版教材

雖然四個(gè)版本在學(xué)習(xí)“正比例”內(nèi)容時(shí)安排了情境、圖表（像）、符號(hào)、言語(yǔ)等表征，但仔細(xì)品讀各版教材，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些表征呈現(xiàn)的順序各不相同：如人教版和青島版都在一個(gè)課時(shí)內(nèi)進(jìn)行多元表征進(jìn)行正比例的理解;而北師大版本先理解兩個(gè)量的關(guān)系，再呈現(xiàn)圖像展開教學(xué);蘇教版則通過(guò)兩個(gè)課時(shí)的呈現(xiàn)進(jìn)行教學(xué)。但無(wú)論哪種方式，通過(guò)縱向的加深、橫向的對(duì)比，進(jìn)行循環(huán)式表征，讓學(xué)生對(duì)“正比例”的本質(zhì)進(jìn)行理解，從而增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。

2 整體設(shè)計(jì)，合理運(yùn)用多元表征建構(gòu)

2.1 縱向多元表征，多層次抽象數(shù)學(xué)概念

2.1.1 從情境表征走向圖表表征，探尋關(guān)聯(lián)變化，用表格展示數(shù)量變化關(guān)系。

[教學(xué)片段]

師：仔細(xì)觀察，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)加油機(jī)上的數(shù)據(jù)有什么變化？

師：為什么體積不斷變化，金額也隨之不斷變化呢？

生1：油量多了，需要的錢自然就多了。

生2：因?yàn)榻痤~=油的單價(jià)×油的體積，油的體積越大，金額自然也大了。

師：可見，加油的體積和金額是兩種相關(guān)聯(lián)的量，體積變化，金額也隨著變化。

師：在生活中，你還能列舉出這樣的現(xiàn)象嗎？

師：同學(xué)們說(shuō)得很好！行駛的距離和用油量，行駛的時(shí)間和距離，菜的重量和是總價(jià)，都是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨之變化。

師：為了便于同學(xué)們觀察，老師選擇了幾組數(shù)據(jù)，制成下表：

[教學(xué)反思]

本環(huán)節(jié)通過(guò)視頻展示加油機(jī)顯示屏體積和金額數(shù)據(jù)不停變化的生活實(shí)例，讓學(xué)生直觀感受到：油的體積和金額是兩種相關(guān)聯(lián)的量。接著讓學(xué)生列舉一些生活中的具體事例，學(xué)生從加油到汽車行駛中的耗油、汽車行駛時(shí)間與距離，以及買菜等，通過(guò)言語(yǔ)表征進(jìn)一步理解兩種先關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨之變化。最后通過(guò)數(shù)據(jù)提取、列表表征，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到體積和金額變化的關(guān)系，為接下去的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

2.1.2 從數(shù)量表征走向符號(hào)表征，探尋單值對(duì)應(yīng)，用字母表示數(shù)學(xué)變化規(guī)律。

[教學(xué)片段]

師：如果將表格繼續(xù)畫下去，我們可以用什么方法表示體積和金額呢？

生：可以用字母X表示體積，用字母Y表示金額。

師：X和Y可以任意表示體積和金額？你也能說(shuō)一組X和Y的數(shù)據(jù)嗎？

生1：X可以是7.00，此時(shí)Y是54.60。

生2：X可以是10.00，此時(shí)Y是78.00。

師：當(dāng)X取一個(gè)數(shù)時(shí)，Y就是一個(gè)和它對(duì)應(yīng)的數(shù)。怎么判斷Y對(duì)不對(duì)呢？

生1：用單價(jià)7.80元乘體積就知道了。

生2：也可以用Y的數(shù)值除以X的數(shù)值，看是否等于7.80元。

師：雖然體積變化，金額也隨之變化，但金額和體積的比值始終都是7.80。也就是

師：你能用字母表示他們之間的關(guān)系嗎？

生：

[教學(xué)反思]

本環(huán)節(jié)緊緊抓住兩種變化量的單值對(duì)應(yīng)，在變化中尋找不變量，并能用字母表示它們之間的關(guān)系。教師在學(xué)生充分實(shí)踐的基礎(chǔ)上總結(jié)提出：用X和Y表示兩種相關(guān)聯(lián)的變化量，用k表示這兩種變化量對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值，如果Y/X=k（一定），我們就說(shuō)X和Y是成正比例的量，它們的關(guān)系就是成正比例關(guān)系。在學(xué)生充分理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)，顯得水到渠成。

2.1.3 從符號(hào)表征回歸情境表征，密切聯(lián)系生活，準(zhǔn)確判斷正比例關(guān)系。

[教學(xué)片段]

●師出示：王師傅生產(chǎn)零件的情況如下表：

（1）表中兩種相關(guān)聯(lián)的量是什么？你是怎么看出來(lái)的？

（2）寫出幾組相對(duì)應(yīng)的工作總量和工作時(shí)間的比，比較比值的大小。

（3）工作總量和工作時(shí)間成正比例嗎？為什么？

●師出示：李師傅做同一種服裝，做的套數(shù)和用布米數(shù)如下表：

做的套數(shù)和用布米數(shù)成正比例嗎？為什么？

●師出示：先填表，再回答問(wèn)題

（1）正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)成正比例嗎？為什么？

（2）正方形的面積與邊長(zhǎng)成正比例嗎？為什么？

[教學(xué)反思]

本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)三個(gè)逐漸深入的實(shí)踐應(yīng)用，第一層次是引導(dǎo)性實(shí)踐應(yīng)用，通過(guò)三個(gè)問(wèn)題組成的問(wèn)題串全面回顧關(guān)聯(lián)變化量的單值對(duì)應(yīng)和數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)判斷兩個(gè)變化量成正比例關(guān)系的方法;第二層次為檢測(cè)性實(shí)踐應(yīng)用，旨在檢測(cè)學(xué)生能否獨(dú)立應(yīng)用所學(xué)方法對(duì)新情境兩個(gè)變化量進(jìn)行判斷，看他們是否成正比例;第三層次為綜合性實(shí)踐應(yīng)用，教材提供連個(gè)情境非常接近的實(shí)際例子，一個(gè)是正例，一個(gè)是反例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用所學(xué)方法進(jìn)行靈活正確判斷兩個(gè)變量是否成正比例。

2.2 橫向多元表征，多視角歸納數(shù)學(xué)概念

橫向多元表征可以盡量多地給學(xué)生提供概念的具體樣例，多角度呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的外延特征，便于學(xué)生積累數(shù)學(xué)概念的感性經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生多視角歸納“正比例”概念。

2.2.1 第一次對(duì)比

[教學(xué)片段]

師：仔細(xì)觀察，同樣是行程問(wèn)題，你們發(fā)現(xiàn)有什么相同和不同的地方。

生1：兩輛車的速度不同，一輛每小時(shí)60千米，另一輛每小時(shí)120千米。

生2：表示第一輛車速度的線比較緩，還有一輛車速度的線比較陡。

師：同學(xué)們能用手勢(shì)比畫一下嗎？

生3：雖然這兩輛車的速度不同，但每一輛車都是勻速在行駛的。

師：誰(shuí)能聽明白他的意思？

生：他的意思是表格內(nèi)相對(duì)應(yīng)的路程除以時(shí)間，都等于60或者120。

將兩個(gè)情境的各類表征進(jìn)行對(duì)比，在對(duì)比中讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探討、理解，只要是每個(gè)情境中路程與時(shí)間的比值始終相同，也就是一定，那么這兩個(gè)量就成正比例，并且通過(guò)圖像表征，更加直觀地感受到，雖然正比例圖像看上去不一樣，但本質(zhì)還是在于兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量的比值一定。通過(guò)這樣的橫向?qū)Ρ?，在不知不覺中將“正比例”概念及意義進(jìn)行內(nèi)化、鞏固。

2.2.2 第二次對(duì)比

[教學(xué)片段]

師：仔細(xì)觀察這兩個(gè)例子，你們發(fā)現(xiàn)有什么相同和不同的地方？

生1：兩個(gè)例子的情境不同。

生2：這兩個(gè)例子中兩個(gè)數(shù)據(jù)的比值都是60。

生3：雖然兩個(gè)量的比值都是60，但是兩條線傾斜地不一樣。

將兩個(gè)不同情境的表征進(jìn)行對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生更為本質(zhì)地觀察與發(fā)現(xiàn)，雖然情境不同，但每個(gè)情境中的比值都是一定的;雖然比值一定都是60，但是所呈現(xiàn)的圖像卻又不一樣。最重要的是讓學(xué)生在感受這些同與不同中發(fā)現(xiàn)，真正應(yīng)該關(guān)注的還是兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是這兩個(gè)量是否關(guān)聯(lián)，二是這兩個(gè)量的比值是否一定。如果符合，無(wú)論情境如何、比的值如何、所成圖形中的線傾斜如何，都表示這兩個(gè)量成“正比例”關(guān)系。

綜上所述，多元表征學(xué)習(xí)能有效幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)基本知識(shí)，扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)基本技能，發(fā)展數(shù)學(xué)思維水平，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷生長(zhǎng)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，我們還需進(jìn)一步加強(qiáng)研究，深入探討其教育實(shí)踐價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳恢鑾.《多元表征：賦予兒童自我建構(gòu)概念的思維路徑》.

[2] 席愛勇.《多元表征學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根的有效范式》.

[3] 吳德娟.《多元表征下數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累》.