梁 進(jìn)，包俊利

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092）

近幾年來，信用風(fēng)險對資產(chǎn)投資的威脅日益增大。2007年的次貸危機(jī)和歐債危機(jī)都由信用風(fēng)險引發(fā)，對整個全球市場造成了巨大的沖擊，以致投資者和發(fā)行商在對金融產(chǎn)品定價時越來越重視信用風(fēng)險可能帶來的損失。由于金融產(chǎn)品發(fā)行者和投資者信息的不對稱，投資者自身很難把握投資的金融產(chǎn)品所含的信用風(fēng)險大小，目前由信用評級機(jī)構(gòu)評定的信用等級就成了信用風(fēng)險評估的主流方法。它們針對受評對象實(shí)時的經(jīng)營狀況，投資資本等數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)研分析，給予受評對象信用風(fēng)險的總體評價。所以考慮到信用等級對金融產(chǎn)品價格的影響力，在金融產(chǎn)品定價之中加入可能發(fā)生的信用等級遷移將更加符合金融市場的需求。

目前對含信用風(fēng)險的金融產(chǎn)品進(jìn)行定價已經(jīng)有了大量的研究工作。定價的主流方法有兩種：一是由 Jarrow 等［1］首先提出的約化法（reduced form approach），二是由 Merton［2］首先提出的結(jié)構(gòu)化法（structure approach）。在約化法中，違約作為外生隨機(jī)變量，違約事件隨機(jī)發(fā)生，一般用違約率或違約強(qiáng)度來刻畫未定權(quán)益違約過程。Turnbull等［3］和Duffie等［4］都通過約化法對金融產(chǎn)品違約問題做了進(jìn)一步推廣。在結(jié)構(gòu)化法中，Merton最初假設(shè)公司資產(chǎn)遵循Brown運(yùn)動，若在到期日公司無法償還債務(wù)，則判定違約。隨后Black等［5］將Merton的模型進(jìn)一步完善到違約事件可在任何時刻發(fā)生。Jarrow等［6］考慮到信用變換對金融產(chǎn)品價格的影響，構(gòu)造了信用轉(zhuǎn)移概率矩陣，來刻畫在任意時刻違約的概率。隨后Arvanitis等［7］對模型作了進(jìn)一步的推廣和完善。但信用風(fēng)險變換仍被視作外生變量，梁進(jìn)等［8］首次考慮到公司資產(chǎn)狀況是影響公司信用變換的關(guān)鍵因素，所以在金融產(chǎn)品結(jié)構(gòu)化法定價中用公司資產(chǎn)的變換過程來刻畫信用等級遷移，并對新模型做了相應(yīng)的理論證明和數(shù)值模擬。隨后梁進(jìn)等［9-13］解決了信用等級遷移邊界是自由邊界的情形以及將信用等級遷移問題推廣到利率互換衍生品定價模型。

由于公司資產(chǎn)種類的多樣性，不同公司資產(chǎn)收益和波動率不同。僅用總資產(chǎn)的變動過程往往不能充分刻畫信用等級遷移。所以本文將梁進(jìn)等的方法推廣到基于流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)影響下的定價問題。考慮部分公司當(dāng)流動資產(chǎn)不足時，違約風(fēng)險可能就會急劇增大，違約風(fēng)險受流動資產(chǎn)影響顯著。同時也有公司的違約風(fēng)險對流動資產(chǎn)的靈敏度不高。為綜合考慮，分別用關(guān)于流動資產(chǎn)的信用等級遷移邊界和關(guān)于雙資產(chǎn)的信用等級遷移邊界來刻畫信用等級風(fēng)險，使得信用風(fēng)險的變換過程得到進(jìn)一步的擴(kuò)展。

基于此，本文將對含信用等級遷移風(fēng)險的公司債券基于雙資產(chǎn)的結(jié)構(gòu)化定價進(jìn)行研究。在Merton的公司債券結(jié)構(gòu)化定價方法的基礎(chǔ)上，建立含信用等級遷移風(fēng)險的公司債券基于流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的模型假設(shè)，分別用流動資產(chǎn)信用等級遷移邊界和雙資產(chǎn)信用等級遷移邊界來刻畫信用等級遷移風(fēng)險。分析公司債券的未來預(yù)期收益，用Feynman-Kac公式［14］給出在遷移邊界處耦合的偏微分方程組，再在信用等級遷移邊界處添加一階導(dǎo)數(shù)條件或線性組合條件，從而得到定價模型。進(jìn)一步求得模型的解析解和數(shù)值解，數(shù)值分析兩種模型中債券價格關(guān)于時間和雙資產(chǎn)的變化情況。至此，本文提供了含信用等級遷移風(fēng)險的公司債券基于雙資產(chǎn)影響下的結(jié)構(gòu)化定價模型、求解方法以及數(shù)值結(jié)果。

1 基于雙資產(chǎn)的含信用等級遷移風(fēng)險的債券定價模型

公司債券是由公司發(fā)行的約定在一定期限內(nèi)還本付息的有價證券。公司債券的還款主要來源于公司的經(jīng)營利潤，在Merton的公司債券結(jié)構(gòu)化定價方法中若在到期日公司無法償還債券，則判定債券違約，此時用公司剩余資產(chǎn)價值償還債券。若公司在經(jīng)營過程中資產(chǎn)減少，則公司在到期日無法還本付息的風(fēng)險增大；而若公司在經(jīng)營過程中資產(chǎn)增加，則公司在到期日無法還本付息的風(fēng)險減小。即公司資產(chǎn)是評判公司債券是否違約的重要指標(biāo)。在Merton結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)上，為評估公司的違約風(fēng)險，設(shè)定信用等級遷移邊界，當(dāng)公司資產(chǎn)低于信用等級遷移邊界時為低信用等級，當(dāng)公司資產(chǎn)高于信用等級遷移邊界時為高信用等級。隨著公司經(jīng)營和資產(chǎn)變動，公司的信用等級也可能發(fā)生遷移，由此建立含信用等級遷移風(fēng)險的債券定價模型。

本文考慮到公司資產(chǎn)種類的多樣性，不同類別的公司資產(chǎn)收益和波動率不同，僅用總資產(chǎn)的變動過程往往不能充分刻畫信用等級遷移。國內(nèi)外學(xué)者對多資產(chǎn)的公司結(jié)構(gòu)已經(jīng)有了一定的研究［15-16］，假設(shè)各類風(fēng)險資產(chǎn)服從各自的幾何布朗運(yùn)動從而建立起模型。本文僅從流動性角度，將公司資產(chǎn)分為流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)，并借鑒學(xué)者們對公司資產(chǎn)的假設(shè)，從而建立基于雙資產(chǎn)的含信用等級遷移風(fēng)險的債券定價模型。即假設(shè)公司資產(chǎn)分為流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)，兩者滿足不同的幾何布朗運(yùn)動過程。同時，考慮到存在公司流動資產(chǎn)不足時，違約風(fēng)險可能就會急劇增大，違約風(fēng)險受流動資產(chǎn)影響顯著。但也存在公司固定資產(chǎn)兌現(xiàn)能力強(qiáng)，違約風(fēng)險對流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的變動都會有顯著影響的情形。所以，設(shè)置兩類信用等級遷移邊界（流動資產(chǎn)信用等級遷移邊界以及雙資產(chǎn)信用等級遷移邊界）來刻畫信用等級遷移風(fēng)險。

分析含信用等級遷移風(fēng)險的公司債券未來預(yù)期收益的所有貼現(xiàn)情況，一種是到期日公司債券的償還或是公司違約后償還的剩余價值，另一種是公司債券在到期日前發(fā)生信用等級遷移后的債券價值。利用Fecnman-Kac公式求得債券價值的偏微分方程。為保證偏微分方程解的唯一性，在信用等級遷移邊界處引入一階導(dǎo)數(shù)條件或線性組合條件，從而建立起含信用遷移風(fēng)險的公司債券基于流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的定價模型。

1.1 流動資產(chǎn)信用邊界模型假設(shè)

假設(shè)1基本假定：假設(shè)市場完備，不存在套利機(jī)會，設(shè)定無風(fēng)險利率為常數(shù)r。

假設(shè)2公司債券：假設(shè)公司債務(wù)只由單一的零息債券構(gòu)成。債券面值為F，到期日為T，債券在t時刻價值記為Φt。

假設(shè)3公司資產(chǎn)：公司總資產(chǎn)分為流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)，兩者在t時刻價值分別記為St和Vt。固定資產(chǎn)變現(xiàn)系數(shù)記為α（0＜α＜1），表示固定資產(chǎn)兌換成流動資產(chǎn)的能力。

假設(shè)4債券違約：若在到期日公司總資產(chǎn)價值St+αVt低于F，判定公司違約，此時清算公司資產(chǎn)，并用于償還公司債券，不考慮手續(xù)費(fèi)及其他額外費(fèi)用。

假設(shè)5信用等級：假設(shè)公司只分為兩個信用等級，高信用等級和低信用等級。在流動資產(chǎn)信用邊界模型中，公司流動資產(chǎn)不足時，違約風(fēng)險會急劇增大，所以假設(shè)公司信用等級遷移只與流動資產(chǎn)相關(guān)。設(shè)定信用等級遷移邊界為K，當(dāng)流動資產(chǎn)價值St低于K時，公司為低信用等級；當(dāng)流動資產(chǎn)價值高于K時，公司為高信用等級。

假設(shè)6 公司資產(chǎn)運(yùn)動過程：流動資產(chǎn)價值St遵循幾何Brown運(yùn)動

式中：σ1、σ2分別為公司處在低、高信用等級下流動資產(chǎn)的波動率，由于高信用等級下公司運(yùn)營穩(wěn)定，所以資產(chǎn)波動較小，即有σ1＞σ2；W(S)t為由完備帶流概率空間 (Ω，?，{?t}t≥0，P)生成的標(biāo)準(zhǔn) Brown運(yùn)動。

固定資產(chǎn)價值Vt遵循如下幾何Brown運(yùn)動：

式中：σ3為固定資產(chǎn)的波動率；W(V)t也為定義在完備帶域流概率空間(Ω，?，{?t}t≥0，P)上的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，滿足Cov(W(S)t，W(V)t)=ρ以及||ρ≤1。

隨著公司的經(jīng)營，公司資產(chǎn)狀況不斷發(fā)生變化，信用等級也可能發(fā)生遷移。記公司首次發(fā)生信用等級遷移的時刻如下式：

式中：τ1、τ2分別對應(yīng)公司從低、高信用等級轉(zhuǎn)移到高、低信用等級的初始時刻。

1.2 流動資產(chǎn)信用邊界模型的公司債券現(xiàn)金流

考慮一份含信用等級遷移的零息公司債券。根據(jù)無套利原理，債券的價值等于債券未來所有預(yù)期收益的貼現(xiàn)之和。當(dāng)公司處于低信用等級時，公司債券在未來有兩種可能收益：第一種在到期日前未發(fā)生信用等級遷移，到期日T獲得收益min{ST+αVT，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)楦咝庞玫燃壍墓緜?/p>

當(dāng)公司處于高信用等級時，公司債券在未來也有兩種可能收益：第一種到期日前未發(fā)生信用等級遷移，在到期日T獲得收益min{S+αV，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)榈托庞玫燃壍墓緜９咎幱诘?、高信用等級下的債券價值記為Φ1、Φ2。由此可推導(dǎo)出公司分別處在低、高信用等級下的公司債券的現(xiàn)金流表達(dá)式，如下式：

公司處于低信用等級狀態(tài)下，即當(dāng)St≤K時，

公司處于高信用等級狀態(tài)下，即當(dāng)St＞K時，

式中：Ω1=(0，K]×R+×(0，T]，表示低信用等級區(qū)域；Ω2=(K，+∞)×R+×(0，T]，表示高信用等級區(qū)域。

1.3 流動資產(chǎn)信用邊界模型的偏微分方程組

在現(xiàn)金流公式（4）、（5）充分光滑的情況下，根據(jù)Feynman-Kac公式可轉(zhuǎn)換成如下耦合的偏微分方程組：

其中，i=1，2。證明過程可參照文獻(xiàn)［14］。在信用等級遷移的邊界K上，由無套利假設(shè)可得如下連續(xù)條件：

但僅有連續(xù)條件會致使解存在但不唯一。為求得定解，在信用等級邊界處推導(dǎo)出一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件或添加線性組合條件，從而給出如下兩種定價模型。分別記為流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型和流動資產(chǎn)信用邊界線性組合模型。

1.3.1 流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型

利用Δ-對沖推導(dǎo)出在信用等級遷移邊界處導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。通過持有Δ1份額的流動資產(chǎn)，Δ2份額的固定資產(chǎn)以及賣出一份公司債券來構(gòu)建一份無風(fēng)險投資組合Πt。由于信用等級遷移并不會使得投資組合價值發(fā)生突變，以及流動資產(chǎn)信用邊界遷移不考慮固定資產(chǎn)變換的影響可推得

推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)［8］。在二維偏微分方程組式（6）中添加上述連續(xù)條件式（7）和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件式（8），得到如下流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型：

1.3.2 流動資產(chǎn)信用邊界線性組合模型

設(shè)W1(S，V，t)、W2(S，V，t)為不考慮信用等級遷移，公司分別處在低、高信用等級下的公司債券價值。分析W1(S，V，t)、W2(S，V，t)預(yù)期的收益，可推出如下的現(xiàn)金流：

推導(dǎo)出解析解如下：

其中

在信用等級邊界處應(yīng)同時考慮低、高信用等級對債券價值的影響，則考慮在信用等級邊界處滿足如下線性組合條件：

在二維偏微分方程組式（6）中添加上述連續(xù)條件式（7）和線性組合條件式（13），得到如下流動資產(chǎn)信用邊界線性組合模型：

1.4 雙資產(chǎn)信用邊界模型假設(shè)

假設(shè)1到假設(shè)4同流動資產(chǎn)信用邊界模型相同，不再贅述。

假設(shè)5 信用等級：假設(shè)公司信用只分為兩個信用等級，高信用等級和低信用等級。在雙資產(chǎn)信用邊界模型中，當(dāng)公司總資產(chǎn)不足時，違約風(fēng)險才會急劇增大，所以假設(shè)公司信用等級遷移與流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)都相關(guān)。設(shè)定信用等級遷移邊界為K，當(dāng)公司總資產(chǎn)價值低于K時，公司為低信用等級；當(dāng)公司總資產(chǎn)價值St+αVt高于K時，公司為高信用等級。

假設(shè)6 公司資產(chǎn)運(yùn)動過程：流動資產(chǎn)價值St遵循如下幾何Brown運(yùn)動：

式中：σ3、σ4是公司分別處在低、高信用等級下固定資產(chǎn)的波動率。

記公司首次發(fā)生信用等級遷移的時刻如下：

式中：τ3、τ4分別對應(yīng)公司從低、高信用等級轉(zhuǎn)移到高、低信用等級的初始時刻。

1.5 雙資產(chǎn)信用邊界模型的現(xiàn)金流

考慮一份含信用等級遷移的零息公司債券。根據(jù)無套利原理，債券的價值等于債券所有預(yù)期收益的貼現(xiàn)之和。當(dāng)公司處于低信用等級時，公司債券在未來有兩種可能收益：第一種在到期日前未發(fā)生信用等級遷移，到期日T獲得收益min{ST+αVT，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)楦咝庞玫燃壍墓緜?/p>

當(dāng)公司處于高信用等級時，公司債券在未來也有兩種可能收益：第一種到期日前未發(fā)生信用等級遷移，在到期日獲得收益min{ST+αVT，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)榈托庞玫燃壍墓緜９咎幱诘?、高信用等級下的債券價值記為Φ3、Φ4。由此可推導(dǎo)出如下公司分別處在低、高信用等級下的公司債券的現(xiàn)金流表達(dá)式，即式（18）和式（19）。

其中

1.6 雙資產(chǎn)信用邊界模型的偏微分方程組

在現(xiàn)金流公式（18）、（19）充分光滑的情況下，根據(jù)Feynman-Kac公式可轉(zhuǎn)換成如下耦合的偏微分方程組：

其中，i=3，4；j=1，2。由無套利得連續(xù)條件

其中

在信用等級邊界處推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)相關(guān)條件，從而給出如下定價模型，記為雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型。

利用Δ-對沖推導(dǎo)出在信用等級遷移邊界處導(dǎo)數(shù)相關(guān)條件。通過持有Δ1份額的流動資產(chǎn)，Δ2份額的固定資產(chǎn)以及賣出一份公司債券來構(gòu)建一份無風(fēng)險投資組合Πt，即Πt=Δ1St+Δ2Vt-Φt，且滿足dΠt=rΠtdt，其中

信用等級遷移并不會使得投資組合價值發(fā)生突變，即Πt在信用等級遷移邊界處連續(xù)。所以在邊界處Ω5有

推得

在二維偏微分方程組（20）中添加上述連續(xù)條件（21）和一階導(dǎo)數(shù)相關(guān)條件（22），推得如下雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型：

2 模型求解

2.1 流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型的數(shù)值解

運(yùn)用有限差分法求解流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型的數(shù)值解。先對方程組做自變量變換x=lnS，y=lnV，τ=T-t（仍記為t），得

再選取方程組的部分區(qū)域進(jìn)行剖分，建立網(wǎng)格xm=mΔh，yn=nΔh，ts=sΔt，定義函數(shù)。然后將微商轉(zhuǎn)換為差商，推導(dǎo)出差分格式，化簡成如下遞推關(guān)系式：

最后沿時間方向依次算出各網(wǎng)點(diǎn)的數(shù)值解。模型結(jié)合文獻(xiàn)［17］，選取合乎市場的參數(shù)做數(shù)值分析。F=1，K=1.5，T=3，σ1=0.2，σ2=0.4，σ3=0.1，r=0.04。

圖1顯示了當(dāng)流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)取定后，公司債券價值Φ關(guān)于時間t的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說明了離到期日越近，債券價值越高。流動資產(chǎn)越大，債券價值也越高。

圖2顯示了當(dāng)時間和固定資產(chǎn)取定后，公司債券價值Φ關(guān)于流動資產(chǎn)S的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說明了流動資產(chǎn)越高，債券違約概率越小，債券價值也就越大，并趨近于債券面值的貼現(xiàn)。公司資產(chǎn)固定，資產(chǎn)時間越大，即離到期日越近，債券價值越高。

圖3顯示了當(dāng)時間和流動資產(chǎn)取定后，公司債券價值Φ關(guān)于固定資產(chǎn)V的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說明了固定資產(chǎn)越高，債券價值也就越大，并趨近于債券面值的貼現(xiàn)值。

圖1 公司債券價值關(guān)于時間的曲線圖Fig.1 Values of corporate bond on time

圖2 公司債券價值關(guān)于流動資產(chǎn)的曲線圖Fig.2 Values of corporate bond on current assets

圖3 公司債券價值關(guān)于固定資產(chǎn)的曲線圖Fig.3 Values of corporate bond on fixed assets

2.2 流動資產(chǎn)信用邊界線性組合模型的解析解

推導(dǎo)低信用等級下公司債券的解析解，高信用等級下公司債券的解析解同理可得。先做自變量變換，令，τ=T-t（仍記為t）。記Ω6=(-∞，0)×R×(0，T]，得

其中

構(gòu)造輔助函數(shù)q(x，y，t)滿足

可解得

令U(x，y，t)=Φ1(x，y，t)-q(x，y，t)，則U（x，y，t）滿足如下方程式：

為了消除一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，選取合適的b1、b2、b3做函數(shù)變換

得

其中

為了消去交叉項(xiàng)，做自變量變換

代入方程（28），得

考慮Green函數(shù)

關(guān)于m做奇延拓如下式：

方程式（30）的解如下式：

所以方程式（29）的解如下式：

推得

由此

回到原自變量，得

2.3 雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的數(shù)值解

同流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型相同，運(yùn)用有限差分法求解雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的數(shù)值解。模型結(jié)合文獻(xiàn)［17］，選取合乎市場的參數(shù)做數(shù)值分析。F=1，K=1.5，T=3，σ1=0.2，σ2=0.4，σ3=0.1，σ4=0.2，α=0.7，r=0.04。

圖4顯示了在低信用等級下雙資產(chǎn)信用邊界模型Φ1和流動資產(chǎn)信用邊界模型Φ2的公司債券價值關(guān)于時間的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說明離到期日越近，債券價值越高。取相同參數(shù)的前提下，雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的債券價值低于流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型。

圖5顯示了在高信用等級下雙資產(chǎn)信用邊界模型Φ2和流動資產(chǎn)信用邊界模型Φ4的公司債券價值關(guān)于時間的曲線圖。相較于低信用等級，兩模型的差異較小。

圖6顯示了雙資產(chǎn)信用邊界模型Φi(i=1，2)和流動資產(chǎn)信用邊界模型Φj(j=3，4)的公司債券價值關(guān)于流動資產(chǎn)S的曲線圖。取相同參數(shù)的前提下，雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的債券價值低于流動資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型。

圖4 低信用等級下雙模型的公司債券價值關(guān)于時間的曲線圖Fig.4 Values of corporate bond on time in low credit rating

圖5 高信用等級下雙模型的公司債券價值關(guān)于流動資產(chǎn)的曲線圖Fig.5 Values of corporate bond on current assets in high credit rating

圖6 雙模型的公司債券價值關(guān)于流動資產(chǎn)的曲線圖Fig.6 Values of corporate bond on current assets in two models

圖7顯示了雙資產(chǎn)信用邊界模型Φi(i=1，2)和流動資產(chǎn)信用邊界模型Φj(j=3，4)的公司債券價值關(guān)于流動資產(chǎn)V的曲線圖。取相同參數(shù)的前提下，在信用等級邊界處兩模型的差異較大。

3 結(jié)語

本文在Merton的公司債券結(jié)構(gòu)化定價方法的基礎(chǔ)上，研究了含信用等級遷移風(fēng)險的公司債券基于流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的定價問題?？紤]到公司資產(chǎn)種類的多樣性，不同公司資產(chǎn)收益和波動率不同，建立起含信用等級遷移風(fēng)險的公司債券基于流動資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的模型假設(shè)，考慮到當(dāng)公司流動資產(chǎn)不足時，違約風(fēng)險可能就會急劇增大，違約風(fēng)險受流動資產(chǎn)影響顯著，信用等級遷移風(fēng)險分別用流動資產(chǎn)信用邊界模型和雙資產(chǎn)信用邊界模型刻畫。并分析了債券預(yù)期的可能收益情況，從而得到債券現(xiàn)金流及相應(yīng)的耦合偏微分方程組。在信用等級邊界處添加由Δ-對沖推得的一階導(dǎo)數(shù)條件或線性組合條件，建立起定價模型。推得定價模型的解析解和數(shù)值解，最后對債券價值關(guān)于各變量的變化情況進(jìn)行了數(shù)值分析，數(shù)值圖形表明變化情況與結(jié)論一致，對信用風(fēng)險的變換過程做了進(jìn)一步的擴(kuò)展。

圖7 雙模型的公司債券價值關(guān)于流動資產(chǎn)的曲線圖Fig.7 Values of corporate bond on current assets in two models