山東教育科學(xué)研究院 徐云鴻

山東濟(jì)南市新苑小學(xué) 劉秀玲

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第一部分前言中明確指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！睌?shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分，對(duì)人的全面發(fā)展有著重大意義。數(shù)學(xué)文化，無論對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣還是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)，“其內(nèi)涵是宏闊而深邃的，其功效是堅(jiān)固而持久的，其形態(tài)是不斷生成而富有生機(jī)的?！苯滩淖鳛榻處熃虒W(xué)的重要依據(jù)和資源，承擔(dān)著向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)文化的重要功能。鑒于此，本文嘗試對(duì)青島版小學(xué)數(shù)學(xué)《最美的圖形——圓》（以下簡(jiǎn)稱為《圓》）單元的數(shù)學(xué)文化滲透情況進(jìn)行分析解讀，從數(shù)學(xué)文化類型、數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平、數(shù)學(xué)文化的功能三個(gè)維度進(jìn)行分析，試圖解析教材是如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化、包含了哪些數(shù)學(xué)文化以及是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)文化的，在此基礎(chǔ)上對(duì)教材進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化提出建議，并為教師教學(xué)提供一定的參考。

一、《圓》單元數(shù)學(xué)文化的類型分析

從文化的高度來建設(shè)數(shù)學(xué)課程是青島版教材的一大特色。教材力求通過各種文化素材浸潤(rùn)學(xué)生心靈，點(diǎn)燃學(xué)生求知的激情，感受數(shù)學(xué)的美妙與美好，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)于數(shù)學(xué)文化的類型，不同的學(xué)者有不同的理解，因而劃分的角度也不盡相同。汪曉勤等將數(shù)學(xué)文化類型劃分為：數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)四個(gè)方面，本文將按照這種劃分對(duì)《圓》單元進(jìn)行分析。本單元共包括48項(xiàng)有關(guān)數(shù)學(xué)文化的項(xiàng)目，其中練習(xí)題之外的項(xiàng)目（記為C1）15項(xiàng)，練習(xí)題（記為C2）33項(xiàng)，見表1。

表1 《圓》一章中數(shù)學(xué)文化的類型

通過分析數(shù)學(xué)文化的類型，我們發(fā)現(xiàn)，青島版數(shù)學(xué)教材所選擇的素材內(nèi)容較為廣泛。其中，“數(shù)學(xué)與生活”的內(nèi)容最多，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)還設(shè)計(jì)了少量的“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”的內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值；在C1和C2中均體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)與科技”的融合。總之，數(shù)學(xué)文化類型涵蓋了各個(gè)方面。當(dāng)然，從具體類型而言，數(shù)學(xué)文化的類型還不太均衡，“數(shù)學(xué)與生活”占絕大多數(shù)，“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”“數(shù)學(xué)與科技”的類型不足。因此，如何納入更多的人文藝術(shù)類、科技類的文化素材需要進(jìn)一步思考。具體分析如下：

（一）“數(shù)學(xué)史”的內(nèi)容分析及教材改進(jìn)建議

（1）數(shù)學(xué)史的內(nèi)容分析。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一種載體，是教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的一種有效途徑。將數(shù)學(xué)史的內(nèi)容滲透到教材中可以讓學(xué)生產(chǎn)生文化歸屬感。本單元以數(shù)學(xué)史為載體滲透數(shù)學(xué)文化的項(xiàng)目共4項(xiàng)，包括我國(guó)的數(shù)學(xué)成就（圓周率）；圓的面積推導(dǎo)中引入了劉徽的“割圓術(shù)”和西方的“切西瓜”原理；數(shù)學(xué)家（介紹祖沖之），均出現(xiàn)在C1中，在C2中沒有出現(xiàn)數(shù)學(xué)史方面的文化滲透，這與本單元知識(shí)點(diǎn)有關(guān)。

教材中對(duì)史料內(nèi)容的選擇傳承了我國(guó)深厚的數(shù)學(xué)文化，既可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。

（2）教材中“數(shù)學(xué)史”編寫的改進(jìn)建議。建議進(jìn)一步豐富與“圓”相關(guān)的數(shù)學(xué)史料。與圓相關(guān)的數(shù)學(xué)史料內(nèi)容很多，教材應(yīng)該為學(xué)生呈現(xiàn)出最經(jīng)典、最核心的數(shù)學(xué)史料內(nèi)容。在信息窗一“圓的認(rèn)識(shí)”中可增加古代對(duì)圓的特征的記載。比如《墨子·經(jīng)上》：“圜，一中同長(zhǎng)也?！薄睹献印分姓f“不以規(guī)矩，不能成方圓”后來演化成了用以指導(dǎo)人們生活的名言警句，《周髀算經(jīng)》中“圓出于方、方出于矩”等。這些數(shù)學(xué)史資料無疑可以很好地幫助學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)“圓”，揭示“圓”的知識(shí)背后隱藏的深厚文化底蘊(yùn)，增加民族自豪感與自信心。青島版教材在信息窗二僅介紹了《周髀算經(jīng)》的相關(guān)記載，而不能忽略的是劉徽的割圓術(shù)，正是有了劉徽的貢獻(xiàn)，才為后來圓周率的研究奠定了重要的基礎(chǔ)。還有阿基米德等的研究成果，以及現(xiàn)代利用計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)圓周率的研究進(jìn)展等，如果在教材中增加這些內(nèi)容，能夠讓學(xué)生更加完整地了解圓周率的研究史，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的曲折，感悟數(shù)學(xué)家孜孜以求的探索精神。

（二）“數(shù)學(xué)與生活”的內(nèi)容分析及教材改進(jìn)建議

（1）“數(shù)學(xué)與生活”的內(nèi)容分析。本單元以“數(shù)學(xué)與生活”為載體滲透數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容非常多，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的地位與價(jià)值。根據(jù)學(xué)生與現(xiàn)實(shí)生活的接近程度，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活分為兩類：個(gè)人的、公共的。

“數(shù)學(xué)與生活”的內(nèi)容總共出現(xiàn)29項(xiàng)，其中C1中的3項(xiàng)都是公共生活，C2中有11項(xiàng)屬于個(gè)人生活，其余15項(xiàng)屬于公共生活，個(gè)人生活與公共生活的數(shù)量差異不大，說明青島版教材非常注重兩類生活的均衡性。

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，“數(shù)學(xué)與生活”中的個(gè)人生活條目主要以家庭生活為主，比如“測(cè)量圓桌的周長(zhǎng)、面積”等家庭用品為背景，較少涉及與學(xué)生個(gè)人相關(guān)的學(xué)校生活、日常生活、娛樂生活等；公共生活條目中主要以社會(huì)生活中出現(xiàn)的公共服務(wù)和設(shè)施為背景，比如“測(cè)量圓形花壇的周長(zhǎng)和面積、種樹、磨面的石碾”等，但對(duì)于職業(yè)生活、經(jīng)濟(jì)生活則較少涉及。

（2）“數(shù)學(xué)與生活”的改進(jìn)建議。第一，素材內(nèi)容應(yīng)選擇貼近學(xué)生生活的真實(shí)情境。脫離生活實(shí)際的數(shù)學(xué)往往帶給學(xué)生一種抽象晦澀、深?yuàn)W玄妙的灰色形象。因此，在素材選擇上盡量選擇情境真實(shí)、貼近學(xué)生生活，同時(shí)具有深厚文化底蘊(yùn)的素材。這樣既能增加學(xué)生的興趣，又可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在解決問題中的價(jià)值和作用。第二，素材內(nèi)容選擇應(yīng)盡量多樣化。建議盡可能涵蓋數(shù)學(xué)與生活的各個(gè)領(lǐng)域，使日常的、學(xué)校的、社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的、娛樂的、職業(yè)的等文化類型豐富多彩，開闊學(xué)生的視野，感受數(shù)學(xué)在生活中的作用，進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。

（三）“數(shù)學(xué)與科技”的內(nèi)容分析及教材改進(jìn)建議

（1）“數(shù)學(xué)與科技”的內(nèi)容分析。根據(jù)科學(xué)技術(shù)研究的對(duì)象類型，將其分為四類：生物科學(xué)、地球科學(xué)、物質(zhì)科學(xué)、高新技術(shù)。本單元中數(shù)學(xué)與科技的內(nèi)容共計(jì)3項(xiàng)，比如介紹日本的富士山、石子落入水中產(chǎn)生的圓形水波、荷葉的受光面積等相關(guān)知識(shí)。說明教材非常注重?cái)?shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系，這與數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特性有關(guān)，同時(shí)教材選擇的是水波紋、荷葉等小學(xué)生生活中常見的現(xiàn)象和事物，符合小學(xué)生的心理特征。

（2）“數(shù)學(xué)與科技”的改進(jìn)建議。數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，推動(dòng)著科技的發(fā)展，為科技進(jìn)步帶來很多意想不到的成果。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)日新月異，特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能領(lǐng)域發(fā)展迅猛，伴隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，數(shù)學(xué)的價(jià)值日益凸顯，同時(shí)，數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域、應(yīng)用領(lǐng)域也得到極大的拓展。在編寫教材時(shí),應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，將不同學(xué)科的內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)整合，有利于提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。比如，在練習(xí)中可以增加圓形的向日葵花盤、楓樹的種子以旋轉(zhuǎn)的方式在地面上傳播、臺(tái)風(fēng)以滾動(dòng)的方式在海面或陸地上移動(dòng)、激流以漩渦的方式?jīng)坝肯蚯暗人夭模寣W(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決問題的過程中，了解其他學(xué)科的知識(shí)；再比如在學(xué)完“圓的認(rèn)識(shí)”后，在練習(xí)中可以增加利用信息技術(shù)手段設(shè)計(jì)用圓組成的美麗圖案，不僅有助于提升學(xué)生的興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，還有助于提升學(xué)生的美學(xué)素養(yǎng)。另外，“圓”屬于空間與圖形領(lǐng)域，教材中受紙質(zhì)材料的限制，很多內(nèi)容的呈現(xiàn)不夠形象直觀，可以利用PowerPoint、flash、3D打印等信息技術(shù)手段幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)于圓的特征，周長(zhǎng)、面積公式推導(dǎo)等知識(shí)的理解，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與空間想象能力，體會(huì)模型思想。

（四）“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”的內(nèi)容分析及教材修訂建議

（1）“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”的內(nèi)容分析。根據(jù)藝術(shù)形式的不同，分為四類：人文、美術(shù)、音樂和建筑?！皵?shù)學(xué)與人文藝術(shù)”的內(nèi)容在C1和C2中均有出現(xiàn)，共計(jì)8項(xiàng)。

本單元涉及中國(guó)古代建筑天壇、英國(guó)的巨石陣等，這說明教材關(guān)注到了數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)的聯(lián)系，但從整體看來，數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與音樂、數(shù)學(xué)與建筑的類型還不夠豐富。

（2）“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”的改進(jìn)建議。本單元“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”的內(nèi)容中，沒有涉及與音樂相聯(lián)系的內(nèi)容，說明教材對(duì)數(shù)學(xué)與音樂這方面的關(guān)注度不夠，建議增加與音樂有關(guān)的內(nèi)容，如以閱讀材料的形式呈現(xiàn)“圓周率之歌”，把小學(xué)生喜愛的音樂與數(shù)學(xué)有機(jī)地融合起來，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)與音樂的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)美的熏陶；數(shù)學(xué)與建筑方面雖有涉及但內(nèi)容不多，古今中外都有大量的與圓有關(guān)的著名建筑，教材可以增加更多的與建筑相關(guān)的素材；最后，適量增加數(shù)學(xué)與美術(shù)方面的背景素材。美術(shù)素描中基礎(chǔ)圖形圓的繪畫方法就是典型的圓出自方的詮釋和割圓術(shù)的反證。

二、數(shù)學(xué)文化在教材中的運(yùn)用水平

就教材中數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平而言，采用王建磐等提出的框架進(jìn)行分析，將數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平分為點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式四類。將其余類型的數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平分為外在型、可分離型和不可分離型三類。

（一）數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平

表2 《圓》一章中數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平

表3 《圓》一章中其他數(shù)學(xué)文化類型的運(yùn)用水平

教材中祖沖之的介紹屬于附加式，圓周率以及圓的面積推導(dǎo)屬于順應(yīng)式。可見，青島版教材對(duì)于數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平較高。以往的教材中，更多的是把數(shù)學(xué)史放到“你知道嗎？”中，青島版教材將數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值，其史料內(nèi)容的介紹與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相統(tǒng)一。比如在“圓的面積”推導(dǎo)中，將有關(guān)的史料放入教材例題的學(xué)習(xí)中，從而將數(shù)學(xué)史與教學(xué)知識(shí)內(nèi)容完美結(jié)合，避免了數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平的淺層化。教材以幾個(gè)學(xué)生交流的方式呈現(xiàn)了圓的外切正多邊形和內(nèi)接正多邊形無限逼近以及用拼割法把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長(zhǎng)方形的研究方法，隱含著古代中外數(shù)學(xué)家們關(guān)于“圓的面積”的探索歷程。教材對(duì)史料內(nèi)容的運(yùn)用水平較高，學(xué)生在思考與探究中，既學(xué)到了圓的面積推理的方法，又領(lǐng)略了古人的智慧以及數(shù)學(xué)家孜孜不倦的求真求實(shí)精神。因此，教材編排獨(dú)具匠心，彰顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的文化味，將數(shù)學(xué)的科學(xué)性與人文性有機(jī)結(jié)合。

（二）其余類型的數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平

就其他數(shù)學(xué)文化類型的運(yùn)用水平而言，外在型8項(xiàng)；可分離型18項(xiàng)；不可分離型22項(xiàng)。見表3。

教材中有一半多的條目屬于不可分離型，可見教材關(guān)注了數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)?？煞蛛x型的條目有16項(xiàng)，占比不到一半。可分離的應(yīng)用情境主要出現(xiàn)在練習(xí)中，要解決的問題不是情境本身，情境只是附加的干擾性，只需要用數(shù)學(xué)知識(shí)解決隱藏的數(shù)學(xué)問題。比如：“求時(shí)針的尖端走過的路程是多少厘米？”顯然這是強(qiáng)加給這個(gè)情境的，在真實(shí)生活中沒有人會(huì)去計(jì)算分針走過的路程。

表4 《圓》一章中其他數(shù)學(xué)文化類型的運(yùn)用水平

進(jìn)一步分析《圓》單元中不同類型數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平可以發(fā)現(xiàn)（見表4），“數(shù)學(xué)與生活”超過50%的項(xiàng)目屬于不可分離型的運(yùn)用水平，“數(shù)學(xué)與科技”有50%屬于不可分離型的運(yùn)用水平，說明兩種文化類型在本單元中數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平較高，“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)”的運(yùn)用水平分布比較均衡。

整體來看，青島版教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容多采用順應(yīng)式和不可分離型的運(yùn)用方式，運(yùn)用水平較高。其中，可分離型占18項(xiàng)，占一定的比例，說明有些數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)度不高。為了進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的運(yùn)用水平，就要充分發(fā)掘與篩選更多的文化素材，以更加自然的方式融入數(shù)學(xué)中,成為數(shù)學(xué)問題的有機(jī)組成部分，讓學(xué)生真正體驗(yàn)到“數(shù)學(xué)本質(zhì)上就是一種文化”，否則會(huì)給教師和學(xué)生一種從外部強(qiáng)加背景或者貼標(biāo)簽的生硬的感覺。用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象，使問題內(nèi)生于情境，情境服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與文化二者的有機(jī)融合。

三、數(shù)學(xué)文化在教材中的功能

數(shù)學(xué)文化在教材中的功能借鑒Dickenson-Jones的分類，將數(shù)學(xué)文化的功能分為提供背景性情境、提供應(yīng)用性情境、拓展數(shù)學(xué)思維與方法、促進(jìn)數(shù)學(xué)與文化交融、體驗(yàn)文化實(shí)踐。

表5 《圓》一章中數(shù)學(xué)文化功能

從以上數(shù)據(jù)可以看出，數(shù)學(xué)文化功能主要體現(xiàn)在提供應(yīng)用性情境上，大多出現(xiàn)在練習(xí)中。教材關(guān)注數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；其他類型也有所涉及，比如數(shù)學(xué)史以促進(jìn)數(shù)學(xué)與文化交融為主，這表明教材也充分考慮了數(shù)學(xué)文化價(jià)值的豐富性。青島版教材豐富而全面地呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的各類功能，而且各個(gè)文化類型的功能定位也不同。

比較C1和C2中的數(shù)學(xué)文化功能可以發(fā)現(xiàn)，C1以提供背景性情境和促進(jìn)數(shù)學(xué)與文化交融為主，C2則是以提供背景性情境和提供應(yīng)用性情境為主。出現(xiàn)這一現(xiàn)象與欄目本身的特點(diǎn)有關(guān)，教材編排注重與圓相關(guān)的各種背景知識(shí)，并且注重用學(xué)到的圓的有關(guān)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用。

進(jìn)一步分析各種數(shù)學(xué)文化類型的功能可以看出（見表6），數(shù)學(xué)史的功能主要是“拓展數(shù)學(xué)思維與方法”和“促進(jìn)數(shù)學(xué)與文化交融”；數(shù)學(xué)與生活的功能主要是“提供應(yīng)用性情境”，其次是“提供背景性情境”；數(shù)學(xué)與科技的功能主要是“促進(jìn)數(shù)學(xué)與文化交融”和“提供背景性情境”；數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)的功能以“促進(jìn)數(shù)學(xué)與文化交融”為主?？傮w而言，青島版教材中各種數(shù)學(xué)文化類型的功能比較豐富。

表6 《圓》一章中不同類型數(shù)學(xué)文化的功能

本文從數(shù)學(xué)文化類型、數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平、數(shù)學(xué)文化的功能三個(gè)維度，以《最美的圖形——圓》單元為例，分析了青島版數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化的滲透情況，為教師提供了從數(shù)學(xué)文化視角研究教材的可操作的方法，有助于教師找準(zhǔn)教材中數(shù)學(xué)文化的滲透點(diǎn)，全面領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化功能，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的育人功能。