嚴世濤 唐忠國 鄒一強

摘要：文章對標準衰變方程進行了討論，分析了雙參數取值對應的養(yǎng)護模式，給出了參數的確定方法，結合灰色理論，建立了衰變預測模型，提出了誤差分析及收斂性評價標準，將預測模型應用于工程實例，并與標準衰變模型進行對比。結果表明，該方法具有精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，對科學養(yǎng)護決策具有一定的指導意義。

關鍵詞：灰色理論;瀝青路面;使用性能;衰變預測

0 引言

路面預防性養(yǎng)護是保持公路性能長期處于良好狀態(tài)的關鍵，是涵蓋了選擇養(yǎng)護對象、判斷養(yǎng)護時機、實施預防性養(yǎng)護措施的綜合養(yǎng)護體系[1]。養(yǎng)護時機的準確判斷需通過對路面使用性能進行分析、預測得出。如何通過已有的實測數據預測其隨時間的變化發(fā)展趨勢，獲得準確的預測值，進而做出科學的養(yǎng)護決策，已成為公路運營管理者關心的問題。國內學者圍繞路面性能預測開展了大量的研究工作，形成了以回歸分析為基礎的確定性模型及以數理統(tǒng)計為基礎的概率性模型。孫立軍[2]分析了路面使用性能的四類基本衰變模式，提出了標準衰變方程。劉伯瑩[3]從概率分布的角度出發(fā)，提出了基于馬爾科夫過程的瀝青路面性能預測理論。王艷麗[4]等基于人工神經網絡，考慮了自然因素的影響，建立了非線性的預估模型。以上理論在實際工程的實現均建立在大量數據的回歸分析或概率統(tǒng)計的基礎上。

針對國內公路瀝青路面工況復雜、變化性大、統(tǒng)計數據較匱乏的特點，本文將灰色系統(tǒng)理論引入標準衰變方程的應用中，建立瀝青路面使用性能衰變的灰色預測模型。該方法以較少的實測數據作為分析對象，將復雜的工況影響因素作為模型的灰色信息，具有與實際工況符合好、預測精度高等優(yōu)點。

1 路面使用性能的標準衰變模型

針對路面性能的衰變情況受到復雜多因素耦合影響的特點，文獻[1]提出了通用的路面使用性能的標準衰變方程：

式（1）中，PPI（指PCI、RDI、SCI等）為t時刻的使用性能指數，t的單位一般以年計;PPI0為初始時刻使用性能指數，可根據問題的初值直接給定，也可與a、b一起作為未知量擬合得出;a、b為與路面綜合工況相關的系數，可通過式（2）的函數表示，其中自變量θ1，θ2，…，θn分別表示結構組合狀況、結構強度、交通量、氣候條件、材料特性等。通過對系數a、b合理取值，可得到路面使用性能的標準衰變模型：

在實際應用上不需要給出f1、f2的顯示表達式，而是通過將在以上自變量θ1，θ2…θn作用下得到的路面使用性能的實測值進行回歸分析，得到針對特定路段的衰變模型。這樣得到的衰變模型具有特異性，有利于工程應用，也不失可移植性。

圖1給出了標準衰變方程曲線的基本形式，實際工程中，通過合理的養(yǎng)護措施，路面性能會呈現類似圖中理想預防性養(yǎng)護曲線的變化規(guī)律。圖2～4分別討論了參數a、b的變化對曲線形狀的影響。圖2表明，當b>1時，圖形為凸形曲線，即路面初期養(yǎng)護較好，衰變速率較慢，隨著年限增加，使用性能逐步衰退，衰變速率呈增快趨勢。圖3表明，當b<1時，圖形為凹形曲線，即對路面初期養(yǎng)護工作不重視，衰變幅度較大，衰變速率較快，在較短時間內路面使用性能下降了較大幅度后，由于下降的空間減小，衰變速率減緩。可以看出，系數b代表路面壽命期內的服役歷史。當b一定時，衰變曲線的形狀具有相似性，a越小，在相同時間區(qū)間內路面性能衰變幅度越明顯。系數a的物理意義可考察式（1）得出，取t=a時：

即系數a表征了PPI值衰變到初始值的63.2%所需要的時間。

圖4給出了當a固定時，衰變曲線形狀隨b取值變化的情況。當b=0.8～1.2時，衰變曲線較平緩，接近于直線。根據以上分析，可以得到應用式（1）分析路面性能演化時參數選取的方法。

參數a、b的選取決定了衰變方程曲線的具體形式，因此標準衰變方程也被稱為雙參數衰變方程。a、b的取值不同，曲線形式的差異有可能會很大。在實際操作中常根據實測路面性能指標通過最小二乘法擬合得到衰變方程。通過擬合得到的方程曲線，并不是嚴格地經過每一個實測值，而是通過控制擬合值和真實值在離散點t上誤差的平方和最小值來得到：

這里，PPI[TX-]為實測值，PPI為擬合值。由此得到的衰變曲線取決于擬合數據的項數及參數a、b在擬合過程中初值的選擇。本文將對這一方法帶來的誤差影響進行探討，并提出相應的解決方案。

2 基于灰色理論的預測模型

2.1 GM（1，1）預測模型

較多的擬合數據可提高曲線擬合的精度，然而人們通常需要在實測數據較少的情況下開展路面使用性能分析和預測的工作，將面臨建模偏差甚至失真的問題。為解決這一矛盾，本文嘗試將灰色理論引入瀝青路面使用性能衰變模型中。

灰色理論由鄧聚龍教授于1982年[5]提出，是一種有效分析事物（問題）內部各影響因素間聯系的微分模型，被廣泛應用于國民經濟各個領域的分析預測上。GM（1，1）模型是其中最簡明且最具有代表性的一種預測模型，通過對分析變量建立微分方程組求解得到。設待求變量為x，含有m個元素，在本文問題中，變量x指代待預測路面性能指數PPI：

式（5）中上標（0）代表原始數據，演算次數為0次。對x（0）做1次累加演算，得到1次累加生成數列x（1）[上標（1）表示經過1次累加演算]為：

2.2 收斂性及誤差分析

式（4）定義的誤差最小二乘平方和J作為在求解域內的評價指標，反映了擬合模型的總體精度，但這一指標無法針對其在各離散時間節(jié)點上的精度及收斂性進行評價。為此，本文引入了誤差標準差σ及小誤差概率p，作為預測模型的補充評判指標：

式中，e=（PPI-PPI[TX-]）;N為實測（擬合）數據項數;D（PPI[TX-]）代表實測值的方差。σ愈小，則表示擬合函數在各離散時間節(jié)點上的誤差分布愈均勻，反之則各點誤差震蕩較大。p愈大，則表示擬合函數在各點的擬合值接近實測值的概率愈大。p取得最大值1時，表示擬合函數在各離散點誤差小于式（17）中的限定值，為可接受的小誤差。

3 工程實例

3.1 工程背景

南寧至友誼關高速公路是廣西第一條瀝青路面高等級公路，2006年通車以來，由于采取預防性養(yǎng)護措施得當，該路段PCI保持較高水平（見下頁表1），通車至今未進行大修。主要養(yǎng)護措施及養(yǎng)護歷史為：

（1）重視疏導排水、路面封縫、坑槽修補等日常預防性養(yǎng)護工作。

（2）對抗滑指標衰減較快的路段采取霧封層、微表處等處置措施。

（3）2014年起分階段完成了加鋪超薄磨耗層罩面預防性養(yǎng)護。

（4）對車轍病害較嚴重的路段采取銑刨重鋪養(yǎng)護措施。

將表1數據繪制于圖5內，并與理想預防性養(yǎng)護模式曲線進行對比，可知該路段的養(yǎng)護工作符合預防性養(yǎng)護規(guī)律。t=8時刻對應于2014年，加鋪薄層的預防性養(yǎng)護措施使道路使用狀況指標得到了提升。

3.2 預測模型的建立

將該路段的服役期分為兩個時段，第一時段為t=1～8，主要用于驗證本文方法、建立預測模型;第二時段為t=9～N，將形成的預測模型用于實現路面使用性能指標的預測。

針對第一時段的建模，分別采用t=1～3、t=1～4、t=1～6的實測數據直接通過式（1）進行回歸擬合，獲取對應的衰變函數，分別以F1、F2、F3表示;同時考慮采用本文提出的引入灰色理論預測值作為擬合值的方案，首先以t=1～4的實測值為初始值，通過GM（1，1）灰色理論預測，得到t=1～8的灰色理論預測值，以灰色理論預測值通過式（1）進行擬合，得到對應的衰變函數，以FGM表示。F1、F2、F3、FGM計算結果如表2所示，以上函數曲線及其相對誤差如圖6及圖7所示。最后分別計算各預測函數對應的最小二乘誤差J、相對誤差標準值σ及小誤差概率p，作為評價各擬合方案收斂性的依據，結果列于表3。

圖6及圖7表明，擬合函數的形式受擬合數據的影響較大，采用不同項數的初始數據進行擬合，得到的曲線差別較大。F1由于用于擬合的初始數據較少，建模過程中未能充分考慮后期養(yǎng)護措施帶來的影響，在t=1～3時間區(qū)段內與實測數據吻合較好，但后期預測結果與實測值存在較大偏差。F3使用了較多實測數據進行擬合，在t=1～6時間區(qū)段內與實測數據吻合較好，但由于預測點已接近區(qū)間邊界，受到邊界效應的影響，因此對后期預測結果干擾較大。F2、FGM均采用t=1～4期間的數據作為初始值，既對路面性能衰變的規(guī)律進行了充分模擬，又減小了邊界效應的影響，因此結果更接近于實測值。

進一步對表3進行分析得知，FGM由于先形成了數據的灰色預測值，得以將衰變規(guī)律延伸至邊界處，因此相比F2而言精度有所提高。

3.3 預測模型的應用

將3.2節(jié)建立的灰色衰變預測模型FGM用于南寧至友誼關高速公路后期路面使用性能預測中，以第9年實測值作為初值代入模型，預測結果如表4所示，衰變曲線如圖8所示。

根據預測結果，本文建議于t=14～16期間針對路面病害發(fā)展情況采取專項預防性養(yǎng)護措施，保持路面處于良好的周期性預防性養(yǎng)護狀態(tài)下，有助于提升路面使用性能指數水平。

4 結語

（1）本文對標準衰變方程的參數進行了討論，分析了不同取值組合時對應的衰變模式，給出了結合路面服役歷史，應用標準衰變方程預測路面使用性能時確定模型參數的方案。

（2）本文將灰色理論GM（1，1）預測模型引入路面使用性能衰變預測中，建立GM（1，1）衰變預測模型，彌補了由于擬合初始數據數量變化導致標準衰變模型不穩(wěn)定的不足，并給出相應的誤差分析及收斂性評價標準。

（3）結合實際工程，分別采用標準衰變模型與GM（1，1）衰變模型進行預測對比。分析結果表明，本文提出的GM（1，1）衰變預測模型建立在實測數據基礎上，將交通量、結構組合、氣候條件等復雜工況作為包含在模型內的灰色信息處理，不需建立復雜函數關系，具有預測精度高、穩(wěn)定性好、對邊界有較強適應性等優(yōu)點，預測結果對運營管理單位制定科學合理的養(yǎng)護決策具有一定的指導意義。

參考文獻：

[1]姚玉玲，任 勇，陳拴發(fā).瀝青路面的預防性養(yǎng)護時機[J].長安大學學報（自然科學版），2006（6）：34-38.

[2]孫立軍，劉喜平.路面使用性能的標準衰變方程[J].同濟大學學報（自然科學版），1995（5）：512-518.

[3]劉伯瑩，姚祖康.瀝青路面使用性能預測[J].中國公路學報，1991（2）：5-15，33.

[4]王艷麗，王秉綱.應用人工神經網絡預測路面使用性能[J].西安公路交通大學學報，2001（1）：42-45.

[5]鄧聚龍.灰色控制系統(tǒng)[J].華中工學院學報，1982（3）：9-18.

作者簡介：嚴世濤（1986—），工程師，從事高速公路養(yǎng)護管理及研究工作。