郭俊鋒，劉世潤

（蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

當機械設備發(fā)生故障時一般都伴隨著振動的變化，并且通過振動和振動產生的噪聲表現(xiàn)出來。通過對這些振動信號進行監(jiān)測分析可以提前預示和定位故障，以及了解故障原因及惡化程度并及時避免故障的發(fā)生?；谡駝颖O(jiān)測技術設備的故障診斷十分復雜，涉及到多個領域和技術，其中數(shù)據(jù)采集就是其中的一個關鍵核心技術。隨著機械設備朝智能化、精密化、高速化方向不斷發(fā)展，機械振動信號的頻帶也越來越寬，以傳統(tǒng)Shannon-Nyquist采樣理論對其進行采樣將帶來海量數(shù)據(jù)的傳輸、存儲和計算等一系列問題。有時機械設備發(fā)生故障所造成的強烈振動沖擊中含有的頻率很高，需要以極高的速率對其進行采樣，現(xiàn)有的模擬/數(shù)字轉換器（Analog to Digital Convertor，ADC）技術也難以達到如此高的采樣速率要求，這樣一來就會造成信息的丟失，不能及時的反映出故障，輕則造成機械設備的壽命縮短，重則釀成嚴重的工程事故。

調制寬帶轉換器[1-3]是一種利用壓縮感知[4-6]（Compressive Sensing，CS）原理對信號進行模擬信息轉換（Analog-to-Information Conversion，AIC）[7-9]的采樣方案，可以實現(xiàn)對信號的亞奈奎斯特速率采樣。同時MWC還具有適用信號類型范圍廣、計算量小、易于實現(xiàn)、硬件成本低等優(yōu)點。因此，MWC采樣方案一經提出便得到了國內外眾多學者的關注和研究。文獻[10]提出了一種簡單的MWC隨機序列生成方法，實現(xiàn)了只需單個移位寄存器通過簡單的循環(huán)和移位便可產生用于MWC采樣系統(tǒng)所有采樣通道中進行信號調制的隨機序列，仿真實驗表明該方法幾乎具有最佳的重構性能。文獻[11]將MWC采樣前端的低通濾波器替換為一個積分器，使得改進后的MWC方案能較好的適用于對高頻脈沖信號的采樣。針對MWC采樣系統(tǒng)在譜帶帶寬差異較大的情況下存在采樣速率冗余的問題，文獻[12]提出一種面向信息帶寬的頻譜感知方法，通過利用譜帶寬度先驗信息放寬對混頻函數(shù)頻率的限制。文獻[13]針對MWC現(xiàn)有重構算法準確重構所需通道數(shù)與理論值存在較大差距的問題提出了一種基于奇異值分解（singularvaluedecomposition，SVD）和多重信號分類多信號分類（multiplesignalclassification，MUSIC）的重構算法，實驗表明該算法在一定條件下重構所需的最低通道數(shù)已接近理論下限值。機械設備結構復雜、工作環(huán)境往往比較惡劣，設備工況的改變以及故障的發(fā)生等都會使得機械振動信號產生不規(guī)律的波動和沖擊，因此機械振動信號幾乎都屬于非平穩(wěn)信號。從故障診斷的角度來看，一方面非平穩(wěn)振動信號包含著比平穩(wěn)振動信號更豐富的信息，可以反映出更多的設備運行狀態(tài)信息；另一方面非平穩(wěn)振動信號的采樣難度較大，需要對采樣系統(tǒng)的采樣速率、數(shù)據(jù)存儲傳輸及信號恢復等問題考慮更加周全才能準確的捕捉到機械設備運行過程中的故障信息。

提出一種基于MWC的機械振動信號采樣方法，在不丟失有用信息的前提下實現(xiàn)對機械振動信號的亞奈奎斯特速率采樣，重點解決傳統(tǒng)采樣方法造成的采樣數(shù)據(jù)量大、采樣速率高等問題。論文結構安排如下：首先簡要分析MWC的工作原理，之后根據(jù)測試機械振動信號的先驗信息設計合理的MWC采樣參數(shù)，最后進行實驗仿真驗證方案的可行性。

2 基于MWC的機械振動信號檢測方法

2.1 MWC工作原理

MWC采樣系統(tǒng)，如圖1所示。輸入信號x（t）同時進入m個采樣通道，每個通道由一個混頻乘法器、一個低通濾波器和一個低速ADC組成。在第i（1≤i≤m）個通道中，信號x（t）首先與周期為Tp混頻函數(shù)pi（t）相乘進行頻譜混疊，目的是將信號的高頻部分搬移并疊加到基帶頻率處；之后，混頻信號zi（t）通過截止頻率為fp=1/2T的低通濾波器H（t）進行低通濾波得到濾波信號ci（t）；最后ADC以1/T的速率對濾波信號采樣得到采樣序列yi［n］。由于每個通道的采樣率都足夠的低，因此現(xiàn)有的ADC設備就可以滿足工作需要。

圖1 MWC系統(tǒng)方框圖Fig.1 A Block Diagram of MWC

系統(tǒng)的設計參數(shù)主要有采樣通道個數(shù)m，采樣率1/T，混頻函數(shù)的周期Tp以及混頻函數(shù)pi（t）。混頻函數(shù)pi（t）是一個偽隨機周期信號Tp在一個周期內其值變化M次，通常情況下選擇取值為±1的m序列作為pi（t）。

下面對MWC的工作原理進行數(shù)學分析，定義采樣頻率區(qū)間：

則采樣序列yi［n］中只包含位于頻率區(qū)間Fs上的頻譜采樣值。因此，采樣序列yi［n］的離散時間傅里葉轉換（discrete time fourier transform，DTFT）為：

式中：cil—混頻函數(shù)pi（t）的傅里葉系數(shù)；L0—以fp為單位長度將輸入信號的最高頻率平移L0次后恰好落在頻率區(qū)間Fs上，但平移L0+1次后便超出Fs，也即：

式中：fs（fs=1/T）—ADC的采樣頻率；［·］—向上取整。方便起見，

將式（4）寫作下面的矩陣形式：

式中：y（f）—一個長度為m的向量，第i項yi（f）=Yi（ej2πfTs），1≤i≤m；矩陣 A 由傅里葉系數(shù) cil構成，且有 Ail=ci，-l；z（f）是一個長度為L=2L0+1的向量，其第i項為zi（f）=X（f+（i-L0-1）fp），1≤i≤L。

2.2 信號恢復

從采樣序列yi［n］中恢復信號x（t）的關鍵在于找到信號的支撐集S，也即向量z（f）中非零位置的索引值，其定義為：

令矩陣AS為矩陣A由支撐集S索引的列向量構成的子矩陣，向量zs（f）為向量z（f）中由S索引的項，一旦得到支撐集S，則有：

由于f在區(qū)間Fs上連續(xù)取值，因此線性方程（5）是無限測量向量（Infinite Measurement Vectors，IMV）系統(tǒng)，求解支撐集S需要進行無限多次迭代屬于NP-hard問題。針對此問題，文獻[1]提出一種連續(xù)-有限（Continuous to Finite，CTF）的方法，該方法首先將無限測量向量問題轉換為多重測量向量（MultipleMeasurementVectors，MMV）問題，然后運用壓縮感知相關重構算法求解支撐集，CTF流程，如圖2所示。

圖2 CTF原理框圖Fig.2 The Schematic Diagram of Continuous to Finite（CTF）

支撐集記錄S的是稀疏解U0中非零元素所在位置的索引值，如圖2所示。有限維框架V通過下式進行構造：

y［n］=［y1［n］，…，yk［k］］T表示在時刻 nT 的觀測數(shù)據(jù)，任何滿足Q=VVH的矩陣V都可作為觀測向量y（f）的一個有限維框架。獲得框架V之后求解線性方程V=AU屬于MMV問題，可用壓縮感知中的同步正交匹配追蹤算法（Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP）來求解支撐集 S。

2.3 振動信號的檢測方法

基于MWC的機械振動信號檢測方法實現(xiàn)步驟如下：

（1）從美國凱斯西儲大學軸承數(shù)據(jù)庫中提取振動數(shù)據(jù)；

（2）在時域和頻域中對軸承振動信號進行觀察，得到實驗信號的先驗信息；

（3）根據(jù)實驗信號的先驗信息及頻譜劃分方式設計合理的MWC采樣系統(tǒng)參數(shù)；

（4）MWC對輸入信號采樣得到觀測數(shù)據(jù)；

（5）使用CS重構算法完成信號恢復；

（6）調整MWC的相關參數(shù)和信號劃分譜帶的帶寬，重復步驟（2～6）。

基于MWC的機械振動信號檢測方法流程圖，如圖3所示。

圖3 基于MWC的機械振動信號檢測方法流程圖Fig.3 The Flow Chart of Signal Detection of Mechanical Vibration Based on MWC

下面根據(jù)實驗所選機械振動信號設計合理的MWC采樣系統(tǒng)進行信號仿真實驗，實驗信號選用美國凱斯西儲大學（CWRU）軸承研究中心的軸承數(shù)據(jù)，軸承型號為6205-2RS JEM SKF，軸承類型為深溝球軸承，轉速為1797r/min，采樣頻率為48KHz，電機無加載負荷。軸承故障點采用電火花方式加工生成，故障點位于軸承外圈6點鐘方向，大小為0.021″。根據(jù)CWRU提供的資料，外圈發(fā)生故障時其故障頻率為：

式中：fr=29.95Hz—軸承轉頻。實驗信號的時域波形圖及細節(jié)圖，如圖 4（a）、圖 4（b）所示。

從軸承振動信號時域波形細節(jié)圖中可以看出故障點的振動通過周期沖擊波形表現(xiàn)，并且在軸承再一次經過故障點之前迅速衰減。圖4（c）所示分別是實驗信號的頻譜圖，由于軸承振動信號為實信號，因此其頻譜圖呈對稱形狀；從圖4（c）中可以看出，信號的能量主要集中在（0～4）kHz的頻率區(qū)間，在此區(qū)間之外的頻率幅值接近于零。在（0～4）kHz的頻率區(qū)間內可以根據(jù)信號能量集中程度對頻譜進行劃分，劃分區(qū)間的寬度決定了信號頻譜所包含的子帶個數(shù)及子帶帶寬，并直接影響著MWC系統(tǒng)的參數(shù)設計。MWC采樣系統(tǒng)實現(xiàn)所需要的硬件，包括混頻器、低通濾波器、模擬-數(shù)字采樣器等與采樣通道的個數(shù)成正比，因此，減少通道個數(shù)可以降低硬件實現(xiàn)的成本。軸承振動信號頻譜細節(jié)圖，如圖4（d）所示。選取了圖 4（c）左半部分對稱頻譜中（0～4）kHz的頻譜。

圖4 軸承振動信號時域波形及頻譜圖Fig.4 Time Domain Waveform and Spectrum Diagram of Bearing Vibration Signal

軸承外圈發(fā)生故障時的頻譜成分較為簡單，主頻為故障頻率，實驗信號包絡譜，如圖5所示。從圖中可以看出其頻譜主要由軸承轉頻 fr、故障頻率 fo及其諧波 2fo、3fo、4fo等成分組成，若實驗中MWC采樣系統(tǒng)重構信號的包絡譜中含有fo及其諧波成分，則可認為軸承有故障頻率為fo的外環(huán)故障。

圖5 軸承振動信號包絡譜Fig.5 The Envelope Spectrum of Bearing Vibration Signal

在MWC采樣中，采樣通道個數(shù)的減少是以提高MWC采樣系統(tǒng)的總體采樣率為代價的，因此有必要對不同的頻譜劃分區(qū)間大小進行對比，確定最優(yōu)設計參數(shù)。軸承振動信號頻譜的兩種劃分方式，如圖6所示。在（0～4k）Hz的頻率區(qū)間內劃分出了2 個子帶，子帶的最大帶寬 2kHz，如圖 6（a）所示。將（0～4）kHz的頻率區(qū)間細劃分為4個子帶，子帶的最大帶寬為1kHz，如圖6（b）所示。

調制寬帶轉換器的參數(shù)：由軸承振動信號頻譜的對稱性可知實驗信號譜帶個數(shù)為（0～4）kHz的頻率區(qū)間內劃分譜帶個數(shù)的兩倍。若劃分譜帶的最大帶寬為Bmax，則實驗信號的頻譜可以劃分為L=fnva/Bmax個寬度為Bmax的譜帶。為了避免邊沿效應，L的取值應略小于計算值；為保證準確重構原始信號，采樣通道個數(shù)取為子帶個數(shù)的4倍，表1所示是兩種頻譜劃分方式下的MWC采樣系統(tǒng)設計參數(shù)。

圖6 軸承振動信號頻譜的兩種劃分方式Fig.6 Two Kinds of Division Methods of Bearing Vibration Signal Spectrum

表1 兩種頻譜劃分方式下的MWC參數(shù)Tab.1 The Parameter of MWC Under Two Kinds of Spectrum Division Methods

從表1可以看出，采樣通道數(shù)隨著譜帶個數(shù)的增加成比例增大，但是MWC系統(tǒng)的總體采樣率fΣ卻在減少。在單個通道ADC的采樣率方面，當子帶個數(shù)等于4時對應的采樣率fs是子帶個數(shù)等于8的一倍多，因此頻譜劃分的越細ADC的采樣速率越低；當軸承振動信號譜帶個數(shù)分別為N=4和N=8時，MWC采樣系統(tǒng)總體采樣速率對比于實驗信號的奈奎斯特速率分別降低了30.33%和32%。

2.4 重構效果

根據(jù)表2計算的參數(shù)設計合理的MWC采樣系統(tǒng)對軸承振動信號進行低速采樣并進行信號重構，重構信號的包絡譜，如圖6所示。

圖7 兩種頻譜劃分方式下MWC重構信號效果Fig.7 Reconstruction Performance of MWC Under Two Kinds of Spectrum Division Methods

原始軸承信號包絡譜圖5和重構信號包絡譜圖對比可以看出，重構信號包絡譜除了在幅值方面與原始信號包絡譜有稍微的誤差，其精確的重構出了原始信號的轉頻、故障頻率及其諧波成分。

2.5 信號頻譜劃分方式和MWC采樣通道數(shù)對信號重構的影響

為了進一步驗證所述方法的性能，下面進行兩組實驗研究不同頻譜劃分方式和采樣通道個數(shù)與重構誤差之間的關系。重構誤差按均方誤差計算，定義如下：

式中：x—原始信號；xrec—重構信號。

2.5.1 MWC采樣通道數(shù)對信號重構的影響

本次實驗在前文實驗基礎上分析了采樣通道數(shù)與重構誤差之間的關系，實驗中m的取值范圍為（2～8）N，針對每個m取值進行100次重構實驗，誤差取平均值。子帶個數(shù)分別取N=4和N=8時，如圖8所示。采樣通道數(shù)與重構誤差之間的關系。

圖8 譜帶寬度不同，采樣通道數(shù)與重構誤差的關系Fig.8 The Relationship of Sampling Channels and Reconstruction Error Under Different Spectrum Bandwidth

由圖8的實驗結果可以看出，當采樣通道數(shù)m在（2～4）N范圍取值時，信號重構誤差隨著采樣通道數(shù)的增加迅速降低，并且當m=2N時，譜帶數(shù)N=4對應的重構誤差要遠遠大于譜帶數(shù)N=8；當采樣通道數(shù)m≥4N時，信號重構誤差逐漸趨于平穩(wěn)；在實際信號采樣中，采樣通道數(shù)的選擇應在信號重構精度和采樣系統(tǒng)硬件成本之間權衡，采樣通道數(shù)取值較小時信號重構誤差較大、重構效果差；取值較大時盡管信號重構穩(wěn)定、重構誤差小，但是大大增加了MWC硬件實現(xiàn)的成本。因此，采樣通道個數(shù)的選取只需保證能夠準重構出原始信號的故障頻率即可。

2.5.2 信號頻譜劃分方式對信號重構的影響

由表1的結果可知劃分譜帶的寬度對MWC采樣系統(tǒng)的采樣速率有較大影響，本次實驗在（0～4）kHz信號能量較為集中的頻率區(qū)間上分別以 2kHz、1kHz、500Hz、250Hz、100Hz、50Hz劃分寬度對軸承振動信號的頻譜進行細化，對應的譜帶個數(shù)分別為2、4、8、16、32、80、160。實驗中針對不同的譜帶數(shù)進行 100 次重構實驗，誤差取平均值，測試結果，如表2所示。

表2 不同譜帶寬度下的MWC重構效果Tab.2 Reconstruction Performance of MWC Under Different Spectrum Bandwidth

從表2的實驗結果可以看出，MWC采樣系統(tǒng)的總體采樣率和重構誤差隨著劃分譜帶帶寬的減小而降低，但是準確重構所需的最少采樣通道數(shù)卻成比例增加。因此，頻譜劃分的越細，采樣系統(tǒng)硬件成本越高。在實際采樣中，應根據(jù)信號重構精度要求和硬件成本合理的劃分譜帶寬度從而達到理想的采樣效果。

3 結論

傳統(tǒng)的Shannon-Nyquist采樣方法對軸承信號進行采樣造成了海量數(shù)據(jù)的傳輸、存儲和計算等一系列問題，有時軸承發(fā)生故障所造成的強烈振動沖擊中含有的頻率很高，進行采樣的奈奎斯特頻率已經超出了現(xiàn)有采樣設備所能達到的最高頻率，這樣一來就會造成信息的丟失。調制寬帶轉換器采樣系統(tǒng)突破了奈奎斯特采樣速率的約束，以遠低于奈奎斯特速率對信號進行采樣，并能準確重構出原始信號。將調制寬帶轉換器采樣系統(tǒng)應用于軸承振動信號的采樣，在不丟失振動信號信息的情況下，大大減少了采樣數(shù)據(jù)量。從重構信號包絡譜來看，其準確的恢復出了原始信號的故障頻率信息，對軸承故障信息的預測提供了有力的保障。