劉井玉， 劉斌， 孫平， 陳俊

（1.浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制學(xué)院，浙江 東陽(yáng)322100，2.黑龍江省機(jī)械科學(xué)研究院，哈爾濱150040）

0 引 言

在機(jī)械設(shè)備中，螺旋錐齒輪被大量廣泛的應(yīng)用，在行業(yè)中占有重要的地位。隨著我國(guó)高鐵、飛機(jī)、汽車(chē)、航空航天、大型工程機(jī)械設(shè)備等各個(gè)領(lǐng)域的快速發(fā)展，對(duì)螺旋錐齒輪技術(shù)的需求更加緊迫，也提出了更高的要求[1]。

螺旋錐齒輪的數(shù)學(xué)模型是齒輪信息化技術(shù)、虛擬裝配、嚙合和接觸性能分析、有限元分析、精度分析檢測(cè)、三維實(shí)體建模和制造技術(shù)等各種應(yīng)用的首要基礎(chǔ)，建立其精確且通用的數(shù)學(xué)模型意義重大。

目前從實(shí)體建模的角度探討齒面模型的文獻(xiàn)較多，大體可概括為大兩類(lèi)：1）以齒輪嚙合理論為基礎(chǔ)，通過(guò)分析加工過(guò)程刀具與工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，推導(dǎo)加工形成的齒面數(shù)據(jù)[1-6]；或通過(guò)仿真加工后實(shí)體模型來(lái)生成齒面數(shù)據(jù)。這種方法通用性差、精度低，沒(méi)有理論正確的模型做依據(jù)，難以得到可廣泛應(yīng)用的完整正確的理論方程，誤差分析和加工調(diào)整也很困難。2）通過(guò)對(duì)齒面曲線的形成理論和曲線曲面的參數(shù)分析，再借助計(jì)算機(jī)實(shí)體造型的手段，來(lái)生成齒面數(shù)據(jù)[7-10]，這種建模可以得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展前景好。

由于螺旋錐齒輪的嚙合過(guò)程和齒面輪廓的復(fù)雜性，致使現(xiàn)今各建模方法還太過(guò)繁雜，沒(méi)有形成統(tǒng)一、全面和正確的理論體系。因此探討一種從齒面本身的結(jié)構(gòu)和生成原理出發(fā)，不依賴(lài)其它手段，建模過(guò)程分塊獨(dú)立、通用性強(qiáng)、可移植和擴(kuò)展，易于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)的齒面建模方法，對(duì)推動(dòng)相關(guān)理論體系的形成意義重大。

1 球面漸開(kāi)線曲面生成原理

錐齒輪上的漸開(kāi)線齒廓齒面，可看成是在基圓錐上生成的球面漸開(kāi)線曲線族曲面。如圖1所示，對(duì)于基圓錐上的一點(diǎn)P1，起始時(shí)發(fā)生平面A與基圓錐面相切于P1點(diǎn)，則可認(rèn)為起始時(shí)點(diǎn)P1固聯(lián)于發(fā)生面A上，當(dāng)發(fā)生面A在基圓錐上做純滾動(dòng)，且滾動(dòng)到切于基圓錐上的P3點(diǎn)時(shí)，P1將形成一條球面漸開(kāi)線，點(diǎn)P1為漸開(kāi)線的起始點(diǎn)。漸開(kāi)線也可看成是由以基圓錐頂點(diǎn)G為圓心，以P1G為半徑的圓，在基圓錐上做純滾動(dòng)，起點(diǎn)P1隨著該圓滾動(dòng)形成的球面漸開(kāi)線，文中也稱(chēng)該滾動(dòng)的圓為發(fā)生圓A。

圖1 球面漸開(kāi)線生成原理

當(dāng)基圓錐上的無(wú)數(shù)個(gè)起始點(diǎn)形成一條過(guò)圓錐頂點(diǎn)G的直線時(shí)，則對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)發(fā)生圓滾動(dòng)，生成直齒錐齒輪的直齒球面漸開(kāi)線齒廓曲面。如果起始線為在基圓錐上的螺旋線，如圖1（b）所示的Lβ，則生成錐齒輪的螺旋球面漸開(kāi)線齒廓曲面。

對(duì)于直齒圓錐齒輪，總可以定義：某一輪齒的漸開(kāi)線齒面的起始線為在oxz平面上的一條素線，如圖1（a）中的L1線，這樣可以簡(jiǎn)化齒面的求解模型。而對(duì)于螺旋錐齒輪，則起始線為基圓錐上的一條螺旋線，因此某一條漸開(kāi)線的起始點(diǎn)P1為螺旋形起始線上的某位置點(diǎn)。本文以圖1（b）所示的螺旋起始線為前提，來(lái)討論球面漸開(kāi)線齒廓曲面模型的通用求解模型，并給出直齒和螺旋齒錐齒輪的球面漸開(kāi)線齒廓曲面的建模實(shí)例。

2 基圓錐面方程

圖1（b）中，建立基圓錐坐標(biāo)系oxyz，oxy平面為基圓錐底平面，基圓錐頂點(diǎn)為G?？赏频靡韵鄬?duì)轉(zhuǎn)角θ和坐標(biāo)z為參數(shù)的基圓錐方程為：

式中：θ為基圓錐上的點(diǎn)相對(duì)于起始點(diǎn)P1在水平面上的相對(duì)轉(zhuǎn)角，如圖1中的P3點(diǎn)相對(duì)起始點(diǎn)P1的轉(zhuǎn)角，θ∈[θP1，θmax]；θP1為起始點(diǎn)P1在oxy平面上的轉(zhuǎn)角，角θP1及起始點(diǎn)P1的位置由起始線方程確定，如螺旋起始線Lβ等；r0為基圓錐底圓半徑；δ為基圓錐頂角；σ為錐頂半角，σ=δ/2。

在圖1（b）中，設(shè)起始點(diǎn)為P1（xP1，yP1，zP1），其偏轉(zhuǎn)角為θP1，P1點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基圓半徑為rP1。當(dāng)發(fā)生圓A滾動(dòng)到相切于P3點(diǎn)時(shí)，生成了段球面漸開(kāi)線，可求得P3（xP3，yP3，zP3）點(diǎn)的坐標(biāo)為：

式中，rP1=rP3=r0－zP1tan σ。

基圓錐面在P3點(diǎn)的法矢量N→P3，也即是發(fā)生圓A在P3點(diǎn)時(shí)的法矢量為

3 發(fā)生圓A及球面漸開(kāi)線方程

發(fā)生圓A滾動(dòng)到P3點(diǎn)時(shí)，發(fā)生圓A的法矢量為N→P3，圓心為G（xG，yG，zG）點(diǎn)，發(fā)生圓A的半徑為RGP3，則：

把式（7）和式（8）代入式（6）得：

把式（10）和錐頂點(diǎn)G（xG，yG，zG）坐標(biāo)代入式（9），則得到點(diǎn)P2（xP2，yP2，zP2）的坐標(biāo)為

式（11）就是對(duì)應(yīng)起始點(diǎn)P1，以θ為參數(shù)的球面漸開(kāi)線的方程，式中的θP1和rP1對(duì)應(yīng)于起始點(diǎn)P1的位置參數(shù)，由起始線Lβ的方程確定。

4 直齒錐齒輪球面漸開(kāi)線齒面方程

如圖1（a）所示，直齒錐齒輪的起始線L1為一條在oxz平面的基圓錐素線，以z為參數(shù)的該直線方程為：

則rP1=r0-z·tan σ，θP1=0，代入式（11），則得到以θ和z為參變量的直齒錐齒輪球面漸開(kāi)線齒廓曲面方程為

5 螺旋錐齒輪球面漸開(kāi)線齒面方程

如圖1（b）所示，基圓錐上的起始線為螺旋角為β的螺旋線Lβ，P1為L(zhǎng)β上的任意點(diǎn)，根據(jù)文獻(xiàn)[11]，可得以z為參數(shù)的基圓錐上的起始螺旋線Lβ的方程為

式中，rP1（z）=r0-z·tan σ；

可以設(shè)z=0時(shí)，θ0P1=0，如圖1（b）所示，則：

把式rP1（z）和式（16）代入式（11），則得到以（θ，z）為參數(shù)的螺旋錐齒輪球面漸開(kāi)線齒廓曲面方程為

6 結(jié) 論

1）曲面的形成過(guò)程也是其數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程，據(jù)此思路，在詳盡地分析了球面漸開(kāi)線生成原理的基礎(chǔ)上，給出了從基圓錐上螺旋起始線上的點(diǎn)開(kāi)始，從曲線到曲面逐步分塊建模，再以參數(shù)耦合求得齒廓曲面的建模方法。

2）建立了直齒和螺旋錐齒輪的球面漸開(kāi)線齒廓曲面的數(shù)學(xué)模型，驗(yàn)證了所述方法的通用性和正確性。

3）起始線的螺旋特性可任意設(shè)計(jì)，因此可求解變螺旋角的螺旋錐齒輪的齒廓曲面。

4）曲線、曲面或起始螺旋線的各自建模過(guò)程都可獨(dú)立引用，通用性強(qiáng)，易于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。

5）在獲得完整的齒廓曲面模型基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步對(duì)復(fù)雜齒面的齒輪信息化技術(shù)、虛擬裝配、嚙合和接觸性能分析、有限元分析、精度分析檢測(cè)、三維實(shí)體建模和制造技術(shù)等各種應(yīng)用技術(shù)進(jìn)行研究和探討。