田祎軒， 楊慶東

（北京信息科技大學(xué)機電工程學(xué)院，北京100192）

0 引 言

隨著機床不斷向高精度、高自動化發(fā)展，機床剛度已經(jīng)成為提高加工精度和加工效率的重要因素。為保證工件質(zhì)量，機床必須具備良好的剛度，而機床主軸作為機床的核心部件，其剛度對于機床剛度而言至關(guān)重要。主軸靜剛度是指在切削力的作用下主軸抵抗變形的能力，通常以主軸前端產(chǎn)生單位位移時，在位移方向上所施加的作用力來表示[1]。

在國外，E.Abele等[2]推導(dǎo)出主軸的變形公式；Reddy和Sharan[3]利用有限元模型分析了機床主軸的動態(tài)特性；Jiang T和Chirehdast M等[4]通過分析機床整機的有限元模型，對聯(lián)結(jié)的位置和數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化；國內(nèi)，徐俠[5-6]研究了傳動力對主軸y向剛度的綜合影響；仇健、劉志強等[7]通過對臥式加工中心主軸靜剛度的仿真和實驗，得出主軸在加載曲線和卸載曲線不閉合的特征，并分析了產(chǎn)生原因及危害；寸花英等[8]建立了一種高性能加工中心主軸-軸承的系統(tǒng)模型。

BP算法擁有簡單、易行、計算量小等優(yōu)點，但傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法易震蕩、收斂速度慢，易陷入局部最小值。所以利用遺傳算法（GA）優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，建立基于GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測機床剛度，預(yù)測精度更高。本文以主軸剛度計算模型獲得的主軸剛度數(shù)據(jù)為樣本，建立基于GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機床主軸剛度預(yù)測模型，可對不同結(jié)構(gòu)機床主軸剛度進(jìn)行批量、快速、精準(zhǔn)預(yù)測，具有較強的實用性。

1 機床主軸剛度分析

機床主軸在機床部件中占據(jù)重要地位，該部位與機床刀具直接連接，直接影響到機床加工精度。主軸本身結(jié)構(gòu)形式、材料參數(shù)、軸承參數(shù)等都是主軸部件剛度的影響因素。為完成機床主軸部件的剛度分析，將主軸簡化為如圖1所示的力學(xué)模型，計算機床主軸受力情況下的變形情況。

圖1中：a為主軸懸伸量；b為前軸承C1和后軸承C2之間的距離；P為主軸末端承受的載荷。在載荷P作用下，主軸末端變形δ1和軸承受力變形δ2的疊加變形視為主軸系統(tǒng)的總變形δ：即：

圖1 主軸結(jié)構(gòu)簡圖

其中主軸末端變形為

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩（I=（πD4-πd4）/64）；d為主軸內(nèi)徑（實心時取零）；D為主軸當(dāng)量外徑，由于主軸的不同軸段外徑不同，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)量直徑進(jìn)行計算：

式中，Dn和Ln分別為第n段軸的外徑和長度。

軸承軸向剛度Ka和徑向剛度Kr在軸承預(yù)緊后的理論計算公式為：

式中：Z為滾動體數(shù)目；α為接觸角；Fa和Fr分別為作用在軸承上的軸向載荷和徑向載荷；db為滾動體直徑。其中前后軸承徑向載荷計算公式為：

式中：R為軸承外載荷；F0為軸承預(yù)緊力。

則因徑向載荷產(chǎn)生的前軸承變形：

所以總變形：

主軸剛度：

2 GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

基于遺傳算法的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳優(yōu)化算法兩部分組成。

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要包含輸入層、隱含層、輸出層三部分，層與層之間通過權(quán)值和閾值相連接。隱含層的個數(shù)會對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算結(jié)果產(chǎn)生影響，理論上，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算結(jié)果的準(zhǔn)確性會隨著隱含層數(shù)目的增多而提高，但是過多的隱含層個數(shù)會降低神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運算效率。實驗證明，一個三層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可以完成一個完整的從任意輸入層數(shù)到任意輸出層數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射[9]。因此，本模型采用三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，如圖2所示。

由上述主軸剛度建?？珊Y選影響主軸剛度的主要參數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出，該網(wǎng)絡(luò)中，x1、x2、x3、x4、x5分別代表主軸懸伸量a、前后軸承間距b、主軸當(dāng)量外徑D、前軸承徑向剛度Kr1、后軸承徑向剛度Kr2。設(shè)置隱含層單元為10。輸出層y代表主軸剛度。迭代次數(shù)設(shè)置為1000，學(xué)習(xí)速度為0.01，均方根誤差為0.001，其余參數(shù)均使用默認(rèn)值。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

2.2 GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法是基于梯度降低的，這種方法存在局部最優(yōu)問題，容易使問題的解陷入局部極值[10]。并且BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值是隨機給定的，也無法通過確切的方式獲得。具有全局搜索能力的遺傳算法能夠克服傳統(tǒng)BP算法的問題，并且可以獲得優(yōu)化后的權(quán)值和閾值，提升了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能[11]。遺傳算法最初由J.H.Holland在1962年提出，它是模擬達(dá)爾文的自然選擇和遺傳選擇的生物進(jìn)化過程的數(shù)學(xué)模型[12]。遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要有以下步驟：1）編碼權(quán)值和閾值，獲得初始值；2）隨機產(chǎn)生一個種群；3）以期望輸出值與網(wǎng)絡(luò)輸出值的誤差（Eg）的倒數(shù)作為適應(yīng)梯度fg[13-14]；4）復(fù)制適應(yīng)度較高的個體；5）通過對個體的交叉和變異產(chǎn)生新種群；6）重復(fù)步驟2）、3），直到滿足終止條件，遺傳算法結(jié)束；7）利用遺傳算法得到最佳初始權(quán)值和閾值，并讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)利用此最佳值進(jìn)行訓(xùn)練。

GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建流程如圖3所示。其中左側(cè)為未經(jīng)優(yōu)化的BP網(wǎng)絡(luò)部分，右側(cè)為遺傳算法部分。

圖3 BA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建流程圖

由2.1節(jié)分析可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)

設(shè)置遺傳算法迭代次數(shù)為100次，種群規(guī)模為50，采用幾何規(guī)劃排序選擇法選擇適應(yīng)度較高的染色體，選擇函數(shù)參數(shù)為0.09，采用算術(shù)交叉方式，交叉函數(shù)參數(shù)為2，變異函數(shù)選擇非統(tǒng)一變異函數(shù)，參數(shù)為[2 100 3]。

3 主軸剛度預(yù)測

根據(jù)本文第一部分機床主軸剛度分析模型，收集到30組主軸結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，并計算得到主軸剛度。為保證模型驗證的準(zhǔn)確性，選取的主軸結(jié)構(gòu)為兩點支撐的實心主軸，材料為45鋼，彈性模量為206 GPa，主軸剛度預(yù)測模型部分樣本如表2所示。

表2 主軸剛度預(yù)測模型部分樣本

選取25組數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，5組數(shù)據(jù)為測試樣本，以主軸懸伸量a、前后軸承間距b、主軸當(dāng)量外徑D、前軸承徑向剛度Kr1、后軸承徑向剛度Kr2為輸入，以主軸端部剛度K為輸出，對剛度進(jìn)行了未經(jīng)遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測和經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化的GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表3、表4所示。

表3 BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果

表4 GA-BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果

由表3可得，未經(jīng)遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測最大絕對誤差為-23 N/μm，最大相對誤差為10.09%，平均相對誤差為7.52%。

由表4可得，經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化的GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測最大絕對誤差為11 N/μm，最大相對誤差為5.14%，平均相對誤差為3.69%。結(jié)果表明，經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果優(yōu)于普通BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果，故采用GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測機床主軸剛度穩(wěn)定性和精度更高。

4 模型實例驗證

為驗正預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，選取一主軸借助ANSYS軟件對該主軸進(jìn)行了仿真分析。

已知該主軸材料為45鋼，彈性模量為206 GPa，截面慣性矩I=1.256×10-7，a=75 mm，b=190 mm，當(dāng)量外徑D=40 mm。主軸末端施加P=1500 N的載荷，前軸承徑向剛度kr1=250 N/μm，后軸承徑向剛度kr2=280 N/μm。根據(jù)GABP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測得主軸剛度為215.52 N/μm。

根據(jù)機床主軸尺寸進(jìn)行SolidWorks建模，將模型導(dǎo)入到Workbench軟件當(dāng)中，以四面體實體單元對該主軸進(jìn)行網(wǎng)格劃分，劃分單元的大小為0.272 mm，共計126 689個節(jié)點，57 316個單元體。將軸承簡化成帶阻尼的彈簧，忽略阻尼影響，在主軸末端X方向施加P=1500 N的載荷。解析結(jié)果如圖4所示。

由分析結(jié)果可知，機床主軸的X向最大變形為7.4821 μm，剛度為200.48 N/μm，相對GA-BP模型預(yù)測結(jié)果的誤差為6.98%。因此，GA-BP主軸剛度預(yù)測模型可用于主軸剛度預(yù)測。

5 結(jié) 論

構(gòu)建了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，預(yù)測機床主軸剛度，采用遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，以主軸關(guān)鍵結(jié)構(gòu)為輸入，主軸末端剛度為輸出，在MATLAB中訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并對GA-BP網(wǎng)絡(luò)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果表明，采用遺傳算法優(yōu)化的GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果更準(zhǔn)確，穩(wěn)定性更高。用主軸的有限元分析結(jié)果對GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了驗證，實驗表明，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型可用于主軸剛度的準(zhǔn)確、快速預(yù)測，對主軸剛度計算具有理論指導(dǎo)意義。

圖4 主軸仿真結(jié)果