程怡豪，王明洋，王德榮，宋春明，岳松林，譚儀忠

（1. 陸軍工程大學(xué)國防工程學(xué)院，江蘇 南京 210007；2. 陸軍工程大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院，江蘇 南京 210007；3. 南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094）

數(shù)十年來，國內(nèi)外學(xué)者采用空腔膨脹理論開展了針對金屬、混凝土、巖石和陶瓷等多種靶體材料侵徹阻力的研究，并根據(jù)研究的需要將侵徹阻力顯式地表達(dá)為速度相關(guān)的多項(xiàng)式函數(shù)[1-16]，其中常數(shù)項(xiàng)阻力被理解為靶體的靜阻力項(xiàng)，常以符號Rt表示。關(guān)于Rt的本質(zhì)的認(rèn)識目前比較模糊，其中：Anderson[1]認(rèn)為Rt是與材料基本力學(xué)行為密切相關(guān)的半經(jīng)驗(yàn)參數(shù)而并非材料常數(shù)；Rosenberg 等[16]則根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)Rt與彈體材料和撞擊速度無關(guān)，可以僅通過材料強(qiáng)度準(zhǔn)則和彈性常數(shù)確定。此外，金屬的Rt的取值通常超過其Hugoniot 彈性極限（HEL）直至其若干倍[1,17]，巖石和混凝土等材料的Rt的取值通常小于其HEL[18-20]，而陶瓷類材料的Rt則似乎與HEL 相當(dāng)[22]。上述差異應(yīng)該與兩類材料的動力學(xué)行為差異密切相關(guān)，但目前尚缺乏專門針對這一問題的討論。

那么Rt的內(nèi)涵究竟是什么？塑性材料和脆性材料在Rt與HEL 之間的關(guān)系為何具有顯著的差異？本文以空腔膨脹理論和球面應(yīng)力波理論為分析依據(jù)，通過比較侵徹近區(qū)塑性材料和脆性材料動力學(xué)行為的差異，對兩類不同材料Rt的本質(zhì)及其與HEL 的關(guān)系進(jìn)行探討，并對脆性材料侵徹的若干應(yīng)用問題提出建議。

1 塑性材料

1.1 對靜態(tài)空腔膨脹理論的回顧

在塑性金屬靶體的非變形侵徹問題中，Rt可利用靜態(tài)球形空腔膨脹理論估計(jì)。Hill[3]給出了這部分工作的詳細(xì)理論推導(dǎo)。

圖1 塑性材料中球形空腔膨脹的響應(yīng)區(qū)域Fig. 1 Response regions of spherical cavity expansion in plastic materials

圖2 脆性材料中球形空腔膨脹的響應(yīng)區(qū)域Fig. 2 Response regions of spherical cavity expansion in brittle materials

如圖1 所示，設(shè)在內(nèi)壓作用下該空腔從半徑為0 發(fā)展為半徑為a 的有限球腔，緊鄰球腔的是半徑為c 的塑性區(qū)域，塑性區(qū)域外是半徑為b 的彈性變形區(qū)，如圖2 所示，對于脆性材料而言，尚需增加半徑為d 的徑向裂紋區(qū)，此時(shí)應(yīng)力分布純粹是徑向坐標(biāo)r 的函數(shù)。已知有限球域條件下a 對c 的導(dǎo)數(shù)為：

式中：ν 是介質(zhì)的泊松比，Yt是介質(zhì)的屈服應(yīng)力，Et是介質(zhì)的彈性模量，b0是球體的外半徑。Tresca 準(zhǔn)則下空腔內(nèi)壁壓力p 滿足：

根據(jù)自相似原理，當(dāng)b0→∞時(shí)，a/c 為常數(shù)，為此在式（1）中要求：

將式（3）代入式（2），解得：

ps就是理想塑性材料在形成空腔a 所需克服的最小孔壁壓力。但需要強(qiáng)調(diào)的是，ps是在空腔半徑從0 膨脹為a 得到的，這和內(nèi)半徑為a 的空心球腔在內(nèi)壓p 作用下進(jìn)入塑性狀態(tài)所需臨界應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果不同。事實(shí)上，塑性區(qū)正應(yīng)力的計(jì)算公式為：

式中：σr為徑向正應(yīng)力，σθ為環(huán)向正應(yīng)力，r 是球心到考察點(diǎn)的距離。從式（5）的第一個式子可知當(dāng)p=2Yt/3 時(shí)空腔內(nèi)壁就開始進(jìn)入塑性。作為算例，取典型裝甲鋼參數(shù)如下[1]：Yt=1.0 GPa，ν=0.3，Et=200 GPa，代入式（4）可得ps=3.72 GPa，因此：

當(dāng)采用柱形空腔膨脹理論時(shí)，式（4）的結(jié)果變?yōu)椋?/p>

將上述裝甲鋼參數(shù)代入計(jì)算可得ps=3.18 GPa，因此球形空腔膨脹理論的計(jì)算結(jié)果稍大于柱形空腔膨脹理論的計(jì)算結(jié)果。同時(shí)求解ps與材料的Hugoniot 彈性極限（σHEL）之間的比例關(guān)系。已知σHEL滿足：

因此

可見，ps約為σHEL的2 倍。

1.2 不同條件下Rt 的取值

Forrestal 等[23]將式（4）中得到的ps作為Rt，得到了半球形頭部彈體在無摩擦條件下的侵徹阻力函數(shù)，即：

式中：F 是彈頭所受阻力的合力，r0是彈體半徑，B 是材料力學(xué)性能決定的常數(shù)且B≈1，ρt是靶體密度，v 是瞬時(shí)侵徹速度，N 是彈頭形狀系數(shù)。與式（10a）對應(yīng)的侵徹深度計(jì)算公式為：

式中：hmax是最終侵徹深度，L 是彈身長度，ρp是彈體密度?？涨慌蛎浝碚摬⒎菦Q定Rt的唯一方法，例如，Rosenberg 等[24]認(rèn)為非變形侵徹條件下侵徹阻力僅僅包含常數(shù)項(xiàng)Rt，其表達(dá)式為：

式中：φ 按照尖卵形頭部、錐形頭部和半球形頭部分別取為1.15、0.93 和0.2。與式（11a）相對應(yīng)的侵徹深度計(jì)算公式為：

圖3 給出了對某種鋁合金侵徹的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[23]的對比，其中ρp=8 000 kg/m3，ρt=2 710 kg/m3，ν=0.33，Yt=340 MPa，Et=69 GPa，L=71.12 mm，r0=3.55 mm?？梢姡?dāng)撞擊速度小于1 km/s 時(shí)，Rosenberg 模型[24]的預(yù)測效果似乎更佳。但式（10）具有相對嚴(yán)格的物理力學(xué)基礎(chǔ)，特別是通過引入空腔膨脹理論使得Rt的確定更加理性，而且在引入一個合適的彈靶間摩擦系數(shù)后，式（10）可以和實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加吻合；相比之下，式（11）則是依賴于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的半經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

圖3 鋁靶侵徹的理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[23]對比Fig. 3 Penetration depth intoaluminum targets between results from theoretical calculations and experiments[23]

這里需要指出的是，無論采用空腔膨脹理論還是其他方法，Rt都不能理解為純粹的材料常數(shù)，這是因?yàn)镽t不僅與材料的基本物理力學(xué)性質(zhì)相關(guān)，還與具體的侵徹模型的選擇、侵徹速度等因素相關(guān)。例如，超高速侵徹條件下經(jīng)常采用A-T 模型，其在彈靶界面的控制方程滿足[17]：

式中：υj為彈體尾部速度，Yp為彈體特征阻力（取為彈體材料的HEL）。

Tate[25]參照式（4）擬合得到了Rt，即：

式中：λ 是經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，建議λ=0.7。以Yt=1.0 GPa，ν=0.3，Et=200 GPa 的裝甲鋼為例，可得Rt=5.44 GPa，這是式（4）的1.46 倍之多。對這一結(jié)果應(yīng)該從兩方面考慮：一方面，A-T 模型本身尚不完備，因此必須對Rt進(jìn)行修正以符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果；另一方面，球形空腔膨脹理論與真實(shí)的侵徹近區(qū)狀態(tài)的差異在超高速侵徹條件下十分明顯，因此Rt有所變化。Rosenberg 等[16]、Walker 等[26]的數(shù)值計(jì)算結(jié)果證實(shí)了上述推斷，即侵徹近區(qū)塑性區(qū)的大小與形態(tài)隨著侵徹速度、彈體形狀差異而變化，因此采用不變的Rt描述侵徹機(jī)理將不可避免的存在與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差。

盡管空腔膨脹理論并不能圓滿地描述不同條件下侵徹近區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，但其仍然是理解Rt本質(zhì)的有效途徑。在綜合以上分析后我們作如下推斷：Rt是靶體介質(zhì)以固體特性抵抗局部擴(kuò)孔的、具有時(shí)間平均特性的彈體橫截面平均應(yīng)力，其具體取值隨著材料的物理力學(xué)特性、侵徹模型、撞擊速度等因素而變化，因此不是材料的固有特性。

2 脆性材料

2.1 脆性材料Rt 值實(shí)驗(yàn)研究

在脆性材料的非變形侵徹問題中Forrestal 阻力模型得到了普遍應(yīng)用，即[5,11-12]：

Rt按照下式擬合：

式中：mp是彈體質(zhì)量。Forrestal 等[5]得到了混凝土的Rt值計(jì)算方法，即：

式中：fc為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度。此外，張德志等[12]基于式（14）得到了某種花崗巖的Rt=0.95～1.41 GPa。當(dāng)僅考慮阻力的常數(shù)項(xiàng)時(shí)，Rosenberg 等[27]曾給出如下形式，即：

與之形成對比的是，35 MPa 普通混凝土的HEL 可達(dá)到1.0 GPa 以上[18]，花崗巖的HEL 可達(dá)到2.5～4.5 GPa[19-20]。當(dāng)長桿彈侵徹陶瓷等高硬度脆性材料時(shí)，彈體通常發(fā)生侵蝕，此時(shí)需采用形如式（12）中的擬流體侵徹模型，其中Rosenberg 等[22]曾經(jīng)對HEL 分別為6 GPa 和7 GPa 的AD85 陶瓷和BC90G 陶瓷進(jìn)行高速侵徹實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)Rt大體與陶瓷的HEL 相當(dāng)。由此可見，脆性材料Rt通常小于其對應(yīng)的HEL（如混凝土、巖石）或與HEL 相當(dāng)（如陶瓷）。而從1.1 節(jié)的計(jì)算可知，塑性金屬靶體的Rt通常約為HEL 的2 倍。

進(jìn)一步觀察式（15）～（16）中Rt隨fc的變化規(guī)律（圖4）可以發(fā)現(xiàn)，無論是Forrestal 模型還是Rosenberg 模型，Rt都隨fc的增大而單調(diào)增大。直覺上看這似乎是合理的，但注意到Zhang 等[28]曾經(jīng)通過實(shí)驗(yàn)研究超高強(qiáng)混凝土的抗侵徹性能，發(fā)現(xiàn)為了使得混凝土的fc超過150 MPa，必須去除粗骨料，而如果不能相應(yīng)地采取增韌措施，那么即使混凝土的fc達(dá)到250 MPa，其侵徹深度也與未去除粗骨料的100 MPa 混凝土相差無幾（圖5 中虛線框部分所示）。Zhang 等[28]認(rèn)為去除粗骨料的混凝土變的極易開裂，此時(shí)其抗侵徹能力反而受到制約，因此單純以fc作為衡量混凝土介質(zhì)侵徹阻力大小是有失偏頗的。

要深入回答脆性材料Rt和HEL 之間的大小關(guān)系問題，以及Rt與fc之間的依賴性問題，尚需深入分析侵徹近區(qū)靶體材料的動力學(xué)行為。

圖4 不同fc 條件下混凝土Rt 的擬合結(jié)果Fig. 4 Fitted Rt values of concrete with different fc values

2.2 脆性材料Rt 值的理論研究

圖5 不同fc 條件下混凝土侵徹深度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[28]Fig. 5 Effect of fc on experimental penetration depth in concrete[28]

完整脆性材料具有極高的HEL。在沖擊波波陣面或短波（即升壓時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于正壓時(shí)間的壓縮波）峰值附近，材料處于三向受壓狀態(tài)[29]，此時(shí)無論是脆性材料還是塑性材料，都會顯示出顯著的塑性行為，HEL 仍然由式（8）計(jì)算，但Yt應(yīng)該理解為當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)貞?yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變速率下的屈服應(yīng)力。以巖石為例，由Lundborg 關(guān)系[30]可知高壓下巖石具有von-Mises 塑性極限Yd，且對于硬巖而言Yd= 1.0～2.0 GPa，巖石的Poisson 比為0.25～0.35，因此HEL 的估算結(jié)果是：

這里同時(shí)給出基于Rosenberg 建議的陶瓷材料HEL 計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果[31]：

可見，相同參數(shù)下式（17b）遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于式（17a）的計(jì)算結(jié)果，而從花崗巖的HEL 看[19-20]，式（17a）更加符合實(shí)際情況。但無論是式（17a）還是式（17b）都表明，脆性介質(zhì)之所以具有較高的HEL 是因?yàn)槠渚哂袠O高的Yd。

圖6 基于球面波的腔壁應(yīng)力衰減規(guī)律[32]Fig. 6 Decay of spherical wave stresses on cavity [32]

圖7 完整條件下和損傷條件下脆性材料的強(qiáng)度模型[34]Fig. 7 Model for strength of intact and damaged brittle materials[34]

脆性材料侵徹阻力主要取決于破碎后介質(zhì)。眾所周知，脆性材料的破壞形態(tài)受壓力和應(yīng)變率的影響十分顯著，因此式（17）的HEL 必須在極高應(yīng)變率（104～105s-1）的一維應(yīng)變壓縮條件的下才能體現(xiàn)出來[19]。在球面應(yīng)力波波峰后方，不僅徑向應(yīng)力迅速減小，而且環(huán)向應(yīng)力也迅速減小并轉(zhuǎn)變?yōu)槔瓚?yīng)力，其幅值甚至將超過波陣面環(huán)向壓應(yīng)力的幅值[32]（圖6）。由于脆性材料的動力拉伸強(qiáng)度比HEL 低約一個數(shù)量級，因此在環(huán)向拉應(yīng)力的作用下將會首先出現(xiàn)徑向裂紋并將波陣面后面的材料切割成尺度不等的碎塊。裂紋傳播速率一般在～102m/s 且最高可達(dá)Rayleigh 波速（完整巖石的Rayleigh 波速在2.5～3.0 km/s[33]），而一般彈道問題的撞擊速度小于1 km/s，此時(shí)彈體將在已經(jīng)破碎的介質(zhì)中侵徹，因此在理論分析中必須考慮強(qiáng)度退化。

Satapathy 等[34]和Bavdekar 等[35]發(fā)現(xiàn)，破碎介質(zhì)的Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則參數(shù)對準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)侵徹阻力的影響比完整介質(zhì)的Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則參數(shù)更加重要（圖7），此時(shí)Rt與完整材料的力學(xué)特性參數(shù)（如HEL和fc）關(guān)系不大。因此，具有超高fc的混凝土如果缺乏粗骨料則極可能“一裂即碎”，其殘余強(qiáng)度甚至可能低于較低強(qiáng)度混凝土?；谕瑯拥睦碛?，不能僅憑兩批次混凝土具有相同fc就認(rèn)為兩者具有相同的Rt。

脆性材料的Rt與侵徹速度有關(guān)。上述研究均是建立在“材料破碎在先，侵徹過程在后”的前提下。若侵徹速度超越破碎陣面的傳播速度時(shí)，Rt將急劇上升，甚至超越材料的HEL。表1 給出了不同的陶瓷Rt值，其中Sternberg[36]和Rosenberg 等[22]的結(jié)果比較接近，而Kozhushko 等[37]的建議值是另兩位學(xué)者所提出建議值的4 倍以上，這是因?yàn)镵ozhushko 等是在5～12 km/s 撞擊速度條件下測得的結(jié)果，侵徹速度很可能已經(jīng)超越陶瓷材料的裂紋前端，測得的是陶瓷的本征阻力值（原蘇聯(lián)學(xué)者稱之為“動力硬度”[38]），遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于侵徹破碎介質(zhì)所需克服的阻力。Vlasova 等[39]認(rèn)為陶瓷類介質(zhì)的Rt值具有理論極限值Rtmax，即：

式中：cst為陶瓷的剪切波速，Gt為靶體的剪切模量。這一公式的計(jì)算結(jié)果與Kozhushko 等給出的建議值相吻合。

表1 不同學(xué)者建議的陶瓷Rt 值 (單位：GPa)Table 1 Rt values of ceramic suggested by different researchers (unit in GPa)

事實(shí)上，即便在一般彈道速度條件下，Rt也與撞擊速度之間顯示出相關(guān)性。圖8 根據(jù)式（14）給出了張德志等[12]的花崗巖侵徹實(shí)驗(yàn)和徐建波[40]的混凝土侵徹實(shí)驗(yàn)的不同撞擊速度下的Rt值。可見，隨著撞擊速度從300 m/s 提高到900 m/s，混凝土的Rt從950 MPa 提高到1 400 MPa；撞擊速度從200 m/s 提高到700 m/s，混凝土的Rt從250 MPa 提高到325 MPa。對于此類現(xiàn)象，王明洋等[21]認(rèn)為，當(dāng)侵徹速度較低時(shí)，巖石類介質(zhì)沒有恒定的Rt，而應(yīng)該考慮侵徹速度對侵徹阻力的強(qiáng)化作用，這種作用的本質(zhì)是內(nèi)摩擦，此時(shí)侵徹阻力是侵徹速度的一次函數(shù)；當(dāng)侵徹速度足夠高時(shí)，材料的內(nèi)摩擦效應(yīng)達(dá)到飽和并體現(xiàn)為恒定不變的“動力硬度”（硬巖的動力硬度可達(dá)數(shù)個GPa），具體表述為：

式中：σ 是作用在彈頭橫截面的平均應(yīng)力，τs是巖石的黏聚力，Ht為巖石的動力硬度， Ma*為廣義馬赫數(shù)，其定義為侵徹速度v 與特征速度 c*之比， c*取決于巖石動力硬度和密度，κ1、κ2為阻力系數(shù)。花崗巖侵徹實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)初步證實(shí)了式（19）的合理性（圖9）。

圖8 花崗巖和混凝土靶體Rt 隨撞擊速度的變化規(guī)律Fig. 8 Rt of granite and concrete varying with impact velocity

圖9 花崗巖侵徹深度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的預(yù)測效果[21]Fig. 9 Comparison of calculation results with experimental results of penetration depth in granite[21]

2.3 對工程實(shí)踐的啟示

由于限制脆性材料侵徹阻力的主要原因是應(yīng)力波峰值后方的環(huán)向拉應(yīng)力造成的材料破碎，因此提高脆性材料的侵徹阻力的關(guān)鍵在于：（1）減小應(yīng)力波峰值后環(huán)向拉應(yīng)力的幅值；（2）抑制材料的破碎速度和程度。為了實(shí)現(xiàn)第一點(diǎn)，可以主動或被動地增加外圍壓。這一手段在陶瓷裝甲防護(hù)技術(shù)中已經(jīng)得到了廣泛實(shí)踐[41]。此外，徐松林等[42]和蒙朝美等[43]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別證實(shí)了主動和被動約束對于提高混凝土的抗侵徹能力具有一定作用，任劼等[44]的數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示較高的巖體圍壓會顯著地減小金屬射流的侵徹深度。為了實(shí)現(xiàn)第二點(diǎn)，既可以增加外圍壓，也可以通過材料復(fù)合技術(shù)提高材料的韌性，這實(shí)際上已經(jīng)在鋼纖維高性能混凝土的抗侵徹研究中得到了應(yīng)用[45]。

3 結(jié) 論

材料的靜阻力Rt是材料抵抗侵徹能力的定量表征，但關(guān)于不同類型材料Rt的本質(zhì)缺乏針對性的討論。本文以空腔膨脹理論和球面應(yīng)力波理論為工具進(jìn)行分析，對塑性和脆性兩類不同材料Rt的本質(zhì)進(jìn)行探討，結(jié)論如下：

（1）Rt是靶體介質(zhì)以固體特性抵抗局部擴(kuò)孔的、具有時(shí)間平均特性的彈體橫截面平均應(yīng)力，其具體取值隨著材料的物理力學(xué)特性、侵徹模型、撞擊速度等因素而變化，因此不是材料的固有特性。

（2）對于塑性靶體的非變形侵徹問題，靜態(tài)空腔膨脹理論的結(jié)果能夠?qū)t作出比較合理的預(yù)測。對于擬流體侵徹問題，一般需要對靜態(tài)空腔膨脹理論的結(jié)果加以修正。

（3）脆性材料的Rt主要取決于破碎后介質(zhì)的力學(xué)特性而與完整材料的力學(xué)特性關(guān)系不大，且與fc之間不滿足純粹的單調(diào)關(guān)系。當(dāng)侵徹速度較低時(shí)，應(yīng)考慮侵徹速度對侵徹阻力的強(qiáng)化作用，這種強(qiáng)化作用的本質(zhì)是內(nèi)摩擦；當(dāng)侵徹速度足夠高時(shí)，脆性材料體現(xiàn)出恒定不變的“動力硬度”，其反映了材料的本征阻力特性。

（4）提高脆性材料的侵徹阻力的關(guān)鍵在于減小應(yīng)力波峰值后環(huán)向拉應(yīng)力的幅值、抑制材料的破碎速度和程度，具體措施包括主動或被動地增加外圍壓、對基質(zhì)中添加增韌增強(qiáng)纖維等。此外，為了實(shí)現(xiàn)對脆性材料更高精度的數(shù)值模擬，建議更加重視對破碎介質(zhì)動力學(xué)特性的研究。