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        一種計(jì)盒維數(shù)估算的新方法

        2020-06-18 03:33:26王曉燕陳志杰姜友華唐文瀾薄乾禎
        關(guān)鍵詞:分維標(biāo)度墊片

        王曉燕,陳志杰,姜友華,唐文瀾,薄乾禎

        (1.湖北大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院,湖北省農(nóng)業(yè)遙感應(yīng)用工程技術(shù)研究中心,湖北 武漢 430062;2.武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,湖北 武漢 430072)

        0 引言

        所謂分形(Fractal),原意為破碎和不規(guī)則,用以指那些與整體以某種方式相似的部分構(gòu)成的一類(lèi)形體,如海岸線(xiàn)的彎曲、植物的分支、浮云的輪廓、山脊的形態(tài)、晶體的生長(zhǎng)和流體的滲透等,其基本特征是自相似性(Self-similarity).分形理論最早由美籍法國(guó)科學(xué)家B. Mandelbrot創(chuàng)立,該理論用分形維數(shù)(Fractal dimension)(簡(jiǎn)稱(chēng)分維)的概念來(lái)度量自然現(xiàn)象的不規(guī)則程度,不僅可以揭示事物內(nèi)部的自仿射或自相似特性,還可以揭示復(fù)雜系統(tǒng)的工作原理.經(jīng)過(guò)近30年的發(fā)展,已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于各種社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域[1].分形維數(shù)是刻畫(huà)目標(biāo)分形特征的一個(gè)重要參數(shù),其定義有很多,而且對(duì)同一物體以不同方式定義或側(cè)重面不同,其分形維數(shù)也各不相同[2].常用的分維有Hausdorff維數(shù)、計(jì)盒維數(shù)、相似維數(shù)、信息維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)等,其中計(jì)盒維數(shù)又是一種使用最為廣泛的維數(shù)之一.如計(jì)盒維數(shù)可用于分析生態(tài)學(xué)中植物群落分布格局特征及其尺度變化特征[3],也可以反映自然界中水系的空間分布特征和內(nèi)部結(jié)構(gòu)[4];在云霧遙感監(jiān)測(cè)中,采用計(jì)盒維數(shù)法與其他方法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行云霧的識(shí)別和分離[5];此外,計(jì)盒維數(shù)在圖像特征、聲波信號(hào)分形特征提取等方面也有廣泛的應(yīng)用[1,6].然而,在計(jì)盒維數(shù)的實(shí)際估算中,還有一些問(wèn)題是廣大學(xué)者十分關(guān)心和感到困惑的.正如陳彥光指出,許多基本問(wèn)題尚未解決,這些問(wèn)題包括:測(cè)量尺度問(wèn)題、標(biāo)度區(qū)的識(shí)別問(wèn)題和統(tǒng)計(jì)分析標(biāo)準(zhǔn)的確定問(wèn)題等[7].總體來(lái)說(shuō),目前的情況仍然是,在計(jì)盒維數(shù)估算中,尚缺乏一種可操作的實(shí)用方法.

        由于數(shù)學(xué)上標(biāo)準(zhǔn)分形體都有確切的理論分維值[8-9],本文中采用3種標(biāo)準(zhǔn)的兩維分形體(Koch曲線(xiàn)、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,揭示盒子大小、盒子數(shù)量、盒子遞減方式、盒子遞減速率和標(biāo)度區(qū)判斷等對(duì)計(jì)盒維數(shù)估算的影響,并在此基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的建議和解決問(wèn)題的具體方法,這為計(jì)盒維數(shù)的準(zhǔn)確和快速估算提供理論依據(jù).

        1 計(jì)盒維數(shù)估算中涉及的若干問(wèn)題

        計(jì)盒維數(shù)(box dimension)概念比較清晰,計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單,并且對(duì)于是否具有自相似特性的圖像均適用,是分形分析中較為直觀實(shí)用且使用最廣泛的一種.實(shí)際應(yīng)用中可形象地理解為,在集合F中(可以是線(xiàn)、面或體),構(gòu)造一些邊長(zhǎng)為r的正方形(體)(或稱(chēng)為盒子)去覆蓋集合,計(jì)算不同r值的“盒子”和F相交的個(gè)數(shù)N(r),由N(r)與r在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中直線(xiàn)的斜率值可求得計(jì)盒維數(shù)D.D是傳統(tǒng)意義上尺度為r的計(jì)盒維數(shù),用以表征相同形狀的小集合覆蓋一個(gè)集合的效率.

        logN(r)=-Dlog(r)+C

        (1)

        在計(jì)盒維數(shù)的實(shí)際估算中,盒子大小、盒子數(shù)量、盒子遞減方式、盒子遞減速率以及標(biāo)度區(qū)識(shí)別等是我們經(jīng)常碰到的棘手問(wèn)題.

        計(jì)盒維數(shù)的估算中,當(dāng)盒子尺度太大時(shí),盒子不能很好刻畫(huà)分形體,從而使分維估算效果不佳;當(dāng)盒子尺度小到一定程度,盒子可以更好地逼近分形體.但是,當(dāng)尺度進(jìn)一步小到一定程度之后,就會(huì)達(dá)到分辨率的極限.實(shí)際上,嚴(yán)格意義上的分形體僅存于數(shù)學(xué)世界,即使在數(shù)字化環(huán)境下采用計(jì)算機(jī)生成的分形圖形,得到的圖形分辨率也是有限的.因此,當(dāng)尺度小到一定程度之后,就會(huì)達(dá)到分辨率的極限.所以,盒子尺寸不應(yīng)該是無(wú)限小、而應(yīng)該是不大不小.

        1.2 盒子數(shù)量實(shí)際分維估算中,我們總是希望盒子數(shù)量越多越好,這是因?yàn)槿绻凶訑?shù)量太少,級(jí)別不夠,也不利于逼近不同細(xì)節(jié)的分形體.一般來(lái)說(shuō),盒子數(shù)量多一是比較的.但是,根據(jù)我們的大量實(shí)驗(yàn),如果使用很小的盒子衰減速率(如ε=0.80),盒子數(shù)量必然很多,對(duì)于線(xiàn)狀地物估算的分維值越接近1.0,對(duì)于面狀地物估算的分維值越接近2.0,這與真實(shí)值有很大差異,這常令人困惑的問(wèn)題之一.所以,盒子數(shù)量并不是越多越好,只需要保持適當(dāng)?shù)臄?shù)量即可.

        如果采用算術(shù)遞減方式,在實(shí)際計(jì)算中,很難把握盒子大小和盒子數(shù)量.相對(duì)而言,指數(shù)遞減方式可以使盒子比較快速地變小,盒子數(shù)目與盒子大小的乘積能比較快速逼近測(cè)量對(duì)象的某個(gè)測(cè)度(長(zhǎng)度、面積或者體積),容易捕捉分形體可能存在的等級(jí)體系遞階結(jié)構(gòu)特征.實(shí)際上,在分維估算過(guò)程中,既可以采用指數(shù)遞減測(cè)度,也可以采用算術(shù)遞減測(cè)度.但是,在絕大多少情況下,算術(shù)遞減尺度并不優(yōu)于指數(shù)遞減尺度[7].也即,測(cè)度的盒子最好采用指數(shù)方式遞減.

        表1 盒子大小與盒子數(shù)量關(guān)系(Koch曲線(xiàn))

        3)對(duì)于自然圖形,建議采用遞減速率:ε=0.75或ε=0.80.因?yàn)闊o(wú)法判斷自然圖形分形體結(jié)構(gòu),我們不清楚采用何種遞減速率可以更好地逼近分形體,所以建議采用遞減速率:ε=0.75或ε=0.80,這種遞減速率可以使盒子的慢慢遞減,更容易逼近自然圖形的不同細(xì)節(jié),分維估算效果更好.

        1.5 標(biāo)度區(qū)判斷方法標(biāo)度區(qū)識(shí)別是一個(gè)十分關(guān)鍵的問(wèn)題.分形是一種分布廣泛的具有標(biāo)度性質(zhì)的現(xiàn)象.測(cè)量尺度與相應(yīng)測(cè)度的冪律關(guān)系通常僅在一定尺度范圍內(nèi)有效,從而形成所謂標(biāo)度區(qū).也就是說(shuō),雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上不是一條直線(xiàn),而是兩條以上的直線(xiàn)段[7].但是,如何判斷標(biāo)度區(qū),我們尚缺乏可操作的實(shí)用方法,這里我們提出一種標(biāo)度區(qū)判斷的新方法.

        根據(jù)不同尺度下覆蓋目標(biāo)的總長(zhǎng)度(或總面積)曲線(xiàn),通過(guò)目視判別方式就可以看出:當(dāng)盒子太大,總長(zhǎng)度(或總面積)波動(dòng)很明顯時(shí),就需要剔除前面這些對(duì)數(shù)點(diǎn)對(duì);當(dāng)盒子變小,總長(zhǎng)度(或總面積)基本上不隨盒子變小而發(fā)生變化時(shí),就需要不選取后面這些對(duì)數(shù)點(diǎn)對(duì).也就是說(shuō),僅僅保留中間的對(duì)數(shù)點(diǎn)對(duì).具體來(lái)說(shuō):

        ①若目標(biāo)圖形為線(xiàn)型,則沿橫軸方向,將每相鄰兩點(diǎn)構(gòu)成的直線(xiàn),直線(xiàn)的斜率大于零且后續(xù)不存在斜率小于零的第一個(gè)點(diǎn)作為最大盒子,或者直線(xiàn)的斜率小于零且后續(xù)不存在斜率大于零的第一個(gè)點(diǎn)作為最大盒子,直線(xiàn)的斜率近似于零的最后一個(gè)點(diǎn)作為最小盒子,從而得到分維估算的合理尺寸的盒子組.

        ②若目標(biāo)圖形為面型,則沿橫軸方向,將每相鄰兩點(diǎn)構(gòu)成的直線(xiàn),直線(xiàn)的斜率小于零且后續(xù)不存在斜率大于零的第一個(gè)點(diǎn)作為最大盒子,或者直線(xiàn)的斜率大于零且后續(xù)不存在斜率小于零的第一個(gè)點(diǎn)作為最大盒子,直線(xiàn)的斜率近似于零的最后一個(gè)點(diǎn)作為最小盒子,從而得到分維估算的合理尺寸的盒子組.

        2 計(jì)盒維數(shù)估算新方法驗(yàn)證

        由于3種嚴(yán)格分形體(Koch曲線(xiàn)、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形)有確切的分維理論值,下面就以這3種標(biāo)準(zhǔn)分形體為研究對(duì)象,驗(yàn)證本文中提出的建議和相關(guān)方法的實(shí)驗(yàn)效果.

        2.1 Koch曲線(xiàn)、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形Koch曲線(xiàn)是1904年瑞典數(shù)學(xué)家Koch構(gòu)造的幾何圖形.Koch曲線(xiàn)的生成過(guò)程:第一步,給定一個(gè)初始圖形為一條線(xiàn)段;第二步,將這條線(xiàn)段中間的1/3處向外折起;第三步,按照第二步的方法不斷的把各段線(xiàn)段中間的1/3處向外折起.如此循環(huán)下去最終即可構(gòu)造出Koch曲線(xiàn)(圖1).

        圖1 Koch 曲線(xiàn)

        Sierpinski三角形是由波蘭數(shù)學(xué)家Sierpinski在1915年提出.先作一個(gè)正三角形,挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”,如此循環(huán)下去就得到高級(jí)Sierpinski三角形墊片(圖2).

        圖2 Sierpinski三角形墊片

        Vicsek分形體是1983年由英國(guó)數(shù)學(xué)家Vicsek提出的,第1級(jí)Vicsek分形由5個(gè)同種小正方形的組成,其配置方式是一個(gè)小正方形在正方形的中心,4個(gè)小正方形分別在正方形的4個(gè)角上;第2級(jí)的Vicsek分形由5個(gè)第1級(jí)Vicsek分形組成,其配置方式與第1級(jí)Vicsek分形相同,重復(fù)構(gòu)造下去,可以得到所有高級(jí)的Vicsek分形(圖3).

        2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以Koch曲線(xiàn)、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形3種標(biāo)準(zhǔn)分形為研究對(duì)象,對(duì)本文中的方法進(jìn)行驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2.

        表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(加黑數(shù)據(jù)為有效點(diǎn)對(duì))

        圖3 Vicsek分形

        2.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析當(dāng)所有點(diǎn)對(duì)參與分維估算時(shí),估算的分維值與理論值差異較大(圖4、表3);根據(jù)本文中提出的點(diǎn)對(duì)剔除方法,當(dāng)僅有有效點(diǎn)對(duì)參與分維估算時(shí),估算的分維值則非常接近分維理論值(圖6、表3).這是因?yàn)?,一方面,測(cè)量的前幾步由于尺度太大,測(cè)量體與分形體吻合不好,測(cè)量尺度與相應(yīng)測(cè)度的標(biāo)度關(guān)系不能很好地反映分維數(shù)值;另一方面,當(dāng)測(cè)量的尺度足夠小時(shí),就會(huì)達(dá)到分辨率的極限,或者超越分形最小單元的界限,從而尺度與相應(yīng)測(cè)度的標(biāo)度關(guān)系失效.

        圖4 分維(所有點(diǎn)對(duì)參與估算)(左:Koch曲線(xiàn),中:Sierpinski三角形墊片,右:Vicsek分形)

        圖5 不同盒子測(cè)度下估算的總長(zhǎng)度或總面積(左:Koch曲線(xiàn),中:Sierpinski三角形墊片,右:Vicsek分形)(紅色點(diǎn)為有效點(diǎn)對(duì))

        圖6 分維(有效點(diǎn)對(duì)參與估算)(左:Koch曲線(xiàn),中:Sierpinski三角形墊片,右:Vicsek分形)

        表3 3種標(biāo)準(zhǔn)分形體的理論和估算分維值

        3 結(jié)論和討論

        按照上述方法,標(biāo)度區(qū)的判斷結(jié)果大同小異.實(shí)際上,將標(biāo)度區(qū)少算幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)原則上不會(huì)顯著影響分維估算結(jié)果.或許準(zhǔn)確的分維值很難找到,實(shí)際上單獨(dú)一個(gè)分維數(shù)值或許沒(méi)有太多的信息,使用同樣方法得到的多個(gè)分維值比較才更有意義[7].

        計(jì)盒維數(shù)揭示了研究對(duì)象的空間復(fù)雜程度、細(xì)節(jié)多少,或者反映出對(duì)平面空間的填充度能力、存在空隙多少等.當(dāng)D=2.0時(shí),所選范圍所有的空隙全部填滿(mǎn),研究目標(biāo)為歐氏幾何圖形;當(dāng)D=0.0時(shí),研究目標(biāo)集聚成一點(diǎn).以城市形態(tài)為例,在二維空間中,分維通常圍繞D=1.7變化,而D大于1.9和小于1.4的城市形態(tài)比較罕見(jiàn)[7,12].

        任何一個(gè)圖形都存在一個(gè)空間維數(shù)(整數(shù)維、分?jǐn)?shù)維).把一個(gè)復(fù)雜圖形采用一個(gè)數(shù)據(jù)(分維)來(lái)表示,是一個(gè)降維問(wèn)題,一定存在信息丟失,所以存在“異物同維、同維異物”現(xiàn)象.

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