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        一種計盒維數(shù)估算的新方法

        2020-06-18 03:33:26王曉燕陳志杰姜友華唐文瀾薄乾禎
        湖北大學學報(自然科學版) 2020年3期
        關鍵詞:分維標度墊片

        王曉燕,陳志杰,姜友華,唐文瀾,薄乾禎

        (1.湖北大學資源環(huán)境學院,湖北省農(nóng)業(yè)遙感應用工程技術研究中心,湖北 武漢 430062;2.武漢大學土木建筑工程學院,湖北 武漢 430072)

        0 引言

        所謂分形(Fractal),原意為破碎和不規(guī)則,用以指那些與整體以某種方式相似的部分構(gòu)成的一類形體,如海岸線的彎曲、植物的分支、浮云的輪廓、山脊的形態(tài)、晶體的生長和流體的滲透等,其基本特征是自相似性(Self-similarity).分形理論最早由美籍法國科學家B. Mandelbrot創(chuàng)立,該理論用分形維數(shù)(Fractal dimension)(簡稱分維)的概念來度量自然現(xiàn)象的不規(guī)則程度,不僅可以揭示事物內(nèi)部的自仿射或自相似特性,還可以揭示復雜系統(tǒng)的工作原理.經(jīng)過近30年的發(fā)展,已經(jīng)被廣泛地應用于各種社會科學和自然科學領域[1].分形維數(shù)是刻畫目標分形特征的一個重要參數(shù),其定義有很多,而且對同一物體以不同方式定義或側(cè)重面不同,其分形維數(shù)也各不相同[2].常用的分維有Hausdorff維數(shù)、計盒維數(shù)、相似維數(shù)、信息維數(shù)和關聯(lián)維數(shù)等,其中計盒維數(shù)又是一種使用最為廣泛的維數(shù)之一.如計盒維數(shù)可用于分析生態(tài)學中植物群落分布格局特征及其尺度變化特征[3],也可以反映自然界中水系的空間分布特征和內(nèi)部結(jié)構(gòu)[4];在云霧遙感監(jiān)測中,采用計盒維數(shù)法與其他方法結(jié)合起來進行云霧的識別和分離[5];此外,計盒維數(shù)在圖像特征、聲波信號分形特征提取等方面也有廣泛的應用[1,6].然而,在計盒維數(shù)的實際估算中,還有一些問題是廣大學者十分關心和感到困惑的.正如陳彥光指出,許多基本問題尚未解決,這些問題包括:測量尺度問題、標度區(qū)的識別問題和統(tǒng)計分析標準的確定問題等[7].總體來說,目前的情況仍然是,在計盒維數(shù)估算中,尚缺乏一種可操作的實用方法.

        由于數(shù)學上標準分形體都有確切的理論分維值[8-9],本文中采用3種標準的兩維分形體(Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形)為實驗對象,揭示盒子大小、盒子數(shù)量、盒子遞減方式、盒子遞減速率和標度區(qū)判斷等對計盒維數(shù)估算的影響,并在此基礎上提出相應的建議和解決問題的具體方法,這為計盒維數(shù)的準確和快速估算提供理論依據(jù).

        1 計盒維數(shù)估算中涉及的若干問題

        計盒維數(shù)(box dimension)概念比較清晰,計算相對簡單,并且對于是否具有自相似特性的圖像均適用,是分形分析中較為直觀實用且使用最廣泛的一種.實際應用中可形象地理解為,在集合F中(可以是線、面或體),構(gòu)造一些邊長為r的正方形(體)(或稱為盒子)去覆蓋集合,計算不同r值的“盒子”和F相交的個數(shù)N(r),由N(r)與r在雙對數(shù)坐標系中直線的斜率值可求得計盒維數(shù)D.D是傳統(tǒng)意義上尺度為r的計盒維數(shù),用以表征相同形狀的小集合覆蓋一個集合的效率.

        logN(r)=-Dlog(r)+C

        (1)

        在計盒維數(shù)的實際估算中,盒子大小、盒子數(shù)量、盒子遞減方式、盒子遞減速率以及標度區(qū)識別等是我們經(jīng)常碰到的棘手問題.

        計盒維數(shù)的估算中,當盒子尺度太大時,盒子不能很好刻畫分形體,從而使分維估算效果不佳;當盒子尺度小到一定程度,盒子可以更好地逼近分形體.但是,當尺度進一步小到一定程度之后,就會達到分辨率的極限.實際上,嚴格意義上的分形體僅存于數(shù)學世界,即使在數(shù)字化環(huán)境下采用計算機生成的分形圖形,得到的圖形分辨率也是有限的.因此,當尺度小到一定程度之后,就會達到分辨率的極限.所以,盒子尺寸不應該是無限小、而應該是不大不小.

        1.2 盒子數(shù)量實際分維估算中,我們總是希望盒子數(shù)量越多越好,這是因為如果盒子數(shù)量太少,級別不夠,也不利于逼近不同細節(jié)的分形體.一般來說,盒子數(shù)量多一是比較的.但是,根據(jù)我們的大量實驗,如果使用很小的盒子衰減速率(如ε=0.80),盒子數(shù)量必然很多,對于線狀地物估算的分維值越接近1.0,對于面狀地物估算的分維值越接近2.0,這與真實值有很大差異,這常令人困惑的問題之一.所以,盒子數(shù)量并不是越多越好,只需要保持適當?shù)臄?shù)量即可.

        如果采用算術遞減方式,在實際計算中,很難把握盒子大小和盒子數(shù)量.相對而言,指數(shù)遞減方式可以使盒子比較快速地變小,盒子數(shù)目與盒子大小的乘積能比較快速逼近測量對象的某個測度(長度、面積或者體積),容易捕捉分形體可能存在的等級體系遞階結(jié)構(gòu)特征.實際上,在分維估算過程中,既可以采用指數(shù)遞減測度,也可以采用算術遞減測度.但是,在絕大多少情況下,算術遞減尺度并不優(yōu)于指數(shù)遞減尺度[7].也即,測度的盒子最好采用指數(shù)方式遞減.

        表1 盒子大小與盒子數(shù)量關系(Koch曲線)

        3)對于自然圖形,建議采用遞減速率:ε=0.75或ε=0.80.因為無法判斷自然圖形分形體結(jié)構(gòu),我們不清楚采用何種遞減速率可以更好地逼近分形體,所以建議采用遞減速率:ε=0.75或ε=0.80,這種遞減速率可以使盒子的慢慢遞減,更容易逼近自然圖形的不同細節(jié),分維估算效果更好.

        1.5 標度區(qū)判斷方法標度區(qū)識別是一個十分關鍵的問題.分形是一種分布廣泛的具有標度性質(zhì)的現(xiàn)象.測量尺度與相應測度的冪律關系通常僅在一定尺度范圍內(nèi)有效,從而形成所謂標度區(qū).也就是說,雙對數(shù)坐標上不是一條直線,而是兩條以上的直線段[7].但是,如何判斷標度區(qū),我們尚缺乏可操作的實用方法,這里我們提出一種標度區(qū)判斷的新方法.

        根據(jù)不同尺度下覆蓋目標的總長度(或總面積)曲線,通過目視判別方式就可以看出:當盒子太大,總長度(或總面積)波動很明顯時,就需要剔除前面這些對數(shù)點對;當盒子變小,總長度(或總面積)基本上不隨盒子變小而發(fā)生變化時,就需要不選取后面這些對數(shù)點對.也就是說,僅僅保留中間的對數(shù)點對.具體來說:

        ①若目標圖形為線型,則沿橫軸方向,將每相鄰兩點構(gòu)成的直線,直線的斜率大于零且后續(xù)不存在斜率小于零的第一個點作為最大盒子,或者直線的斜率小于零且后續(xù)不存在斜率大于零的第一個點作為最大盒子,直線的斜率近似于零的最后一個點作為最小盒子,從而得到分維估算的合理尺寸的盒子組.

        ②若目標圖形為面型,則沿橫軸方向,將每相鄰兩點構(gòu)成的直線,直線的斜率小于零且后續(xù)不存在斜率大于零的第一個點作為最大盒子,或者直線的斜率大于零且后續(xù)不存在斜率小于零的第一個點作為最大盒子,直線的斜率近似于零的最后一個點作為最小盒子,從而得到分維估算的合理尺寸的盒子組.

        2 計盒維數(shù)估算新方法驗證

        由于3種嚴格分形體(Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形)有確切的分維理論值,下面就以這3種標準分形體為研究對象,驗證本文中提出的建議和相關方法的實驗效果.

        2.1 Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形Koch曲線是1904年瑞典數(shù)學家Koch構(gòu)造的幾何圖形.Koch曲線的生成過程:第一步,給定一個初始圖形為一條線段;第二步,將這條線段中間的1/3處向外折起;第三步,按照第二步的方法不斷的把各段線段中間的1/3處向外折起.如此循環(huán)下去最終即可構(gòu)造出Koch曲線(圖1).

        圖1 Koch 曲線

        Sierpinski三角形是由波蘭數(shù)學家Sierpinski在1915年提出.先作一個正三角形,挖去一個“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”,如此循環(huán)下去就得到高級Sierpinski三角形墊片(圖2).

        圖2 Sierpinski三角形墊片

        Vicsek分形體是1983年由英國數(shù)學家Vicsek提出的,第1級Vicsek分形由5個同種小正方形的組成,其配置方式是一個小正方形在正方形的中心,4個小正方形分別在正方形的4個角上;第2級的Vicsek分形由5個第1級Vicsek分形組成,其配置方式與第1級Vicsek分形相同,重復構(gòu)造下去,可以得到所有高級的Vicsek分形(圖3).

        2.2 實驗數(shù)據(jù)以Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形3種標準分形為研究對象,對本文中的方法進行驗證,實驗數(shù)據(jù)如表2.

        表2 實驗數(shù)據(jù)(加黑數(shù)據(jù)為有效點對)

        圖3 Vicsek分形

        2.3 實驗數(shù)據(jù)分析當所有點對參與分維估算時,估算的分維值與理論值差異較大(圖4、表3);根據(jù)本文中提出的點對剔除方法,當僅有有效點對參與分維估算時,估算的分維值則非常接近分維理論值(圖6、表3).這是因為,一方面,測量的前幾步由于尺度太大,測量體與分形體吻合不好,測量尺度與相應測度的標度關系不能很好地反映分維數(shù)值;另一方面,當測量的尺度足夠小時,就會達到分辨率的極限,或者超越分形最小單元的界限,從而尺度與相應測度的標度關系失效.

        圖4 分維(所有點對參與估算)(左:Koch曲線,中:Sierpinski三角形墊片,右:Vicsek分形)

        圖5 不同盒子測度下估算的總長度或總面積(左:Koch曲線,中:Sierpinski三角形墊片,右:Vicsek分形)(紅色點為有效點對)

        圖6 分維(有效點對參與估算)(左:Koch曲線,中:Sierpinski三角形墊片,右:Vicsek分形)

        表3 3種標準分形體的理論和估算分維值

        3 結(jié)論和討論

        按照上述方法,標度區(qū)的判斷結(jié)果大同小異.實際上,將標度區(qū)少算幾個觀測點原則上不會顯著影響分維估算結(jié)果.或許準確的分維值很難找到,實際上單獨一個分維數(shù)值或許沒有太多的信息,使用同樣方法得到的多個分維值比較才更有意義[7].

        計盒維數(shù)揭示了研究對象的空間復雜程度、細節(jié)多少,或者反映出對平面空間的填充度能力、存在空隙多少等.當D=2.0時,所選范圍所有的空隙全部填滿,研究目標為歐氏幾何圖形;當D=0.0時,研究目標集聚成一點.以城市形態(tài)為例,在二維空間中,分維通常圍繞D=1.7變化,而D大于1.9和小于1.4的城市形態(tài)比較罕見[7,12].

        任何一個圖形都存在一個空間維數(shù)(整數(shù)維、分數(shù)維).把一個復雜圖形采用一個數(shù)據(jù)(分維)來表示,是一個降維問題,一定存在信息丟失,所以存在“異物同維、同維異物”現(xiàn)象.

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