王斌儒 甘肅有色冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑與信息工程系

模型化思想產(chǎn)生于中國古人的社會實踐之中，體現(xiàn)著中國古代的生產(chǎn)方式、生活方式和思維方式的特點(diǎn)。在中國古代數(shù)學(xué)典籍中蘊(yùn)涵著中國古代數(shù)學(xué)模型化思想的發(fā)展歷程。

1 九章算術(shù)的概況

1.1 《九章算術(shù)》的起源與基本內(nèi)容概說

秦漢時期，中國古代的科學(xué)體系和教育體系才逐漸形成，數(shù)學(xué)表達(dá)逐漸體系化。《算數(shù)書》和《周髀算經(jīng)》對數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)產(chǎn)生了重大影響。大約在這個時期，《九章算術(shù)》成書，關(guān)于具體時間以及著者等問題，長期以來莫衷一是。李迪指出《九章算術(shù)》是劉徽所著?，F(xiàn)在我們所說的《九章算術(shù)》即是劉徽的版本。

劉徽的《九章算術(shù)》，全書一共包括九個部分，分別為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股。前面六章分別是數(shù)學(xué)在社會生活的不同領(lǐng)域中的應(yīng)用，后面三章提供了可用于各個領(lǐng)域的三種常用數(shù)學(xué)模型，每章都通過具體問題來表明這種應(yīng)用?！毒耪滤阈g(shù)》中九章的內(nèi)容詳情見表1。

表1 《九章算術(shù)》九章的內(nèi)容

《九章算術(shù)》作為中國最早給出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的著作，為實際生產(chǎn)生活中的問題提供了新的方法和思路?！毒耪滤阈g(shù)》明確地以應(yīng)用為目的，解決人們?nèi)粘Ｉ?、生產(chǎn)實踐的諸多問題，數(shù)學(xué)模型化思想滲透其中，密切聯(lián)系實際，將現(xiàn)實生活中的一般現(xiàn)象概括為數(shù)學(xué)問題加以解決。

1.2 《九章算術(shù)》的歷史地位

《九章算術(shù)》是古代最重要的數(shù)學(xué)典籍之一，歷史上多次作為朝廷頒定的首選數(shù)學(xué)教科書使用，對中國古代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展起了巨大的作用，是中國古代數(shù)學(xué)從漢代直到元代前期一直處于世界數(shù)學(xué)的前列的基礎(chǔ)。

2 《九章算術(shù)》的模型化思想

數(shù)學(xué)模型是為了解決現(xiàn)實世界問題而建立的，數(shù)學(xué)模型是人們認(rèn)識原型的方式之一。結(jié)合方程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題是包含了一個或多個數(shù)量關(guān)系的具體情節(jié)或事件，解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的過程就是從情節(jié)中抽象并理順數(shù)量關(guān)系的過程，方程是有效地表達(dá)、處理、交流和傳遞信息的工具，是反映客觀事物數(shù)量變化規(guī)律的一種模型。數(shù)學(xué)應(yīng)用問題可以以方程為途徑，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決，在這種情況下所構(gòu)建的就是方程模型。

《九章算術(shù)》做了許多屬于建立和使用數(shù)學(xué)模型的工作。它的“九章”內(nèi)至少有三章——盈不足、方程、勾股——提供的就是基本的數(shù)學(xué)模型。下面主要以“方程模型”為例闡述《九章算術(shù)》的模型化思想。

2.1 九章算術(shù)》中的“方程模型”

《九章算術(shù)》中的“方程”，實際是線性方程組?！胺匠绦g(shù)”解線性方程組的方法是世界上最早的完整的線性方程組解法。現(xiàn)今矩陣變換中的一些性質(zhì)：對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換不改變方程組的解，對矩陣施行初等變換不改變矩陣的秩等，在方程術(shù)及劉徽注中都有其理論依據(jù)。

劉徽對“方程”的注釋為：“程，課程也.群物總雜，各列有數(shù)，總言其實，令每行為率.二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程.行之左右無所同存，且為有所據(jù)而耳.”這段文字是劉徽對“方程”概念的精辟解說。在《九章算術(shù)》第八章方程中共計18 個題，二元的8 題，三元的6 題，四元、五元的各2 題。在題中涉及方程的矩陣表示和直除法消元每一題都是借助于算籌進(jìn)行“遍乘直除”。所謂“遍乘”就是用常數(shù)乘某一行中各數(shù)；所謂“直除”就是要消去乙行某未知數(shù)系數(shù)，使用甲行同一未知數(shù)的系數(shù)乘乙行所有的數(shù)，然后用甲行一次次對減乙行，直至乙行該系數(shù)為零。其實這里的“遍乘直除”基本想法和后面的矩陣解線性方程組想法是一致的。

“遍乘直除”法是把此“方程”前三行轉(zhuǎn)化成只有反對角線上有非零元，從而求得解答。如果將方程組系數(shù)的方陣橫著寫，就是現(xiàn)行教材中線性方程組系數(shù)的增廣矩陣，籌算過程就是現(xiàn)行矩陣的行初等變換。然而由于當(dāng)時籌算過程的程式化與機(jī)械化，需要多次反復(fù)的演算，使得籌算過程相當(dāng)繁瑣，并且又由于受到直除是以少行減多行的限制，常常使變換無法施行。但正是基于這種程序化的演算，才出現(xiàn)了小數(shù)“直除”大數(shù)的情形，從而促進(jìn)了負(fù)數(shù)的產(chǎn)生和正負(fù)數(shù)加減法法則的形成，隨之變換過程得以施行且越來越簡捷。

2.2 《九章算術(shù)》中“方程模型”理論的意義

以特定的數(shù)學(xué)模式代替各種數(shù)學(xué)關(guān)系的分析，這種思想與方法在我國古代數(shù)學(xué)中有著非常深遠(yuǎn)的影響?！胺匠獭边@一數(shù)學(xué)模型，便是這一思想發(fā)展的產(chǎn)物 ?！胺匠绦g(shù)”以及由此所進(jìn)一步發(fā)展的演算程序化，使我國古代解方程組法達(dá)到了相當(dāng)完善的領(lǐng)先水平。

在對“方程”施行直除變換時，要求是以少行減多行，而這個限制常常使得方程術(shù)無法暢行。正是由于這種“并減之勢不得廣通”，與“方程”解答程序相矛盾，導(dǎo)致了正、負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，從而又推動了方程術(shù)的發(fā)展和完善。《九章算術(shù)》中正負(fù)術(shù)曰：“同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之?！鼻耙话虢o出了正、負(fù)數(shù)的“減法法則”，后一半給出了正、負(fù)數(shù)的“加法法則”。

《九章算術(shù)》關(guān)于負(fù)數(shù)的記錄在世界上也是首創(chuàng)的，因為在外國，印度在七世紀(jì)、歐洲人在十三世紀(jì)才開始認(rèn)識負(fù)數(shù)。

3 總結(jié)與反思

本文通過對《九章算術(shù)》中模型化思想的研究，重點(diǎn)分析了卷第八方程中的數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用，從《九章算術(shù)》可以看得出，中國數(shù)學(xué)文化起源于人的實際需要，比如丈量土地、測量容積等。它以社會生活與生產(chǎn)實際為研究對象，以解決實際問題為目標(biāo)，圍繞建立算法與提高計算技術(shù)而展開，強(qiáng)調(diào)在觀察、實驗基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、歸納得出結(jié)果，寓理于算，把數(shù)學(xué)建立在實際直觀模型的基礎(chǔ)上。在九個章節(jié)中后三個是數(shù)學(xué)模型，本文挑選出方程模型作為例子，是因為方程定理是中國幾何的根源.由此看來，劉徽定義的“方程”相當(dāng)于現(xiàn)在的方程組。由于本人精力和水平的有限，對分類的認(rèn)識可能不夠到位，匯總也不能十分完全，而且對于“盈不足”模型和“勾股”模型并沒有具體分析，這些還可以作進(jìn)一步的改進(jìn)。