康文苗

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

三階微分方程起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的各種不同領(lǐng)域中,例如,帶有固定或變化橫截面的屈曲梁的撓度、三層梁、電磁波、地球引力吹積的漲潮等[1],因此,對(duì)于其正解的理論研究在實(shí)際問題中就顯得格外重要。近年來,關(guān)于三階微分方程邊值問題的研究已經(jīng)有了很多的成果[2-9]。

Li[10]運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論證明了四階周期邊值問題

(1)

正解的存在性,其中:f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞));α,β∈R且滿足0<α<(β/2+2π2)2,β>-2π2;α/π4+β/π2+1>0。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),我們的主要目的是研究三階周期邊值問題

(2)

正解的存在性,其中:f∈C([0,2π]×[0,+∞),[0,+∞));a,b,c∈R且滿足

(3)

為方便起見,我們引入以下記號(hào):

研究的主要結(jié)果如下:

定理1設(shè)f∈C([0,2π]×[0,+∞),[0,+∞)),且式(3)成立,則在下列每一種情形下:

周期邊值問題(2)至少有一個(gè)正解。

從定理1中我們能得到以下推論:

推論1設(shè)f∈C([0,2π]×[0,+∞),[0,+∞)),且式(3)成立,則在下列每一種情形下:

周期邊值問題(2)有一個(gè)正解。

注記1注意到-a(b2+c2)是線性特征值問題

的一個(gè)特征值,如果定理1的(ⅰ)或(ⅱ)中的一個(gè)不等式不成立,那么將不能保證周期邊值問題(2)解的存在性。

1 預(yù)備引理

我們考慮一般的線性邊值問題

其中:n≥2;ai,μ∈R;h∈C[0,2π]。我們有以下的引理[11]:

引理1若線性邊值問題

(5)

有唯一解rn(t)∈C∞[0,2π],則線性問題(4)有唯一解u∈Cn[0,2π],它的表達(dá)式為

其中:

引理2設(shè)a,b,c∈R且a≠0,b≠0,c≠0,則三階線性問題

(6)

的唯一解為

t∈[0,2π]

其中:

p=(e2πb-1)2+2e2πb(1-cos(2πc))。

證明由于三階線性問題(6)中微分方程的特征根為a和b±ic,則線性問題(6)的通解為

r3(t)=c1eat+c2ebtcos(ct)+c3ebtsin(ct),

t∈[0,2π]

經(jīng)過計(jì)算得

通過化簡整理可得到r3(t)的表達(dá)式。

引理3設(shè)a,b,c∈R且式(3)成立,則對(duì)任意的t∈[0,2π],r3(t)>0。

1-e2πa>0,a-b<0,p>0,

經(jīng)過簡單的推導(dǎo)得

e2πbsin(c(2π-t))+sin(ct)<0,

cos(ct)-e2πbcos(c(2π-t))<0,t∈[0,2π]

所以,對(duì)任意的t∈[0,2π],r3(t)>0。

假設(shè)式(3)在文章的剩余部分都成立,由引理3可得,對(duì)任意的t∈[0,2π],有r3(t)>0。令m=mint∈[0,2π]r3(t),M=maxt∈[0,2π]r3(t),則對(duì)任意的t∈[0,2π],有0

m≤G3(t,s)≤M,t,s∈[0,2π]。

(7)

令h∈C[0,2π]。由引理1,線性周期邊值問題

有唯一解u,它的表達(dá)式為

現(xiàn)在我們定義一個(gè)算子A:C+[0,2π]→C+[0,2π]為

(8)

其中:C+[0,2π]是C[0,2π]中所有非負(fù)函數(shù)構(gòu)成的錐,則周期邊值問題(2)的解等價(jià)于A的不動(dòng)點(diǎn),我們將運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論找到A的非零不動(dòng)點(diǎn)。選擇C+[0,2π]中的子錐

K={u∈C+[0,2π]|u(t)≥σ‖u‖,0≤t≤2π},

其中:σ=m/M>0,‖u‖是C+[0,2π]中的最大范數(shù),則我們有以下引理:

引理4A(K)?K且A:K→K是全連續(xù)的。

證明設(shè)u∈K,由式(7)后面的不等式可得

因此

再由式(7)前面的不等式得

這表明Au∈K,因此A(K)?K。A的全連續(xù)性是顯然的。

對(duì)r>0,令Kr={u∈K|‖u‖

引理5設(shè)A:K→K是全連續(xù)算子,若對(duì)任意的u∈?Kr和0<μ≤1,有μAu≠u,則i(A,Kr,K)=1。

引理6設(shè)A:K→K是全連續(xù)算子,若滿足以下2個(gè)條件:

(ⅰ) infu∈?Kr‖Au‖>0;

(ⅱ) 對(duì)任意的u∈?Kr和μ≥1,有μAu≠u,則i(A,Kr,K)=0。

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明由引理4和K的定義得,式(8)定義的算子A的非零不動(dòng)點(diǎn)是周期邊值問題(2)的正解,我們分2種情況證明A有一個(gè)非零不動(dòng)點(diǎn)。

f(t,u)≤[-a(b2+c2)-ε]u,?t∈[0,2π],

0≤u≤r0。

(9)

令r∈(0,r0),要證明對(duì)任意的u∈?Kr和0<μ≤1,有μAu≠u,用反證法,即存在u0∈?Kr和0<μ0≤1,使得μ0Au0=u0,則由A的定義得u0(t)滿足微分方程

u?0(t)-(a+2b)u″0(t)+(b2+c2+2ab)u0′(t)-

a(b2+c2)u0(t)=μ0f(t,u0(t)),

t∈[0,2π]

(10)

和邊界條件,對(duì)方程從0到2π上積分,并且利用u0(t)的周期性和式(9),可得

i(A,Kr,K)=1。

(11)

f(t,u)≥[-a(b2+c2)+ε]u,?t∈[0,2π],

u≥H。

(12)

令

C=max0≤t≤2π,0≤u≤H|f(t,u)-

[-a(b2+c2)+ε]u|+1,

則可得

f(t,u)≥[-a(b2+c2)+ε]u-C,

?t∈[0,2π],u≥0。

(13)

取R>R0∶=max{H/σ,r0},設(shè)u∈?KR。由于對(duì)s∈[0,2π],有u(s)≥σ‖u‖>H,結(jié)合式(7)、式(12)和K的定義可得

2πm[-a(b2+c2)+ε]σ‖u‖,

即

‖Au‖≥2πm[-a(b2+c2)+ε]σ‖u‖。

(14)

因此infu∈?KR‖Au‖>0,即引理6的(ⅰ)成立。下面證明若R足夠大,則對(duì)任意的u∈?KR和μ≥1,有μAu≠u,用反證法,即存在u0∈?KR和μ0≥1,使得μ0Au0=u0,則u0(t)滿足微分方程(10)和邊界條件,對(duì)方程(10)從0到2π上積分得

因此

(15)

(16)

i(A,KR,K)=0。

(17)

再由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性、式(11)和式(17)可得

i(A,Kr,K)=-1。

f(t,u)≥[-a(b2+c2)+ε]u,

?t∈[0,2π],0≤u≤η。

(18)

令r∈(0,η),則對(duì)任意的u∈?Kr,由式(14)得infu∈?Kr‖Au‖>0,即引理6的條件(ⅰ)成立。下面證明對(duì)任意的u∈?Kr和μ≥1,有μAu≠u,用反證法,即存在u0∈?Kr和μ0≥1,使得μ0Au0=u0,則u0(t)滿足微分方程(10)和邊界條件,由式(10)和式(18)可得

i(A,Kr,K)=0。

(19)

f(t,u)≤[-a(b2+c2)-ε]u,?t∈[0,2π],u≥H。

令

C=max0≤t≤2π,0≤u≤H|f(t,u)-

[-a(b2+c2)-ε]u|+1,

則可得

f(t,u)≤[-a(b2+c2)-ε]u+C,

?t∈[0,2π],u≥0。

(20)

要證明對(duì)任意的u∈?KR和0<μ≤1,有μAu≠u,用反證法,即存在u0∈?KR和0<μ0≤1,使得μ0Au0=u0,則u0(t)滿足微分方程(10)和邊界條件,由式(10)和式(20)可得

i(A,KR,K)=1。

(21)

再由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性、式(19)和式(21)得到