崔永正，姜瑞忠，郜益華，喬 欣，王 瓊

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島 266580；2.中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京 100028；3.中國(guó)石油北京油氣調(diào)控中心，北京 100007）

0 引言

在我國(guó)，低滲透油藏具有分布廣，儲(chǔ)量大，開(kāi)發(fā)潛力大等特征［1-2］，低滲透油田的高效開(kāi)發(fā)利用對(duì)確保我國(guó)油氣可持續(xù)發(fā)展具有重要戰(zhàn)略意義。針對(duì)低滲透油田滲透率低，水驅(qū)開(kāi)發(fā)效果差的特點(diǎn)，壓裂井與CO2驅(qū)結(jié)合的開(kāi)發(fā)方式引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注［3-4］。

試井作為了解地下油藏和流體性質(zhì)的重要手段，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)CO2驅(qū)試井解釋數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了大量的研究。Tang 等［5］建立了基本的三區(qū)復(fù)合油藏模型；Su 等［6］、閻燕等［7］、李友全等［8］、蘇玉亮等［9］研究了考慮應(yīng)力敏感的CO2驅(qū)直井的三區(qū)復(fù)合模型，并對(duì)各因素進(jìn)行了敏感性分析；Li 等［10-11］開(kāi)展了基于組分模型的CO2驅(qū)直井及多段井試井研究，對(duì)試井曲線及各組分在地層中的分布情況進(jìn)行了分析；姜瑞忠等［12］建立了基于水平井的CO2驅(qū)三區(qū)復(fù)合試井模型，將典型曲線分為9 個(gè)階段，并對(duì)各因素進(jìn)行了敏感性分析。

壓裂井試井作為近年來(lái)研究的熱點(diǎn)，Teng 等［13］、Guo 等［14］、姬靖皓等［15］、Jia 等［16］針對(duì)壓裂井試井模型進(jìn)行的大量研究都是以恒定裂縫寬度作為假設(shè)，但實(shí)際上支撐裂縫寬度從縫端到縫口逐漸變化，恒定縫寬模型假設(shè)與實(shí)際不符。針對(duì)變導(dǎo)流能力裂縫，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，郭建春等［17］建立了基于楔形縫的壓裂直井產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型，表明楔形縫產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型能夠以更真實(shí)的裂縫形態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)壓后產(chǎn)量；孫賀東等［18］利用混合有限元方法對(duì)變導(dǎo)流能力多級(jí)壓裂水平井現(xiàn)代產(chǎn)量遞減進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)裂縫變導(dǎo)流能力主要對(duì)產(chǎn)量遞減曲線產(chǎn)期產(chǎn)生影響；高陽(yáng)等［19］建立了考慮變導(dǎo)流能力的多級(jí)壓裂水平井試井模型，并提出了變導(dǎo)流能力裂縫的處理方法；Luo 等［20］建立了變導(dǎo)流能力壓裂直井的試井分析模型；Huang 等［21］建立了考慮裂縫部分閉合的壓裂直井試井模型；Liu 等［22］建立了考慮復(fù)雜裂縫形態(tài)及變導(dǎo)流能力的試井模型；Liu 等［23］建立了三層油藏考慮變導(dǎo)流能力壓裂直井的解析解，并進(jìn)行了求解和敏感性分析。綜上所述，目前尚沒(méi)有考慮裂縫空間變導(dǎo)流能力的CO2驅(qū)試井模型。

因此，在前人研究的基礎(chǔ)上，建立低滲透油藏空間變導(dǎo)流垂直裂縫井CO2驅(qū)試井解釋模型，利用Laplace 變換等數(shù)學(xué)方法獲得拉氏空間解析解，利用Stehfest 數(shù)值反演繪制典型特征曲線并進(jìn)行影響因素分析。

1 模型的建立與求解

1.1 物理模型

圖1 CO2 驅(qū)油三區(qū)復(fù)合物理模型Fig.1 Physical modeling of three-zone composite vertical fractured wells for CO2 flooding

根據(jù)CO2驅(qū)油過(guò)程中油藏流體的不同性質(zhì)，基于三區(qū)復(fù)合模型滲流理論，物理模型如圖1 所示。內(nèi)區(qū)充滿CO2，表現(xiàn)為CO2氣相單相滲流，半徑為r1；過(guò)渡區(qū)為在混溶/不混溶條件下CO2與原油的混合區(qū)，半徑為r2；外區(qū)為單相儲(chǔ)層原油區(qū)。該復(fù)合模型的假設(shè)條件包括：①油氣藏中油氣共存；②流體滲流過(guò)程中溫度恒定，且遵循達(dá)西滲流原理；③儲(chǔ)層為水平、均質(zhì)、等厚和無(wú)限大，初始?jí)毫μ幪幭嗟龋虎芰芽p半長(zhǎng)為XF，裂縫的寬度不等，為空間變導(dǎo)流能力；⑤忽略重力與毛管壓力的影響；

1.2 數(shù)學(xué)模型

1.2.1 儲(chǔ)層滲流數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上述三區(qū)復(fù)合模型的假設(shè)，對(duì)各區(qū)質(zhì)量守恒方程和綜合方程進(jìn)行推導(dǎo)。

（1）內(nèi)區(qū)

內(nèi)區(qū)為純CO2區(qū)，為氣相單相滲流，其質(zhì)量守恒方程為

式中：r為油藏半徑，m；k油藏滲透率，mD；Krg為氣相相對(duì)滲透率；μg為氣相有效黏度，Pa·s；ρg為氣相密度，kg/m3；Sg為氣相的飽和度；Φ為孔隙度；p1為CO2區(qū)地層壓力，Pa。

式（1）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

其中：

式中：Cg為氣體壓縮系數(shù)，1/Pa；Vg為氣相體積，m3。

式（2）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

上述方程為非線性方程，引入擬壓力對(duì)上述方程進(jìn)行線性化

式中：p0為參考?jí)毫?，Pa；p2為過(guò)渡區(qū)地層壓力，Pa；p3為原油區(qū)地層壓力，Pa。

引入式（2），對(duì)上式進(jìn)行線性化，得

利用表1 中無(wú)因次量，對(duì)上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行無(wú)因次化，并進(jìn)行Laplace 變換，內(nèi)區(qū)綜合方程為

式中：f1=u；u為L(zhǎng)aplace 變量。

（2）中間區(qū)

中間區(qū)為CO2與原油的混合區(qū)，其質(zhì)量守恒方程為

式中：Kro為油相相對(duì)滲透率；μo為油相有效黏度，Pa·s；ρo為油相密度，kg/m3；So為氣相的飽和度。

利用式（6）中擬壓力對(duì)上式（10）進(jìn)行線性化，利用表1 無(wú)因次量，對(duì)上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行無(wú)因次化，進(jìn)行Laplace 變換，中間區(qū)綜合方程為：

式中：f2=ω12uo。

（3）外區(qū)

外區(qū)為單相原油區(qū)，原油單相流動(dòng)，其質(zhì)量守恒方程為

式中：Soi為原始含油飽和度。

利用式（7）對(duì)式（12）進(jìn)行線性化，利用表1無(wú)因次量，對(duì)上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行無(wú)因次化，進(jìn)行Laplace變換，外區(qū)綜合方程為

式中：f3=ω13u。

（4）邊界條件

外邊界條件為

線源內(nèi)邊界條件為

一區(qū)與二區(qū)交界面條件

二區(qū)與三區(qū)交界面條件

對(duì)式（9）、式（11）、式（13）及邊界條件進(jìn)行聯(lián)立求解，可以得到CO2驅(qū)內(nèi)區(qū)線源所引起的壓力響應(yīng)為

表1 無(wú)因次量Table 1 Definitions of the dimensionless variables

1.2.2 有限導(dǎo)流能力壓裂直井方程

水力裂縫孔隙體積很小，忽略孔隙體積變化的影響，裂縫滲流滿足達(dá)西定律，可得壓裂裂縫中質(zhì)量守恒方程為：

式中：KF為水力裂縫滲透率，mD；pF為水力裂縫壓力，Pa。

由于水力壓裂形成的裂縫寬度解一般較小，故在式對(duì)等式左端第2 項(xiàng)取積分平均處理，從而可得到

式中：wF為裂縫寬度，m。

單位裂縫長(zhǎng)度流量可表示為

式中：h為地層厚度，m；qL為水力裂縫單位長(zhǎng)度流量，kg/（m·s-1）。

從水力裂縫右翼流入井筒的產(chǎn)量為

式中：qF為水力裂縫右翼流入井的產(chǎn)量，kg/s。

對(duì)式（20）、式（21）、式（22）進(jìn)行線性化，利用表1 無(wú)因次量進(jìn)行無(wú)因次化，并進(jìn)行Laplace 變換，可得壓裂直井綜合方程。其中有限導(dǎo)流裂縫內(nèi)流動(dòng)方程：

定產(chǎn)內(nèi)邊條件

裂縫與儲(chǔ)層交界面條件

裂縫根段封閉條件

1.3 數(shù)學(xué)模型求解

對(duì)于壓裂井而言，人工裂縫是油氣的主要流動(dòng)通道，裂縫的物理模型對(duì)計(jì)算結(jié)果有重要影響。在裂縫閉合后，裂縫寬度不是恒定的，靠近裂縫端部的鋪砂濃度較小，靠近井眼部分的裂縫鋪砂濃度較高，最終形成的支撐裂縫寬度從縫端到縫口逐漸變寬，如圖2 所示，裂縫導(dǎo)流能力隨裂縫長(zhǎng)度而減小，假設(shè)計(jì)算公式［18］為

式中：RFD0為縫口處裂縫無(wú)因次導(dǎo)流能力，m3；bs空間變導(dǎo)流能力系數(shù)；xF為水力裂縫半長(zhǎng)，m。

利用高陽(yáng)等［19］提出的方法對(duì)變導(dǎo)流能力裂縫進(jìn)行處理，將無(wú)因次水力裂縫半長(zhǎng)等分成n份，步長(zhǎng)ΔxD，Dj為第j個(gè)裂縫單元格的中點(diǎn)，xDj為第j個(gè)離散端點(diǎn)，如下圖2 所示，當(dāng)離散單元無(wú)限小時(shí)，假設(shè)每個(gè)離散單元內(nèi)流量均勻分布。

圖2 水力裂縫劃分示意圖Fig.2 Schematic of discretization of the hydraulic fracture

從水力裂縫示意圖中，可得裂縫離散單元端點(diǎn)和中點(diǎn)表達(dá)式為

將式（25）帶入式（23）中，可得

對(duì)兩側(cè)同時(shí)進(jìn)行積分，得：

將邊界條件式（24）帶入式（30），化簡(jiǎn)可得

對(duì)式（31）兩側(cè)同時(shí)進(jìn)行積分，得

式（32）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

水力裂縫半長(zhǎng)等分成n份，則第i段裂縫的壓力降為

式（34）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

當(dāng)i=1 時(shí)，對(duì)式（34）進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

當(dāng)i=2 時(shí)，對(duì)式（34）進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

當(dāng)i=3 時(shí)，對(duì)式（34）進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

則第i段裂縫的壓力解為

由式（18）可得，第i段裂縫所產(chǎn)生的壓力相應(yīng)為

裂縫內(nèi)流體總量等于各裂縫段流量之和

聯(lián)合式（39）、式（40）、式（41），可得到n+1 個(gè)線性方程，對(duì)應(yīng)n+1 個(gè)未知數(shù)。對(duì)方程組進(jìn)行求解，利用杜哈美原理考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮因子的影響，得到如下無(wú)因次井底壓力

2 特征曲線分析

根據(jù)上述模型推導(dǎo)，編制程序計(jì)算壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線，繪制有限導(dǎo)流能力裂縫CO2驅(qū)三區(qū)復(fù)合油藏典型試井曲線。相關(guān)參數(shù)及具體流態(tài)劃分如圖3 所示，其典型試井曲線可分為以下9 個(gè)階段：①井筒儲(chǔ)集階段，壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率均為1；②井筒儲(chǔ)集后過(guò)渡階段；③雙線性流階段，此時(shí)地層及水力裂縫都存在線性流，擬壓力曲線及擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線為斜率為“1/4”的平行直線；④地層線性流階段，擬壓力曲線及擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線為斜率為“1/2”的平行直線；⑤第一徑向流，此時(shí)內(nèi)區(qū)以徑向流形式向壓裂裂縫及井內(nèi)流動(dòng)；⑥第一過(guò)渡流，此時(shí)中間區(qū)向內(nèi)區(qū)流動(dòng)，由于中間區(qū)流度小于內(nèi)區(qū)流度，試井曲線出現(xiàn)抬升；⑦第二徑向流，流體在中間區(qū)徑向流動(dòng)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線為一條水平線，其數(shù)值為0.5M12；⑧第二過(guò)渡流，最外區(qū)向中間區(qū)流動(dòng)，由于最外區(qū)流度小于中間區(qū)流度，試井曲線出現(xiàn)抬升；⑨第三徑向流，流體在最外區(qū)徑向流動(dòng)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線為一條水平線，其數(shù)值為0.5M12*M23。

圖3 試井典型曲線Fig.3 Type curve of pressure transient

3 參數(shù)敏感性分析

3.1 裂縫導(dǎo)流能力的影響

裂縫導(dǎo)流能力作為水力裂縫的重要指標(biāo)，由水力裂縫的滲透率及水力裂縫寬度決定，水力壓裂過(guò)程中的壓裂液及支撐劑都會(huì)對(duì)其造成巨大影響。從圖4 可以看出，裂縫導(dǎo)流能力主要對(duì)雙線性流及線性流階段產(chǎn)生影響，裂縫導(dǎo)流能力越大，壓力及壓力導(dǎo)數(shù)越小，雙線性流階段越不明顯，導(dǎo)流能力達(dá)到一定程度，雙線性流消失，試井曲線變?yōu)闊o(wú)限導(dǎo)流能力試井曲線。裂縫導(dǎo)流能力越強(qiáng)，CO2越容易注入，能夠更好地對(duì)低滲透油藏進(jìn)行開(kāi)發(fā)。

圖4 裂縫導(dǎo)流能力對(duì)試井曲線的影響Fig.4 Effect of fracture conductivity on pressure transient type curve

3.2 空間變導(dǎo)流的影響

裂縫導(dǎo)流能力受施工影響，裂縫一般為楔形縫，裂縫導(dǎo)流能力隨裂縫的延伸而減小。本文設(shè)置空間變導(dǎo)流能力系數(shù)bs為0，0.8，1.0 等3 組數(shù)據(jù)，裂縫空間導(dǎo)流能力分布如圖5 所示。考慮裂縫導(dǎo)流能力變化后，從如圖6 可以看出，早期壓差增大，壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都都呈現(xiàn)一定的上升，表現(xiàn)出表皮系數(shù)增大的現(xiàn)象。不考慮裂縫導(dǎo)流能力的空間變化會(huì)對(duì)試井解釋造成較大影響。

圖5 無(wú)因次導(dǎo)流能力分布曲線Fig.5 Schematic of space variable conductivity of the hydraulic fracture

圖6 空間變導(dǎo)流系數(shù)對(duì)試井曲線的影響Fig.6 Effect of space variable conductivity on pressure transient type curve

3.3 一區(qū)半徑的影響

隨著注入CO2的不斷增加，CO2區(qū)半徑會(huì)不斷增大。設(shè)置不同的CO2區(qū)無(wú)因次半徑，試井曲線如圖7 所示，內(nèi)區(qū)半徑主要對(duì)內(nèi)區(qū)徑向流和過(guò)渡段產(chǎn)生影響，內(nèi)區(qū)半徑越小，過(guò)渡流出現(xiàn)的時(shí)間越早，內(nèi)區(qū)徑向流持續(xù)時(shí)間越短，內(nèi)區(qū)半徑過(guò)小時(shí)，內(nèi)區(qū)徑向流將會(huì)被掩蓋。

圖7 CO2 區(qū)半徑對(duì)試井曲線的影響Fig.7 Effect of r1D on rate transient type curve

3.4 二區(qū)半徑的影響

CO2注入量、擴(kuò)散系數(shù)及原油的物性特征都會(huì)對(duì)過(guò)渡區(qū)的半徑產(chǎn)生較大影響。設(shè)置不同的過(guò)渡區(qū)無(wú)因次半徑，試井曲線如圖8 所示，過(guò)渡區(qū)半徑主要對(duì)第二徑向流和過(guò)渡段階段產(chǎn)生影響，過(guò)渡區(qū)半徑越小，第二過(guò)渡流出現(xiàn)的時(shí)間越早，第二徑向流持續(xù)時(shí)間越短，過(guò)渡區(qū)半徑過(guò)小時(shí)，第二徑向流將會(huì)被掩蓋。

圖8 過(guò)渡區(qū)半徑對(duì)試井曲線的影響Fig.8 Effect of r2D on rate transient type curve

3.5 CO2 與過(guò)渡區(qū)流度比M12 的影響

流度是影響流動(dòng)和壓力波傳播的重要因素，過(guò)渡區(qū)為油氣混合區(qū)，其流度小于內(nèi)區(qū)純氣相流度。設(shè)置不同的內(nèi)區(qū)與過(guò)渡區(qū)流度比，試井曲線如圖9所示，從圖中可以看出，內(nèi)區(qū)與過(guò)渡區(qū)流度比主要對(duì)過(guò)渡區(qū)及最外區(qū)流動(dòng)階段產(chǎn)生影響，內(nèi)區(qū)與過(guò)渡區(qū)流度比越大，則表示過(guò)渡區(qū)流度越小，其流動(dòng)阻力較大，則過(guò)渡區(qū)及最外區(qū)流動(dòng)階段所消耗的壓差越大，因此過(guò)渡區(qū)及最外區(qū)流動(dòng)階段壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都會(huì)抬升。

圖9 過(guò)渡區(qū)與原油區(qū)流度比對(duì)試井曲線的影響Fig.9 Effect of mobility ratio M23 on rate transient type curve

3.6 過(guò)渡區(qū)與原油區(qū)流度比M23 的影響

過(guò)渡區(qū)為油氣混合區(qū)，最外區(qū)為純油相流動(dòng)，最外區(qū)流度小于過(guò)渡區(qū)流度。設(shè)置不同的過(guò)渡區(qū)與最外區(qū)流度比，試井曲線如圖10 所示，過(guò)渡區(qū)與最外區(qū)流度比主要對(duì)最外區(qū)流動(dòng)階段產(chǎn)生影響，過(guò)渡區(qū)與最外區(qū)流度比越大，則表示對(duì)應(yīng)的最外區(qū)流動(dòng)越小，最外區(qū)流動(dòng)阻力越大，最外區(qū)流動(dòng)階段所消耗的壓差越大，因此最外區(qū)流動(dòng)階段壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都會(huì)抬升。

圖10 CO2 與過(guò)渡區(qū)流度比對(duì)試井曲線的影響Fig.10 Effect of mobility ratio M12 on rate transient type curve

4 結(jié)論

（1）利用Laplace 變換對(duì)CO2三區(qū)復(fù)合空間變導(dǎo)流能力壓裂直井解析解進(jìn)行了推導(dǎo)，利用Stehfest數(shù)值反演繪制試井典型曲線。典型曲線可分為井筒儲(chǔ)集段、井筒儲(chǔ)集后過(guò)渡段、雙線性流段、地層線性流段、第一徑向流段、第一過(guò)渡流段、第二徑向流段、第二過(guò)渡流段、第三徑向流段共9 個(gè)階段。

（2）裂縫導(dǎo)流能力越大，雙線性流階段壓力及壓力導(dǎo)數(shù)越小，雙線性流階段越不明顯，導(dǎo)流能力達(dá)到一定程度，雙線性流消失，試井曲線變?yōu)闊o(wú)限導(dǎo)流能力試井曲線。裂縫導(dǎo)流能力受施工影響，裂縫一般為楔形縫，考慮裂縫導(dǎo)流能力變化后，早期壓差增大，壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都呈現(xiàn)一定的上升，表現(xiàn)出表皮系數(shù)增大的現(xiàn)象。

（3）CO2半徑越小，第一過(guò)渡流階段出現(xiàn)的時(shí)間越早，內(nèi)區(qū)徑向流持續(xù)時(shí)間越短；過(guò)渡區(qū)半徑越小，第一過(guò)渡流階段出現(xiàn)的時(shí)間越早，第二徑向流持續(xù)的時(shí)間越短。

（4）內(nèi)區(qū)與過(guò)渡區(qū)流度比越大，則過(guò)渡區(qū)及最外區(qū)流動(dòng)階段所消耗的壓差越大，因此過(guò)渡區(qū)及最外區(qū)流動(dòng)階段壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都會(huì)抬升；過(guò)渡區(qū)與最外區(qū)流度比越大最外區(qū)流動(dòng)階段所消耗的壓差越大，最外區(qū)流動(dòng)階段壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線都會(huì)抬升。