李洋，曹鐵澤，瞿劍蘇

（航空工業(yè)北京長城計量測試技術(shù)研究所，北京100095）

0 引言

轉(zhuǎn)臺是一種復雜的集光機電于一體的現(xiàn)代化設(shè)備［1］，在多個領(lǐng)域中有著廣泛的應用。例如，在飛行器的研制中，轉(zhuǎn)臺能夠模擬飛行器的各種姿態(tài)，復現(xiàn)其運動時的各種特性，實現(xiàn)對其性能指標的仿真。軍事上，雷達天線的瞄準控制，高射炮、戰(zhàn)術(shù)導彈發(fā)射架的跟蹤控制，坦克、軍艦的炮塔運動控制等都是基于轉(zhuǎn)臺運動來實現(xiàn)的［2］。因此準確標定轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動精度是非常重要的。

傳統(tǒng)轉(zhuǎn)臺定位精度標定的方法主要有多齒分度臺法和平行光管加多面棱體的方法［3］。多齒分度臺法受限于分度臺的齒數(shù)，無法實現(xiàn)任意角度的標定。平行光管加多面棱體的方法多用于水平的一維轉(zhuǎn)臺標定，當轉(zhuǎn)臺非水平或轉(zhuǎn)臺軸心不可見時，該方法不再適用［4］。針對傳統(tǒng)轉(zhuǎn)臺定位精度標定的劣勢，本文提出了一種基于坐標測量的轉(zhuǎn)臺定位精度標定方法。通過在轉(zhuǎn)臺上布置定位點，隨轉(zhuǎn)臺運動一周得到多組點坐標值；利用空間圓擬合算法得到圓和圓心坐標；再通過坐標系轉(zhuǎn)換算法消除轉(zhuǎn)臺的軸向誤差，進而得到轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度。該方法操作簡單，可對多軸轉(zhuǎn)臺、異形轉(zhuǎn)臺實現(xiàn)高精度的標定。

1 標定方案

1.1 測量方法

首先在需要標定的轉(zhuǎn)臺臺面上設(shè)置一個定位點，該定位點通過緊固裝置固定在臺面上，可以跟隨轉(zhuǎn)臺一起運動，且運動與臺面沒有相對位移，示意圖如圖1所示。

設(shè)轉(zhuǎn)臺從0°開始運動，依次轉(zhuǎn)過角度值αi，（i=1，2，…，n），每到達一個位置后停止，由測量設(shè)備對定位點進行測量。轉(zhuǎn)臺運動一周后，得到一組測量點的坐標值

圖1 轉(zhuǎn)臺測量定位點示意圖

1.2 空間圓擬合

理想情況下，定位點隨轉(zhuǎn)臺運動一周，得到的測量點應處在同一平面內(nèi)，即轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)平面。但由于測量儀器的測量誤差和轉(zhuǎn)臺的軸向跳動的存在，實際情況下測量點不在同一平面。因此應采用空間圓的擬合方法進行處理［5］。

空間圓可以看作由1個球面與1個過球心的平面相交而成的空間曲線，如圖2所示。

圖2 空間圓示意圖

Π表示平面，其方程定義為

式中：A，B，C為平面法向量n的分量；D為常系數(shù)。

Ω表示球面，其方程定義為

式中：（x0，y0，z0）為球心坐標；（xi，yi，zi）和 （xj，yj，zj）為球面上任意兩點。聯(lián)合上述2個方程可以得到空間圓方程。確定空間圓方程，需要求解 A，B，C，D，x0，y0，z0共7個參數(shù)。

利用定位點坐標、圓心坐標和空間圓所在平面方程建立目標函數(shù)。任意2個測量點Pi，Pj到球心O的距離分別為

理想情況下，公式應滿足

即任意2個測量點到圓心的距離均相等。

同時，任意1個測量點Pi到平面Π的距離為

即任意一個測量點到平面的距離都為0。上述2個公式聯(lián)合，建立目標函數(shù)

1.3 權(quán)值分配

對于旋轉(zhuǎn)半徑可達幾米甚至幾十米的大型轉(zhuǎn)臺，由于儀器測量不確定度通常與距離成正比，當儀器分別測量近距離定位點和遠距離定位點時，不確定度會相差很大。如果按照等權(quán)值建立目標函數(shù)，會導致不確定度大的測量點所占比重過大，使目標函數(shù)失真。針對此問題，采用不確定度加權(quán)融合的算法，優(yōu)化目標函數(shù)。構(gòu)建過程如下：

根據(jù)A類標準不確定度評價方法［6］，令儀器在短時間內(nèi)對定位點Pi重復測量m次，得到測量結(jié)果：（xil，yil，zil），（l=1，2，…，m），將其算術(shù)平均值作為估計值，即為定位點 Pi的坐標值 （xi，yi，zi）。計算標準偏差為

定位點Pi測量結(jié)果的合成標準不確定度uci應滿足不確定度合成原則［7］，同時對每個定位點Pi賦予權(quán)值σi，則有

式中：γ為常數(shù)因子。σ1，σ2，…，σn為未知量，對未知量求導，并且令

通過求解上述方程組，得到多組未知量的解，但只有一組解滿足要求，能夠使定位點的總體不確定度最小。

假設(shè)滿足要求的權(quán)值向量為 σ=［σ1，σ2，…，σn］，將該向量引入目標函數(shù)，將目標函數(shù)優(yōu)化為

圓擬合的基本原則為：不共線的3個點可以擬合一個圓。即當轉(zhuǎn)臺運動3個位置時可以得到一個空間圓方程。轉(zhuǎn)臺繼續(xù)增加運動位置。假設(shè)共運動了N個位置，由式（4）和（6）可知，共可以建立個方程。目標函數(shù) F共包含有 A，B，C，D，x0，y0，z07個未知參數(shù)，當方程數(shù)大于未知數(shù)時，數(shù)據(jù)存在冗余，可以利用相關(guān)最小二乘法，得到參數(shù)的最優(yōu)解［8］。

1.4 軸向誤差的消除

由于轉(zhuǎn)臺運動的軸向跳動及測量儀器的測量誤差均會帶來轉(zhuǎn)臺軸向的角度變化，如果直接計算初始定位點和當前定位點與圓心連線的角度，得到的是包含軸向角度變化的空間角度值，不能真正反映轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動值。因此，需要消除軸向角度。

首先，測量時一般默認坐標系為測量儀器坐標系，需要將坐標系變換到到空間圓上。

坐標系做如下轉(zhuǎn)換：擬合空間圓的圓心為坐標系原點；空間圓所在平面的法矢量方向為Z軸，轉(zhuǎn)臺初始狀態(tài)下圓心指向目標點的方向為X軸，如圖3所示。

圖3 坐標系示意圖

坐標系轉(zhuǎn)換公式如下

式中：［X，Y，Z］T為原始坐標系下目標點坐標值；［X′，Y′，Z′］T為 新 坐 標 系 下 目 標 點 坐 標 值；［ΔX，ΔY，ΔZ］T為平移參數(shù)；R為旋轉(zhuǎn)參數(shù)，由三個方向軸旋轉(zhuǎn)矩陣組成。R可表示為

設(shè)轉(zhuǎn)臺繞X軸的旋轉(zhuǎn)角度為α，繞Y軸的旋轉(zhuǎn)角度為β，繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角度為γ。于是有

通過代入原始坐標系與新坐標系下圓心坐標值、初始目標點的坐標值以及平面法向量，求解得到平移參數(shù) [ΔX，ΔY，ΔZ]T和旋轉(zhuǎn)參數(shù)R，實現(xiàn)坐標系的轉(zhuǎn)換［9］。

將笛卡爾坐標系變換為球坐標系，從而分離軸向角度變化值。轉(zhuǎn)換公式為

式中：r為半徑值；φ為水平角；θ為垂直角。

φ即為轉(zhuǎn)臺沿臺面轉(zhuǎn)過的角度值；θ即為轉(zhuǎn)臺由于軸向誤差引起的角度變化量。

2 優(yōu)化方案

通過第1部分的分析可以得出，角度標定精度的高低與空間圓擬合的好壞以及測量精度有直接關(guān)系。下面逐一進行分析。

2.1 提高空間圓擬合精度

通過1.2節(jié)分析可知，轉(zhuǎn)臺運動3個位置即可得到空間圓方程，當轉(zhuǎn)臺運動位置增加時，冗余數(shù)據(jù)增加，通過最小二乘法可以提高擬合精度。

運用MATLAB進行仿真實驗，在半徑為100 mm的圓的圓周上分別提取不同數(shù)量的坐標點，給這些點添加滿足正態(tài)分布的隨機變量，模擬測量誤差。再分別進行擬合，得到結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同數(shù)量測量點仿真擬合結(jié)果

同時，轉(zhuǎn)臺測量點位置的分布方式也對擬合精度有影響。當測量點位置分布在整個圓周時，對擬合圓的約束最強，當測量點位置只分布在圓周的某一部分時，對擬合圓的約束較低，容易造成擬合圓不準確，如圖5所示。

圖5 測量點分布擬合圓示意圖

運用MATLAB進行仿真實驗，在半徑為100 mm的圓的整個圓周和部分圓周上分別提取坐標點，給這些點添加滿足正態(tài)分布的隨機變量，模擬測量誤差。再分別進行擬合，得到結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同分布測量點仿真擬合結(jié)果

由圖6可知，轉(zhuǎn)臺測量點的位置應盡量分布在整個圓周上，同時增加轉(zhuǎn)臺測量點的數(shù)量，可以有效提高空間圓擬合的準確性。

2.2 提高測量精度

空間圓是基于坐標值擬合的，因此坐標測量精度越高，得到圓的擬合準確性就越高。

目前常見的坐標測量設(shè)備有橋式三坐標測量機、激光跟蹤儀和關(guān)節(jié)臂測量機等［8］。橋式三坐標測量機測量不確定度最小，可以達到U=0.6μm（k=2），但是受制于測量范圍和測量方式，不適用于轉(zhuǎn)臺測量。

激光跟蹤儀測量不確定度可以達到U=（0.015+0.006 L）mm（k=2），其中L單位為m。測量范圍最遠可以達到80 m，設(shè)備體積小，便攜性好，應用場景多。綜合整個測量過程和測量不確定度來看，激光跟蹤儀是目前轉(zhuǎn)臺測量最合適的測量設(shè)備［9］。激光跟蹤儀如圖7所示。

圖7 激光跟蹤儀

激光跟蹤儀通過測距和測角得到距離值、水平角度值以及俯仰角度值，進而得到球坐標系下的坐標值。測量時會轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標值。

設(shè)激光跟蹤儀對空間某點Q的水平度盤讀數(shù)、垂直度盤讀數(shù)和斜距測量值分別為（α，β，L）。通過式（19）可得到被測點Q的三維坐標值

在測量誤差相同的情況下，旋轉(zhuǎn)半徑越大，對應的角度值越小。如圖8所示。

圖8 測量半徑示意圖

以360齒多齒分度臺為例，分度臺半徑約為100 mm，通過增加加長桿將半徑增加到約200 mm及500 mm。分別在臺面和加長桿上布置定位點。令多齒分度臺旋轉(zhuǎn)一周，每隔60°用相同測量設(shè)備進行測量。擬合與坐標系轉(zhuǎn)換后得到的結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同旋轉(zhuǎn)半徑測量示值誤差

可以看到，隨著旋轉(zhuǎn)半徑的增加，角度誤差明顯減小。因此，在標定實驗中，應保證測量點盡可能分布在整個圓周上，同時測量點數(shù)量盡可能多，旋轉(zhuǎn)半徑盡可能大。

3 實驗

3.1 一維轉(zhuǎn)臺標定比對實驗

為驗證上述方法的可行性，對某實驗室一維水平轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)角精度進行標定，分別采用平行光管加12面棱體和激光跟蹤儀的方法。激光跟蹤儀的型號為AT960-MR。

將12面體棱鏡通過連接機構(gòu)固定在轉(zhuǎn)臺的軸心上，并調(diào)整使之與轉(zhuǎn)臺同軸。將跟蹤儀1.5″的角隅反射鏡分別固定在轉(zhuǎn)臺臺面和延長桿上，如圖10所示。

圖10 一維轉(zhuǎn)臺定位點示意圖

在轉(zhuǎn)臺初始0°處，調(diào)整棱鏡使其與平行光管準直，并進行平行光管測量；激光跟蹤儀對定位點重復測量10次，采樣時間設(shè)置為2 s；讓轉(zhuǎn)臺順時針運動，每到棱鏡面與光管接近準直處附近停下，調(diào)整直到準直完成；分別使用平行光管和激光跟蹤儀進行測量。轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)一周，數(shù)據(jù)測量處理方法同第二部分。得到的結(jié)果如表1所示。

表1 一維轉(zhuǎn)臺標定結(jié)果

根據(jù)結(jié)果可知，采用坐標測量方法對轉(zhuǎn)臺定位精度進行標定是可行的。通過延長旋轉(zhuǎn)半徑可以有效提高標定精度，使之與平行光管加多面棱體的標定方法精度接近。

3.2 三維轉(zhuǎn)臺標定實驗

對某三維轉(zhuǎn)臺進行標定，如圖11所示。該轉(zhuǎn)臺三個軸的軸心均為虛擬軸心，且俯仰軸和自旋軸為異形軸，平行光管加多面棱體無法安置，無法測量。而使用坐標測量的方法則操作簡單，快速準確。

將1.5″的角隅反射鏡分別固定在水平軸、俯仰軸、自旋軸相應臺面上。令三個軸分別進行轉(zhuǎn)動，每30°停下，激光跟蹤儀對定位點重復測量10次，采樣時間設(shè)置為2 s，數(shù)據(jù)處理方法同第二部分。得到結(jié)果如表2所示。

可以看到，坐標測量的方法準確且高效，可廣泛應用于各類轉(zhuǎn)臺的定位精度標定。

圖11 某三維轉(zhuǎn)臺示意圖

表2 三維轉(zhuǎn)臺標定結(jié)果

4 結(jié)論

本文研究了一種基于坐標值的轉(zhuǎn)臺定位精度標定方法，通過坐標測量設(shè)備對布置的定位點進行測量，之后進行空間圓擬合，權(quán)值優(yōu)化，消除軸向誤差，最終得到轉(zhuǎn)臺角度值；分析了影響標定精度的因素，提出了提高標定精度的措施。本文方法與傳統(tǒng)標定方法相比，具有操作簡單、效率高等優(yōu)點，可對多軸轉(zhuǎn)臺、異形轉(zhuǎn)臺進行標定，應用范圍廣；通過設(shè)置延長桿增加轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)半徑，可以使標定精度與平行光管加多面棱體方法的精度接近；通過實驗驗證了本文方法的可行性與準確性，因此，基于三維坐標值的轉(zhuǎn)臺定位精度標定方法值得推廣使用。