魏 航，金曉宏,2，黃 浩,2，陶 平

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081)

電液負(fù)載模擬器可用于在地面上復(fù)現(xiàn)飛行器的舵面在空氣中所受的力[1]，其核心部分是電液力加載系統(tǒng)，它依據(jù)被加載的位置系統(tǒng)的位移變化對(duì)其實(shí)時(shí)施加相應(yīng)的力。由于位移是主動(dòng)動(dòng)作，施力系統(tǒng)的加載是被動(dòng)動(dòng)作，因此，位置系統(tǒng)對(duì)電液力加載系統(tǒng)的位移擾動(dòng)會(huì)產(chǎn)生多余力，從而影響力加載系統(tǒng)的輸出精度。鑒于力加載系統(tǒng)的非線性特性，設(shè)計(jì)控制器來(lái)提高系統(tǒng)對(duì)加載指令的跟蹤性能具有很大難度[2]。

為了抑制加載系統(tǒng)的多余力，國(guó)內(nèi)外研究人員提出了多種方法，大致可分為兩類：①結(jié)構(gòu)補(bǔ)償，如利用閥芯反向運(yùn)動(dòng)的電液伺服閥補(bǔ)償[3]、增加阻尼耗能裝置[4]、位置同步校正[5-6]等；②控制補(bǔ)償，如模型自適應(yīng)控制補(bǔ)償[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制補(bǔ)償[8]等。上述方法有一定的可取性，但實(shí)際操作中仍有局限性。結(jié)構(gòu)補(bǔ)償會(huì)使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，可靠性降低，而且提高了系統(tǒng)的能耗；控制補(bǔ)償?shù)男盘?hào)采集實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為困難。

本文則采用反步控制方法，除伺服閥部分以外皆運(yùn)用非線性方程來(lái)構(gòu)建力加載系統(tǒng)的模型，基于Lyapunov穩(wěn)定性原理設(shè)計(jì)一次反步控制器，以期有效解決電液力加載系統(tǒng)中由于位置擾動(dòng)而產(chǎn)生的多余力問題以及控制信號(hào)難以實(shí)現(xiàn)的問題。

1 位置擾動(dòng)型電液力加載系統(tǒng)描述

力加載系統(tǒng)是電液負(fù)載模擬器的重要組成部分，用于對(duì)位置系統(tǒng)施力，但其運(yùn)動(dòng)過(guò)程會(huì)受到位置系統(tǒng)的位置干擾，故控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使加載系統(tǒng)的輸出力盡可能地精確跟蹤任意指定的加載指令。電液力加載系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其主要由電液伺服閥、閥控液壓缸、控制器和力傳感器這四部分組成。在控制器的設(shè)計(jì)中，力反饋、運(yùn)

圖1 位置擾動(dòng)型電液力加載系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1 Schematic diagram of electro-hydraulic force-loading system with position disturbance

動(dòng)反饋以及壓力反饋(通過(guò)壓力傳感器)都是可以獲得的[9]。

力傳感器的剛度遠(yuǎn)大于活塞桿剛度，可以忽略力傳感器的變形，傳感器檢測(cè)出的力即為加載系統(tǒng)輸出力F：

(1)

式中：K為液壓缸活塞桿結(jié)構(gòu)剛度，N/m；xp為位置系統(tǒng)活塞位移，m；xf為力加載系統(tǒng)活塞位移，m；m為活塞及負(fù)載折算到活塞上的質(zhì)量，kg；B為黏性阻尼系數(shù)，N/(m/s)；A為液壓缸控制腔活塞的有效面積，m2；pL為負(fù)載壓力，Pa。

電液伺服閥采用零開口四邊滑閥，閥口開度可用xv表示，伺服閥閥口流量q1和q2為：

(2)

(3)

式中：Cd為薄壁小孔流量系數(shù)；w為閥口面積梯度，m；ρ為液壓油密度，kg/m3；ps為供油壓力，Pa；p0為回油口壓力，Pa；p1為液壓缸右腔C1的壓力，Pa；p2為液壓缸左腔C2的壓力，Pa；定義s(*)為：

(4)

鑒于采用的是高性能電液伺服閥，同時(shí)為了便于控制器設(shè)計(jì)，可以將電液伺服閥和放大器增益看作一個(gè)比例環(huán)節(jié)，因此有：

Kamp=i/u

(5)

Ksv=xv/i

(6)

式中：Kamp為伺服放大器增益，A/V；Ksv為電液伺服閥增益，m/A；i為電液伺服閥輸入電流，A；u為力加載系統(tǒng)輸入電壓，V。

(7)

(8)

圖1中液壓缸活塞桿向右移動(dòng)取為正方向。假定液壓缸沒有外泄漏，液壓缸各工作腔內(nèi)壓強(qiáng)處處相等，當(dāng)活塞桿被迫向右移動(dòng)時(shí)，xv≤0，油液通過(guò)伺服閥閥口流入液壓缸右腔C1，流量為q1，且流量連續(xù)性方程為：

(9)

式中：Cip為液壓缸內(nèi)泄漏系數(shù)，(m3/s)/Pa；V1=V01-Axf表示右腔C1的容積，m3，其中V01為右腔C1的初始容積，m3；Ee為油液的有效體積彈性模量，Pa。

流入液壓缸左腔C2的流量為q2，且流量連續(xù)性方程為：

(10)

式中：V2=V02+Axf表示左腔C2的容積，m3,其中V02為左腔C2的初始容積，m3。

將式(1)、式(7)～式(10)整理可得：

(11)

式中：R1和R2為有向流量，分別為：

(12)

(13)

2 反步控制器的設(shè)計(jì)

反步控制理論的主要思想是將一個(gè)復(fù)雜的高階系統(tǒng)拆解成若干個(gè)階數(shù)較低的子系統(tǒng)，然后從最終控制量所在的子系統(tǒng)開始依次對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)虛擬控制器，直到輸入子系統(tǒng)結(jié)束，系統(tǒng)的最終控制信號(hào)是通過(guò)一系列虛擬信號(hào)以遞歸的方式得到[10]。為了信號(hào)易獲取、控制器易實(shí)現(xiàn)，本研究采用一次反步的設(shè)計(jì)。首先簡(jiǎn)化方程，定義

α1=(R1/V1+R2/V2)AEeg，

α3=(1/V1+1/V2)AEeCippL，

則式(11)可寫為：

(14)

令e=F-Fd為輸出力的跟蹤誤差，其時(shí)間導(dǎo)數(shù)為：

(15)

式中：Fd為期望輸出力。

因此，可設(shè)計(jì)反步控制器u使得跟蹤誤差e能收斂到零或者一個(gè)很小的值，且具有確定的穩(wěn)態(tài)性能[11-12]。所設(shè)計(jì)的控制器為：

(16)

式中：k為反步系數(shù)，一經(jīng)取定便為常數(shù)。

基于控制器式(16)，定義如下的李雅普諾夫函數(shù)L(t)：

(17)

函數(shù)L(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：

(18)

將式(16)代入上式，得到：

(19)

3 仿真研究

為檢驗(yàn)反步控制器的性能，根據(jù)位置擾動(dòng)型電液力加載系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB/Simulink軟件建立系統(tǒng)的數(shù)值仿真模型，如圖2所示，仿真程序中電液伺服閥采用文獻(xiàn)[3]中的二階振蕩環(huán)節(jié)。

圖2 加入反步控制器的電液力加載系統(tǒng)Simulink模型

采用ode45算法，設(shè)置步長(zhǎng)為0.001 s，計(jì)算相對(duì)誤差取1×10-6。采用典型的電液力加載系統(tǒng)參數(shù)(見表1)，考慮到實(shí)際系統(tǒng)中要保證液壓缸沒有內(nèi)漏也沒有外漏，且電液伺服系統(tǒng)的綜合阻尼比通常為0.05～0.08，所以為了更有效地評(píng)價(jià)控制方法的性能，仿真中特意將黏性阻尼系數(shù)取為文獻(xiàn)[3]中的綜合黏性阻尼系數(shù)，其值為0.1 N/(m/s)。

表1 電液力加載系統(tǒng)參數(shù)

在位置擾動(dòng)下，力加載系統(tǒng)被動(dòng)運(yùn)動(dòng)，液壓缸會(huì)產(chǎn)生大量的強(qiáng)迫流量從而引起多余力，為了更好地跟蹤加載指令，所設(shè)計(jì)的控制器需將強(qiáng)迫流量放出。為了檢驗(yàn)本控制器在受到位置擾動(dòng)時(shí)是否能真正做到將被迫流量放出，特進(jìn)行以下仿真：取反步系數(shù)k=200，力加載系統(tǒng)階躍輸出力為5000 N，在0.2 s處加入不同程度的階躍位置擾動(dòng)，得到伺服閥閥口開度變化情況如圖3所示，閥口開度參數(shù)如表2所示，閥口流量特性曲線如圖4所示。

由圖3和圖4可知，力加載系統(tǒng)在0.2 s受到位置擾動(dòng)時(shí)，閥口反向運(yùn)動(dòng)，右腔C1變?yōu)榛赜颓粊?lái)排油，以此將強(qiáng)迫流量排出，左腔C2變?yōu)檫M(jìn)油腔，補(bǔ)充流量；隨著位置擾動(dòng)的增大，強(qiáng)迫流量增多，閥口反向開度必須增大以排出更多的強(qiáng)迫流量。由表2可知，位置擾動(dòng)從0.0005 m增大到0.004 m時(shí)，閥口反向開度也由7.6 μm逐漸增大到58.8 μm。

圖3 不同程度位置擾動(dòng)下的閥口開度

表2 閥口開度參數(shù)

圖4 不同程度位置擾動(dòng)下的閥口流量

為了探究反步系數(shù)k值對(duì)控制器的影響，分別取k為50、200、400，對(duì)位置擾動(dòng)xp=0.001×sin(2πt) m、輸出幅值為5000 N的階躍力進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖5所示，系統(tǒng)響應(yīng)特性如表3所示。從圖5和表3可以看出，隨著k值從50增至400，輸出力的上升時(shí)間tr從0.0384s逐漸減少到0.0037 s，穩(wěn)態(tài)誤差ess也從0.5 N減至0.07 N，但是輸出力的最大超調(diào)量Mp卻從1 N增大到956 N。為了兼顧穩(wěn)態(tài)誤差和響應(yīng)速度，并使最大超調(diào)量不至于過(guò)大而造成系統(tǒng)沖擊、設(shè)備損壞，綜合權(quán)衡之后，以下的仿真中k值均取200。

圖5 反步控制器取不同k值時(shí)的系統(tǒng)輸出力F

Fig.5 Output forceFof the system with backstepping controller at differentkvalues

表3 反步控制器取不同k值時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)特性

Table 3 Response characteristics of the system with backstepping controller at differentkvalues

ktr/sMp/Ness/N500.038410.52000.00711740.134000.00379560.07

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的反步控制器對(duì)力加載系統(tǒng)加載指令的跟蹤效果，下面在多種加載工況下輸出階躍力，將反步控制器和傳統(tǒng)PID控制器進(jìn)行性能對(duì)比仿真分析。

首先，在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)加入位置擾動(dòng)xp=0.01sin(2πt) m。PID控制的力加載系統(tǒng)參數(shù)取值：kp=2，ki=20，kd=0.003；反步控制力加載系統(tǒng)參數(shù)取值：k=200。二者均輸出幅值為5000 N的階躍力，仿真情況如圖6所示，系統(tǒng)響應(yīng)特性如表4所示。

圖6 正弦位置擾動(dòng)下采用不同控制器的系統(tǒng)輸出力F

Fig.6 Output forceFof the system with different controllers under sinusoidal position disturbance

表4 正弦位置擾動(dòng)下采用不同控制器的系統(tǒng)響應(yīng)特性

Table 4 Response characteristics of the system with different controllers under sinusoidal position disturbance

從圖6和表4可以看到：力加載系統(tǒng)在受到正弦位置擾動(dòng)后，PID控制下系統(tǒng)輸出力的上升時(shí)間tr以2.8 ms的微弱優(yōu)勢(shì)領(lǐng)先，且其超調(diào)量Mp比反步控制系統(tǒng)的Mp少50 N，但是PID控制的力加載系統(tǒng)達(dá)到1%的穩(wěn)態(tài)誤差用時(shí)t為0.207 s，而反步控制系統(tǒng)僅用時(shí)0.024 s，其響應(yīng)速度更快； PID控制力加載系統(tǒng)的最大跟蹤誤差ess達(dá)到12.1 N，而使用反步控制器時(shí)，系統(tǒng)的ess僅為2.5 N，穩(wěn)態(tài)誤差小很多。

然后，在力加載系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)加入幅值為0.05 m/s的斜坡位置擾動(dòng)，PID控制和反步控制的力加載系統(tǒng)均輸出幅值為5000 N的階躍力，仿真結(jié)果如圖7所示，系統(tǒng)響應(yīng)特性如表5所示。

從圖7和表5中可以看出：PID控制力加載系統(tǒng)輸出力的上升時(shí)間tr以2.4 ms的微弱優(yōu)勢(shì)領(lǐng)先，系統(tǒng)在受到斜坡位置擾動(dòng)帶來(lái)的多余力影響之后，其最大超調(diào)量Mp超過(guò)反步控制力加載系統(tǒng)的Mp有58 N；PID控制的系統(tǒng)達(dá)到1%的穩(wěn)態(tài)誤差用時(shí)t為0.356 s，而反步控制力加載系統(tǒng)僅用時(shí)0.0984 s，響應(yīng)速度更快；PID控制力加載系統(tǒng)的ess達(dá)到0.1 N，而反步控制力加載系統(tǒng)的ess僅為0.005 N，穩(wěn)態(tài)誤差更小。

圖7 斜坡位置擾動(dòng)下采用不同控制器的系統(tǒng)輸出力F

Fig.7 Output forceFof the system with different controllers under ramp position disturbance

表5 斜坡位置擾動(dòng)下采用不同控制器的系統(tǒng)響應(yīng)特性

Table 5 Response characteristics of the system with different controllers under ramp position disturbance

控制器tr/st/sMp/Ness/NPID0.0040.3564800.1反步0.00640.09844220.005

為了檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)正弦力加載指令的跟蹤性能，在位置擾動(dòng)xp=0.03sin(4πt) m時(shí)，要求系統(tǒng)分別輸出Fd=2000sin(4πt)+3000 N、Fd=2000sin(10πt)+3000 N的不同頻率正弦力，對(duì)PID控制和反步控制的力加載系統(tǒng)進(jìn)行仿真比較，輸出力和跟蹤誤差的仿真情況分別如圖8和圖9所示。

由圖8(a)和圖9(a)可見：在輸出2 Hz的正弦力時(shí)，對(duì)于正弦位置擾動(dòng)產(chǎn)生的較大多余力，PID控制消除多余力的作用并不明顯，尤其是在波峰、波谷的位置，多余力的存在影響了力加載系統(tǒng)的跟蹤性能，誤差達(dá)到了5.12%；而反步控制器對(duì)位置擾動(dòng)產(chǎn)生的多余力有很好的消除效果，加入該控制器后的力加載系統(tǒng)獲得了非常好的跟蹤性能，且過(guò)了0.05 s初始階段后，跟蹤誤差逐漸收斂至很小的范圍，最大誤差僅為1.32%。

(a) 2 Hz

(b) 5 Hz

圖8 不同控制下系統(tǒng)輸出的不同頻率正弦力F

Fig.8 Sinusoidal output forceFwith different frequencies of the system with different controllers

(a) 2 Hz

(b) 5 Hz

圖9 不同控制下系統(tǒng)輸出的不同頻率正弦力F的跟蹤誤差

Fig.9 Error of sinusoidal output forceFwith different frequencies of the system with different controllers

由圖8(b)和圖9(b)可見：在輸出5 Hz的正弦力時(shí)，PID控制器對(duì)于力加載指令的跟蹤效果更加惡化，在波峰、波谷的位置，多余力的存在使得力加載系統(tǒng)的跟蹤誤差高達(dá)5.75%；而反步控制力加載系統(tǒng)的跟蹤性能依然十分優(yōu)秀，過(guò)了0.06 s初始階段后，跟蹤誤差逐漸收斂至很小的范圍，最大誤差僅為1.93%。

4 結(jié)論

(1) 加入反步控制器的力加載系統(tǒng)受到位置擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中的電液伺服閥閥口反向運(yùn)動(dòng)，進(jìn)油腔變?yōu)榛赜颓粊?lái)排油，以此將強(qiáng)迫流量排出，減少多余力，而且位置擾動(dòng)越大，閥口反向開度也越大。

(2) 反步控制器的反步系數(shù)k值越大，系統(tǒng)響應(yīng)越快，經(jīng)過(guò)初始階段后的跟蹤誤差也越小，但超調(diào)量會(huì)相應(yīng)增加。

(3) 在位置擾動(dòng)下，相較于PID控制，本文設(shè)計(jì)的反步控制加載系統(tǒng)輸出的階躍力最多經(jīng)過(guò)0.0984 s就能準(zhǔn)確跟蹤階躍力加載指令，響應(yīng)速度更快；輸出階躍力最大誤差不超過(guò)2.5 N，穩(wěn)態(tài)誤差更小；輸出正弦力時(shí)，最多經(jīng)過(guò)0.06 s的初始階段后就能更精確地跟蹤加載指令，且之后能一直保持良好的跟蹤性能，最大誤差不超過(guò)1.93%。