傅家旗，劉 敏，鄧春燕，黃 娟，江明珠，郭 強，劉建國

(1. 上海理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)研究中心 上海 楊浦區(qū) 200093；2. 北京工商大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院 北京 海淀區(qū) 100048；3. 上海財經(jīng)大學(xué)金融科技研究院 上海 楊浦區(qū) 200433)

利用實證數(shù)據(jù)對流行病傳播過程進行建模分析有助于深入分析流行病傳播的內(nèi)在機制，預(yù)測傳播范圍，為進行有效的流行病防控提供重要依據(jù)[1-3]。由于缺乏對新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)傳播機制的了解，且沒有針對新型冠狀病毒(SARS-CoV-2)的疫苗，自COVID-19 確診以來，確診規(guī)模不斷擴大[4]。據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會官方網(wǎng)站的疫情通報數(shù)據(jù)顯示，截止至2020 年3 月2 日24 時，累計報告確診病例80 151 例，累計死亡病例2 943 例。世界衛(wèi)生組織官網(wǎng)宣布，將COVID-19 疫情列為國際關(guān)注突發(fā)公共衛(wèi)生事件。疫情的爆發(fā)不僅給各地醫(yī)療公共衛(wèi)生機構(gòu)[5-7]，以及科學(xué)界帶來了巨大挑戰(zhàn)，還使各行各業(yè)直接面臨停工停產(chǎn)的嚴峻考驗。盡管在國家和各地政府的努力下，疫情蔓延的勢頭在一定程度上受到遏制[8]，但限于對COVID-19 傳播機制的認知，有關(guān)疫情可能持續(xù)的期限、近期出現(xiàn)拐點的可能性和可以采取的最有效防控措施等問題仍莫衷一是。因而，在缺乏確切的治愈手段和疫苗的情況下，對COVID-19 的傳播機制進行解構(gòu)分析，能幫助準確研判疫情的傳播途徑和擴散范圍，以便及時干預(yù)，科學(xué)防治，精準施策，最大限度降低疫情的影響。

引發(fā)COVID-19 的SARS-CoV-2 是一種新型病毒，各領(lǐng)域的專家學(xué)者在短時間內(nèi)做了大量的研究工作，為深入分析病毒的特性和COVID-19 的傳播機制提供了第一手資料。除針對COVID-19 病理學(xué)及發(fā)病機理的研究[9-10]外，科研工作者及時追蹤每天疫情的進展及病例動態(tài)，進而對COVID-19 疫情的發(fā)展態(tài)勢進行預(yù)測和分析。研究工作主要集中在預(yù)估新增病例和死亡人數(shù)[11-13]、COVID-19 傳染機制的研究[14-16]、人員流動對疫情傳播的影響[17-19]、隔離和疑似病例對疫情的影響[20]、估計疫情在境外的發(fā)展趨勢[21-22]、未來疫情防控工作中對醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)的需求[23]等。

目前，學(xué)者們對COVID-19 的研究已取得了進展，然而，對于病毒傳播過程的模型設(shè)計還有待完善。本文試圖從實證數(shù)據(jù)出發(fā)，結(jié)合COVID-19 傳播的特點，提出了P-SI 模型。該模型考慮了省際流動人群對每天新增感染COVID-19 病例的影響，能夠刻畫一個省內(nèi)每天新增感染COVID-19 病例的變化趨勢。本文用2019 年12 月31 日?2020 年1月30 日的實證數(shù)據(jù)擬合出P-SI 模型，該模型可以描述湖北省3 個階段的COVID-19 傳播情況。此外，本文還發(fā)現(xiàn)用另一個相同的P-SI 模型可以描述其他4 省的COVID-19 傳播過程。用實證數(shù)據(jù)檢驗擬合的模型能夠描述各省每天新增感染COVID-19 的人數(shù)。在此基礎(chǔ)上，以2020 年1 月23 日為分界點，將分界點前的實證數(shù)據(jù)視為訓(xùn)練集，擬合各省的P-SI 模型。在修正了擬合模型的參數(shù)后，本文發(fā)現(xiàn)擬合模型能夠?qū)Ψ纸琰c后的每天新增病例人數(shù)作輔助預(yù)測，其預(yù)測出各省感染COVID-19 的動態(tài)情況與實證數(shù)據(jù)相符。

1 P-SI 模型

本文基于實證數(shù)據(jù)對COVID-19 的傳播過程進行建模，并運用該模型對每天新增感染人數(shù)作預(yù)測。經(jīng)典SI 模型利用傳播機制的微分方程模擬傳染病的感染爆發(fā)過程，在地區(qū)總?cè)藬?shù)不變的情況下設(shè)定感染率模擬感染過程[24-26]。本文則在經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合流動人口的變化情況構(gòu)建P-SI 模型對COVID-19 傳播過程進行模擬預(yù)測。

根據(jù)COVID-19 傳染性較強的特點[27-28]，本文將人群分為兩類：易感人群(S)、感染人群(I)。易感人群為暴露在公共場合下的所有人，感染人群為COVID-19 的確診病例。鑒于COVID-19 隨流動人口傳播，導(dǎo)致相關(guān)省份COVID-19 病例在短時間內(nèi)急劇增加，故在構(gòu)建模型時加入流動人口因素。為構(gòu)建一個簡單而有效的模型，先作如下假設(shè)：

假設(shè)1：其他4 省在傳播初期流動到湖北省的人群均視作易感人群(實證數(shù)據(jù)的信息與此假設(shè)一致)。在湖北省受到感染人群能流動到其他省，已流動到其他4 省的感染人群不再進行省際流動。

假設(shè)2：從湖北省流向其他4 省的人員均視作當(dāng)天抵達所屬省。

1.1 基于湖北省實證數(shù)據(jù)擬合的P-SI 模型

將2020 年12 月31 日?1 月23 日的湖北省視為一個開放系統(tǒng)，有客居人口及流動人口這兩部分人群。這兩部分人群最終未滯留在湖北省，均于2020 年1 月23 日前回到所屬省。

客居人口是指原本屬于其他4 省，但又長期客居在湖北省的人口。在湖北省(H)COVID-19 傳播期間，定義在第t 天客居人口中易感人群的數(shù)量為SH(t)， 感染人群的數(shù)量為 IH(t)。流動人口是指從外省經(jīng)過湖北省，短期逗留后又離開湖北省的人口。類似地，定義第t 天流動人口中由省i 流動到湖北省的易感人群數(shù)量為 SiH(t)，由湖北省流動到其他省的易感人群數(shù)量為 SHo(t)，由湖北省流動到其他省的感染人群的數(shù)量為 IHo(t)。

如果引入人口流動率 PHo(t)和每天新增感染COVID-19 人數(shù) ?IH(t)，便能構(gòu)建如圖1 所示的傳播模型。

圖1 湖北省P-SI 模型示意圖

每天新增感染COVID-19 人數(shù) ?IH(t)主要由前一天的感染人數(shù) IH(t ?1)決定。這是因為COVID-19主要通過人與人之間的接觸傳播[29]，COVID-19 的擴散范圍主要由病毒攜帶者的生活圈大小決定。鑒于COVID-19 有潛伏期，本文認為在COVID-19 傳播早期，某些受到感染的人并不會馬上發(fā)病。因此，每天新增感染COVID-19 人數(shù) ?IH(t)在早期的增長速度應(yīng)該比較緩慢。此外，湖北省并非是一個封閉系統(tǒng)，人員流動也較為頻繁，因而在短期內(nèi)，感染人數(shù)的增加并不會對湖北省這幾個城市的易感人群造成顯著影響?；谏鲜隹紤]，本文建立每天新增感染COVID-19 人數(shù) ?IH(t)與 感染人數(shù)IH(t ?1)的線性模型：

式中，參數(shù)λH是傳染率，表示由感染人群將病毒通過朋友圈傳給易感人群，并導(dǎo)致該省新增COVID-19的重要參數(shù)；εH則是一個誤差常數(shù)。

1.2 基于4 省實證數(shù)據(jù)擬合的P-SI 模型

本文將浙江、安徽、陜西和廣東這4 省視作半開放系統(tǒng)，一旦有人員從湖北省返回其中某個省，便不再離開。而原本就在4 省的人員也不離開所屬省。因而，這4 省有常駐人口以及流入人口這兩部分人群。常駐人口包含兩部分：一部分是易感人群Si(t) ，另一部分則是感染人群 Ii(t)。同樣地，本文定義的流入人口也包含兩部分：一部分是易感人群SHi(t)， 另一部分則是感染人群 IHi(t)。不同省的流入人口總和應(yīng)與湖北流動到各省的總?cè)藬?shù)一致：

如果引入人口流動率 PiH(t)和每天新增感染COVID-19 人 數(shù) ?Ii(t)，便 能 構(gòu) 建 如 圖2 所 示 的COVID-19 模型。

圖2 4 省P-SI 模型示意圖

式中，人口流動率 PiH(t)刻畫了COVID-19 感染初期的第t 天由從外省流動到湖北人口的比率。

考慮到在COVID-19 傳播中后期，具有傳染性的感染人數(shù) IiC(t ?1)快速增加，式(3)所描述的新增感染人數(shù)緩慢增加的模型已不再適用這一情形。一方面，與感染人員接觸的易感人群很快會受到傳染；另一方面，易感人群間彼此接觸的社交行為也為間接傳染帶來了可能性。此時，由于省內(nèi)的人員不再向外流動，如果控制不當(dāng)，COVID-19 會在有限的易感人群中迅速擴散。基于上述考慮，本文建立每天新增感染COVID-19 人數(shù) ?Ii(t)與易感人數(shù)Si(t ?1)和 具有傳染性的感染人數(shù) IiC(t ?1)的模型：

式中，參數(shù) λi1和 λi2均 為傳染率； λi1表示該省由感染人群直接傳染給易感人群的傳染率； λi2是指因易感人群之間彼此接觸時可能發(fā)生傳染的間接傳染率；εi則是一個誤差常數(shù)。

在進行模型擬合前，把實證數(shù)據(jù)中的573 例感染人員每天的狀態(tài)進行分類統(tǒng)計。把湖北省及其他4 個省每天的每1 例人員分別歸入到新增感染COVID-19 人數(shù) ?Ii、 具有傳染性的感染人數(shù) IiC、不具有傳染性的感染人數(shù) IiB或易感人數(shù)Si。從而，便可統(tǒng)計出每天分布在各省的新增感染COVID-19 的總?cè)藬?shù)、已感染的總?cè)藬?shù)以及仍處于易感狀態(tài)的總?cè)藬?shù)?；谏鲜鰵w類，將各省的數(shù)據(jù)分別代入式(3)和式(8)，再用Matlab 中的nlinfit 函數(shù)求得對應(yīng)的參數(shù)，完成模型的擬合。

1.3 基于4 省實證數(shù)據(jù)的P-SI 輔助預(yù)測模型

基于構(gòu)建的P-SI 模型，本文利用4 省中早期的感染情況來預(yù)測后期的感染情況。盡管COVID-19的傳播行為可以用式(8)來描述，但由于COVID-19傳播行為的特征在不同時期并不相同，以中早期的COVID-19 傳播數(shù)據(jù)擬合的P-SI 模型顯然不適合用于預(yù)測后期的COVID-19 傳播行為。于是，本文考慮對擬合的P-SI 模型加以修正，主要修正模型中的參數(shù)，使修正后的P-SI 模型與實證數(shù)據(jù)反映的真實情境相符。

本文通過變更方向和設(shè)置步長來修正參數(shù)。首先，將P-SI 模型中的參數(shù)列成1 個3 維向量的形式： η=(εi, λi1, λi2)T，接著設(shè)置修正的方向和步長。引入1 個方向矩陣Φ：

方向矩陣Φ 中的任意一行均與參數(shù)向量η 中的元素一一對應(yīng)，任取第i 行元素形成向量 Φi，向量 Φi可視作向量η 的修正方向。如向量η 能依次按照方向矩陣Φ 中的所有行向量 Φi變化，相當(dāng)于對向量η 的所有可能方向做了遍歷。有了確切的修正方向后，還需設(shè)置修正步長。將步長的設(shè)置分為2 項：第1 項是根據(jù)上述參數(shù)向量η 中每個元素本身的取值大小來定義的1 個3 維向量κ =(κ1,κ2,κ3)。根據(jù)擬合的結(jié)果，4 個省擬合得到的參數(shù)εi分布在區(qū)間(?3, 1)內(nèi)，參數(shù) λi1和 λi2分布在區(qū)間(0.000 8,0.02)內(nèi)。基于此，定義向量元素κ1=1，κ2和κ3則在區(qū)間[0.001，0.005]之間變化。另1 項為調(diào)節(jié)常數(shù) β, β ∈ (0, 10)。修正的步長便以 βκ來定義。于是，按照式(10)計算得到調(diào)整后的參數(shù)向量為：

接著，按照更新后的模型來預(yù)測某省后期的感染情況。根據(jù)假設(shè)1，已流動到其他省的感染人群不再進行省際流動，這段時期內(nèi)本省的總?cè)藬?shù)穩(wěn)定，變化的是每個人處于易感或感染狀態(tài)。所以，可以按照式(6)和式(7)將訓(xùn)練集中最近的感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si更新為模型所需的初始感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si。然后，將這兩個初值和修正后的參數(shù)代入式(11)計算出每天新增感染人數(shù)為：

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)簡介

本文選取了在浙江、安徽、廣東、陜西4 省發(fā)現(xiàn)的573 例COVID-19 感染人員進行研究。數(shù)據(jù)覆蓋 的 時 間 從2019 年12 月31 日?2020 年1 月30日，包含了感染人員進入湖北省的日期，離開湖北省的日期、發(fā)病日期、就診日期和確診日期。其中，有部分人員長期在湖北省居住，并在2020 年1 月30 日前返回上述4 省，累計163 人。部分人員在返回上述4 省期間，曾在湖北省短期停留，累計252 人。還有部分人員沒有去過湖北省，一直在上述4 省，累計158 人。本文對這3 類人員做了統(tǒng)計，如表1 所示。本文在使用P-SI 模型擬合湖北省和4 省的COVID-19 傳播過程時，用的是2020 年12 月31 日?1 月30 日的完整數(shù)據(jù)。

表1 實驗統(tǒng)計數(shù)據(jù)

實證數(shù)據(jù)中每個病例都有確切的發(fā)病日期，但個別數(shù)據(jù)缺少確診日期或僅登記了就診日期，這為準確定義每個病例發(fā)病后所具備傳染性的有效時間帶來了不確定性。為準確估算每個病例傳染性的有效時間，對所有登記了就診日期和確診日期的病例做了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)從就診日期至確診日期的平均值為3.845 2 天(約為4 天)，從發(fā)病日期至確診日期的平均值為6.291 0 天(約為6 天)。本文分2 種情況為缺少確診日期的病例推算確診日期，對登記了就診日期的病例按延后4 天推算出確診日期，同時對沒有登記就診日期記錄的病例按延后6 天推算出確診日期。從而可為每個病例定義發(fā)病日期至確診日期為具備傳染性的時間段。

以2020 年1 月23 日湖北武漢“封城”作為分界點，對各省感染的數(shù)據(jù)進行劃分，將2019 年12 月31 日?2020 年1 月23 日的4 省數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集，將2020 年1 月24 日?1 月30 日的4 省數(shù)據(jù)劃分為測試集。

2.2 輔助預(yù)測模型的評價標準

由于國家衛(wèi)生健康委員會和各地方政府每天都會公布有關(guān)疫情和感染情況的實時通報，可以掌握實證數(shù)據(jù)573 例感染人員的實時狀態(tài)。在擬合出P-SI 輔助預(yù)測模型后，實際可以得到大量與2019年12 月31 日?2020 年1 月23 日期間感染情況相符的模型。為了從中選出最符合實際情況模型，根據(jù)2020 年1 月24 日與1 月25 日2 天的實時通報中公布的新增感染COVID-19 人數(shù)，僅保留擬合模型中預(yù)測得到的2020 年1 月24 日與1 月25 日這兩天每天新增感染COVID-19 人數(shù)與實際最接近的模型。于是，本文便能得到有限個較為理想的PSI 輔助預(yù)測模型，從而再用這些模型預(yù)測2020 年1 月24 日?1 月30 日4 省感染COVID-19 的總體情況。

2.3 模型擬合

本文根據(jù)掌握的573 位感染人員的數(shù)據(jù)，分別對湖北省及其他4 個省的COVID-19 傳播模型進行擬合。由于湖北省武漢市于2020 年1 月23 日當(dāng)日10:00 開始“封城”，湖北省其他城市也采取了嚴格的措施，大部分客居人員和流動人員大都在“封城”前回到自己所屬省。本文便以2019 年12 月31 日?2020 年1 月23 日期間在湖北長期客居和短期停留人員的感染情況數(shù)據(jù)來擬合湖北省的COVID-19 傳播模型。將統(tǒng)計信息代入式(3)，便可求解得出參數(shù)λH=0.526 1 和參數(shù)εH=0.349 9。擬合結(jié)果如圖3 所示。

圖3 湖北省每天新增感染COVID-19 人數(shù)擬合圖

圖3 中空心方塊標記的曲線描述了湖北省每天新增感染COVID-19 人數(shù)，空心圓圈標記的曲線則是根據(jù)擬合的傳播模型計算得出每天新增感染COVID-19 人數(shù)。從空心方塊標記的曲線變化趨勢看，傳播分為3 個階段：第1 階段是2019 年12 月31 日?2020 年1 月8 日，為病毒傳播的最初期。每天的新增感染人數(shù)在該階段相對較少。第2 階段是2020 年1 月9 日?1 月15 日，為病毒傳播的平穩(wěn)期。每天的新增感染人數(shù)在該階段有所上升，并伴有微小波動。第3 階段是2020 年1 月16 日?1 月23 日，為病毒傳播的爆發(fā)期。每天的新增感染人數(shù)在該階段急劇增加，達到頂峰。后因所有客居人員或流動人員均在湖北省采取嚴厲措施前回到所屬省，所以湖北省的感染人數(shù)隨人員的離開而降低了。

擬合曲線的變化趨勢與實際曲線大體相同，能大致地將每天新增感染COVID-19 人數(shù)描繪出來，在圖中能夠明顯區(qū)分出3 個階段的變化。同時擬合曲線能將某些日期上新增感染人數(shù)的波動體現(xiàn)出來。如空心方塊標記的曲線展示出了2020 年1 月4 日、1 月9 日、1 月16 日人數(shù)的上升，以及在1 月18 日先下降，在1 月19 日又上升等變化趨勢?？招膱A圈標記的曲線也都較好地描繪了類似變化趨勢，只是在日期上可能會有1～2 天的時間差。這主要是因為用于擬合的數(shù)據(jù)量有限，會帶來一些誤差。

以2019 年12 月31 日?2020 年1 月30 日間在湖北短期停留人員和沒有去過湖北人員的感染情況數(shù)據(jù)來擬合4 個省的COVID-19 傳播模型。本文將4 組統(tǒng)計信息代入式(8)，便可求解得出對應(yīng)的4 組參數(shù)。其中浙江省的參數(shù) λi1= 0.003 4， λi2=0.002 3，參數(shù)εi=?1.646 2；安徽省的參數(shù)λi1=0.007 9，λi2=0.000 8，參 數(shù)εi=0.275 7；陜 西 省 的 參 數(shù)λi1= 0.010 2， λi2=0.008 3，參數(shù)εi=?0.726 1；廣東省的參數(shù)λi1= 0.019 0，λi2=0.015 5，參數(shù)εi=?2.517 8，結(jié)果如圖4 所示。

圖4a～4d 中空心方塊標記的曲線依次描述浙江、安徽、陜西、廣東4 個省每天新增COVID-19 實際感染人數(shù)，空心圓圈標記的曲線則是根據(jù)擬合的傳播模型計算得出每天的新增感染人數(shù)。從空心方塊標記的曲線的變化趨勢看，傳播的最初期和平穩(wěn)期內(nèi)新增感染人數(shù)并沒有顯著變化，在2020 年1 月16?1 月18 日開始進入COVID-19 傳播的爆發(fā)期。前期感染人數(shù)變化不顯著的原因是當(dāng)時感染源主要在湖北武漢，由少量離開湖北到外省的流動人員攜帶SARS-CoV-2 至所屬省，引發(fā)COVID-19 初期傳播。由于從湖北省到這4 個省乘坐高鐵，只需1 天即可抵達。在武漢“封城”前，攜帶SARS-CoV-2 的感染人員陸續(xù)返回所屬省，大量輸入病例進入該省，COVID-19 也隨之傳播。因而，4 省的爆發(fā)期與湖北省的非常接近。在4 省的爆發(fā)期，新增感染人數(shù)達到峰值以后曲線陡然下降。一方面是因為本文僅追蹤了有限的實證數(shù)據(jù)，其中涉及的易感人群已大都受到了感染，將來可能被感染的易感人群成為了極少數(shù)，所以新增感染人數(shù)也接近于0。另一方面是因為各省均已加大了防控力度，限制了COVID-19 的傳播渠道和速度，新增感染人數(shù)也相應(yīng)地得到了一定的控制。

圖4 4 個省每天新增感染COVID-19 人數(shù)擬合圖

空心圓圈標記的擬合曲線能夠大致地刻畫每天新增感染人數(shù)的變化趨勢，尤其刻畫了最初期及平穩(wěn)期新增感染人數(shù)保持平穩(wěn)的趨勢，而在爆發(fā)期人數(shù)急劇攀升和人數(shù)陡然下滑的變化趨勢也與實際情況大體相符。以浙江省為例，可以觀察到，該省的實際新增感染人數(shù)在2020 年1 月15 日前較為平穩(wěn)，在1 月16 日以后便迅速上升，在1 月21 日到達峰值后，在22 日略有下降，在1 月23 日再次攀升后便立即下降。相應(yīng)地，空心圓圈標記的擬合曲線同樣在2020 年1 月16 日以后迅速上升，在1 月23 日到峰值后便立即下降。該擬合曲線較為平滑，盡管沒能刻畫真實情況中的一些細微變化，如：局部峰值，先降后升的變化，或在日期上存在1～2 天的偏差等情況，但總體上能夠反映該省每天新增感染COVID-19 情況。其他3 個省的擬合曲線總體上也比較符合實際情況?？梢姡猛? 個模型能夠模擬4 個省的COVID-19 傳播過程。

2.4 模型預(yù)測

按1.3、2.1 和2.2 節(jié)的思路將4 個省的實證數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測試集，依次運用各省的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)擬合出P-SI 模型的相關(guān)參數(shù)。以2020 年1 月23 日的感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si為初始信息，將其代入式(8)推測出1 月24 日的新增感染人數(shù)?Ii，更新當(dāng)天的感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si，以此類推，得到1 月25 日的每天新增感染人數(shù) ?Ii，感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si。

在產(chǎn)生了多組模型后，對照2020 年1 月24 日?1 月25 日兩天的新增感染COVID-19 實際人數(shù)，按每個省分別選取了預(yù)測結(jié)果最接近實際情況的4 個模型，并以之對2020 年1 月24 日?1 月30 日感染COVID-19 的情況進行了預(yù)測。將預(yù)測結(jié)果展示在圖5 上，可以從圖5 看到預(yù)測得到新增感染人數(shù) ?Ii、感染人數(shù)Ii、易感人數(shù)Si與實際人數(shù)之間的差異。同時，從上述16 個模型得到預(yù)測結(jié)果最接近每天新增感染COVID-19 人數(shù)的4 個模型的參 數(shù)，列于表2。

圖5 4 省2020 年1 月24 日以后的預(yù)測結(jié)果趨勢圖

表2 4 省的P-SI 模型修正后的參數(shù)

圖5a～5l 依次展示了模型對浙江、安徽、陜西和廣東4 省每天新增感染人數(shù) ?Ii、 感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si的預(yù)測情況。以浙江省為例，圖中由空心方塊標記的曲線描述了該省每天實際新增感染人數(shù)、感染人數(shù)和易感人數(shù)，由空心圓圈、空心三角形、空心倒三角形和空心菱形標記的曲線則分別對應(yīng)參數(shù)β 取不同值時所得到的預(yù)測結(jié)果。根據(jù)圖5a，可以發(fā)現(xiàn)由空心方塊標記的曲線描繪的每天實際新增感染人數(shù) ?Ii在2020 年1 月25 日前和1 月28 日后單調(diào)下降，而在1 月26 日和1 月27 日間有一個先增后降的過程。P-SI 模型預(yù)測的每天新增感染人數(shù) ?Ii是一條單調(diào)下降的曲線，與實際情況較為接近，但沒有能預(yù)測出該省在2020 年1 月26 日和1 月27 日間感染人數(shù)的波動。圖5b 和圖5c 則是根據(jù)預(yù)測到的每天新增感染人數(shù) ?Ii求得的感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si變化趨勢。從感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si的變化趨勢來看，預(yù)測結(jié)果本來與實際情況略有偏差，只因模型未能預(yù)測到2020 年1 月26 日和1 月27 日新增感染人數(shù)的一個上升波動，加大了預(yù)測的易感人數(shù)Si以及感染人數(shù)Ii與實際人數(shù)的偏差量，但總體的變化趨勢較為一致。

根據(jù)4 個省的預(yù)測趨勢圖，可以看出盡管預(yù)測模型對每天新增感染人員的波動情況還不能準確刻畫，而沒有掌握2020 年1 月23 日流動人員入省的信息對感染人數(shù)Ii和易感人數(shù)Si的預(yù)測存在一定影響，如造成了廣東省在2020 年1 月24 日預(yù)測的新增感染人數(shù)與實際情況出現(xiàn)了些許偏差，且這部分偏差致使后期對當(dāng)?shù)馗腥救藬?shù)的預(yù)測偏差逐漸加大。但該輔助預(yù)測模型對每個省的感染情況的描述還是大致符合實際的。此外，預(yù)測得到的各省的參數(shù)彼此間存在差異，體現(xiàn)了COVID-19 在各省傳播擴散的速度和程度有所不同。

3 結(jié) 束 語

本文以4 省573 例感染COVID-19 的病患信息研究了COVID-19 在湖北省及4 省的傳播特性?；?019 年12 月31 日?2020 年1 月30 日的實證數(shù)據(jù)，本文以湖北省作為研究區(qū)域構(gòu)建了P-SI 模型。該模型考慮綜合考慮了客居人口及流動人口對COVID-19 傳播的影響。本文還構(gòu)建了另一個P-SI 模型，可以同時描述另外4 省人員每天新增感染COVID-19 的實際情形。本文分別用實證數(shù)據(jù)對湖北省及4 省的模型進行擬合，擬合的曲線能夠反映各省每天新增感染人數(shù)，且能描述各省COVID-19 在不同時期的情況。在此基礎(chǔ)上，本文還利用2019 年12 月31 日?2020 年1 月23 日的實證數(shù)據(jù)預(yù)測了4 省2020 年1 月24 日以后每天新增感染人數(shù)及對應(yīng)省的總體感染情況。實驗結(jié)果說明，PSI 輔助預(yù)測模型能夠預(yù)測出每天新增感染人數(shù)，同時，能夠輔助研判各省的總體感染情況。

盡管本文構(gòu)建的P-SI 模型能夠刻畫COVID-19 的傳播過程，但現(xiàn)有的模型還并不完善。該模型沒有考慮病毒在人體內(nèi)有潛伏期的因素。本文沒有深入分析感染的流動人員對傳播過程的影響。此外，在實際情況下，每天新增感染人數(shù)的變化趨勢并不平滑，該模型對不平滑的情況難以預(yù)測。本文的研究僅僅局限于一個小樣本，而各省市的真實病例情況更加復(fù)雜，需要更加精細的模型來客觀描述實際情形。這些問題將在以后的工作中再做專門的研究。

感謝上海理工大學(xué)李仁德老師，浙江師范大學(xué)胡兆龍老師和蘇黎世大學(xué)林堅洪博士的交流與討論。