楊文昌，王志乾，宋卓達，杜 聞，李勤文

（1. 中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2. 中國科學院大學，北京 100049）

引言

在工程實際中，例如航天測量船在海上運行時，處于同一基座的各測量設備之間在外力作用下總會產(chǎn)生三維相對角變形，分別為俯仰角（pitch）、方位角（yaw）、扭轉角（roll），最終會影響船載測量設備的測量精度[1-2]。其中扭轉角是指繞梁設備自身連線的角度變化，相對其他兩維角度測量難度要大得多，對于扭轉角的測量具有重要的意義[3-4]。扭轉變形目前存在多種測量方法。在這些方法中，光學測量方法是一種測量準確度、靈敏度非常高的非接觸測量方法，并得到了廣泛的應用[5]。利用雙光柵疊加生成的莫爾條紋，因為其能夠有效放大各種位移變化，可以大幅度提高設備變形的測量精度，現(xiàn)已被廣泛應用于角度和長度等物理量的測量中[6-7]。文獻[8-9]提出將莫爾條紋應用于扭轉變形的測量中，并取得了很高的測量精度。

中長焦距的光學透鏡和光學系統(tǒng)是天文望遠鏡、空間光學系統(tǒng)等裝置中廣泛使用的光學器件，由于此類元件焦距長，加工裝調(diào)難度大，使得不同光學系統(tǒng)之間的焦距值通常難以保持一致[10-12]。要實現(xiàn)扭轉角的非接觸測量，通常需要將2 個測量光柵放置于2 個自準直光學系統(tǒng)的焦面上，并且理想情況下兩光管焦距應該保持一致。因為焦距誤差導致莫爾條紋成像與理論公式存在偏差，從而給扭轉角的測量引入了誤差，所以需要從理論層面上進行系統(tǒng)校正。

本文針對莫爾條紋測量扭轉變形方案，分析了光學系統(tǒng)焦距誤差對于扭轉角測量精度的影響。

1 理論模型

1.1 扭轉角測量原理

測量模型原理如圖1 所示，光源、光柵1 固連在同軸上，設備發(fā)生扭轉變形時帶動光柵1 繞z 軸實現(xiàn)同步轉動。光線通過光學系統(tǒng)1 后形成準直條紋光束，并且理想情況下2 個光學系統(tǒng)的焦距相同，因此利用此光路可完成扭轉變形的非接觸測量，從而增加測量距離[13-14]。最終經(jīng)過光柵1 和光柵2 形成的莫爾條紋圖像被CCD 接收。

圖 1 測量原理圖Fig. 1 Principal diagram of torsion angle measurement

扭轉角非接觸測量是通過雙光柵干涉產(chǎn)生的莫爾條紋來構建理論模型的[15-16]。建立如圖2 所示直角坐標系，假設有2 塊黑白型長光柵尺，光柵面相互平行，光柵柵線間距分別為d1和d2，取光柵常數(shù)為d1的光柵G1 的任一柵線為y 軸，與其垂直的方向取為x 軸。那么兩光柵柵線夾角為θ，莫爾條紋之間距離為W，以此坐標系求取光柵疊合后的莫爾條紋方程。

通過圖2，根據(jù)平面幾何原理可以推導出莫爾條紋的寬度公式：

圖 2 兩光柵疊加產(chǎn)生的莫爾條紋坐標系Fig. 2 Moiré fringe coordinate system generated by two gratings superposition

在實際工程中，通常采用柵線間距d 相同的2 個光柵，以上公式可簡化為

由公式（2）可得光柵夾角的表達式如下所示：

由（3）式可知，只要求得莫爾條紋的寬度W 就可求得兩光柵的夾角θ，只要求得莫爾條紋的寬度W 變化，就可求得兩光柵的夾角θ 的變化。因此在用雙光柵產(chǎn)生的莫爾條紋進行扭轉角的測量時，設備間的扭轉變形帶動光柵轉動，根據(jù)莫爾條紋的間距變化，即可求解扭轉角。

1.2 光學系統(tǒng)焦距與扭轉角關系模型

取2 個光學系統(tǒng)焦距分別為f1、f2（其中f1＞f2），則兩焦距差異對光柵柵距的縮放作用σd可用下式表示：

將公式（4）帶入公式（1）可得帶有焦距的莫爾條紋寬度關系式：

則此時不同扭轉角度下對應的扭轉角為

通過公式（6）得出，由于受到2 個光學系統(tǒng)不同的焦距f1、f2的影響，扭轉角與莫爾條紋寬度之間關系式發(fā)生改變，對扭轉角的測量精度造成了影響。

對比公式（3）和（7）可得在不同光柵夾角下對應的扭轉角誤差為Δθ：

2 仿真分析

取2 個光學系統(tǒng)焦距差異分別為0.5%、1.0%、2.0%，2 個光柵柵距同為70 μm，利用公式（7）計算得到在不同光柵夾角下的扭轉角誤差曲線如圖3所示?？梢钥闯霎敼鈱W系統(tǒng)焦距存在差異時，在不同光柵夾角下計算所得各扭轉角要大于理想情況（焦距誤差為零）下的真實值，也即說明隨著焦距差異的增大，莫爾條紋的寬度變化要相對緩慢一些。在2 個光學系統(tǒng)焦距誤差為0.5%時，扭轉角測量誤差整體小于0.05°，而當焦距誤差增大至2%時，扭轉角的測量誤差平均增大近10 倍。說明扭轉角誤差隨焦距誤差呈現(xiàn)非線性變化，對測量精度影響較大。同時在同一變化曲線中，光柵夾角的測量誤差隨著光柵夾角的增大先減小后緩慢增大。理論模型誤差在1°～3°范圍內(nèi)變化尤為明顯，說明在小角度下焦距誤差對于扭轉角測量精度影響較大。

圖 3 扭轉角與焦距誤差關系曲線Fig. 3 Torsion angle and focal length error curve

3 實驗驗證

3.1 實驗裝置介紹

圖4 為設計的仿真實驗裝置，主要設備有：紅色發(fā)光二極管作為光源，光學系統(tǒng)1 的焦距為1 325 mm，光學系統(tǒng)2 的焦距為1 295 mm，2 個矩形測量光柵柵距同為70 μm，分辨率（pixel)為1 999 ×2 000、像元尺寸為4.8 μm×4.8 μm 的面陣CCD 以及圖像采集裝置，軸角編碼器采用的是海德漢MRP5080，測量精度優(yōu)于2.5″。圖5 為采集獲得的莫爾條紋圖像。

圖 4 實驗設備布局Fig. 4 Experimental equipment layout

圖 5 采集得到的莫爾條紋圖像Fig. 5 Captured Moiré fringe image

整個裝置的操作原理如下：控制旋轉機構轉動，模擬扭轉變形，同時帶動光柵1 和軸角編碼器發(fā)生轉動，通過軸角編碼器可以獲得光柵1 發(fā)生的轉動角度。2 個自準直光學系統(tǒng)焦距存在差異，在像面處形成大小不同的光柵像。在不同角度下，疊加在CCD 上的莫爾條紋圖像發(fā)生變化，然后從零位開始每隔1°采集對應圖像，并將編碼器轉動的角度作為真值，計算焦距在不同光柵夾角下存在的誤差。

3.2 實驗結果分析

表1 是將編碼器轉動角度作為真值，光柵夾角在1°～10°范圍內(nèi)進行測量的結果?？梢钥闯? 個光學系統(tǒng)的焦距差異使得扭轉角的整體測量誤差較大，在1°～3°的小角度范圍內(nèi)這種現(xiàn)象尤為明顯。在光柵夾角為1°時測量誤差達到最大值，測量精度下降了67%。因此在利用莫爾條紋測量扭轉變形時，2 個光學系統(tǒng)的焦距誤差會嚴重影響扭轉變形的測量精度。

表 1 實驗結果Table 1 Experimental results

4 結論

本文建立了光學系統(tǒng)焦距對扭轉角測量精度影響的理論模型，通過分析得出在非接觸測量時光學系統(tǒng)焦距誤差使得莫爾條紋成像規(guī)律發(fā)生改變，從而影響了扭轉變形的測量精度。通過實驗獲取的計算結果，扭轉角最大測量誤差達到0.67°。與理論仿真相對照，證明了光學系統(tǒng)焦距對扭轉角測量精度，尤其是在小角度下有著較大影響。因此在利用莫爾條紋進行扭轉變形測量時，應對光學系統(tǒng)焦距進行精確測量，并進行相應補償，從而將光學系統(tǒng)焦距誤差控制在合理目標范圍內(nèi)。