楊文昌，王志乾，宋卓達(dá)，杜 聞，李勤文

（1. 中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

引言

在工程實(shí)際中，例如航天測(cè)量船在海上運(yùn)行時(shí)，處于同一基座的各測(cè)量設(shè)備之間在外力作用下總會(huì)產(chǎn)生三維相對(duì)角變形，分別為俯仰角（pitch）、方位角（yaw）、扭轉(zhuǎn)角（roll），最終會(huì)影響船載測(cè)量設(shè)備的測(cè)量精度[1-2]。其中扭轉(zhuǎn)角是指繞梁設(shè)備自身連線的角度變化，相對(duì)其他兩維角度測(cè)量難度要大得多，對(duì)于扭轉(zhuǎn)角的測(cè)量具有重要的意義[3-4]。扭轉(zhuǎn)變形目前存在多種測(cè)量方法。在這些方法中，光學(xué)測(cè)量方法是一種測(cè)量準(zhǔn)確度、靈敏度非常高的非接觸測(cè)量方法，并得到了廣泛的應(yīng)用[5]。利用雙光柵疊加生成的莫爾條紋，因?yàn)槠淠軌蛴行Х糯蟾鞣N位移變化，可以大幅度提高設(shè)備變形的測(cè)量精度，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于角度和長(zhǎng)度等物理量的測(cè)量中[6-7]。文獻(xiàn)[8-9]提出將莫爾條紋應(yīng)用于扭轉(zhuǎn)變形的測(cè)量中，并取得了很高的測(cè)量精度。

中長(zhǎng)焦距的光學(xué)透鏡和光學(xué)系統(tǒng)是天文望遠(yuǎn)鏡、空間光學(xué)系統(tǒng)等裝置中廣泛使用的光學(xué)器件，由于此類(lèi)元件焦距長(zhǎng)，加工裝調(diào)難度大，使得不同光學(xué)系統(tǒng)之間的焦距值通常難以保持一致[10-12]。要實(shí)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)角的非接觸測(cè)量，通常需要將2 個(gè)測(cè)量光柵放置于2 個(gè)自準(zhǔn)直光學(xué)系統(tǒng)的焦面上，并且理想情況下兩光管焦距應(yīng)該保持一致。因?yàn)榻咕嗾`差導(dǎo)致莫爾條紋成像與理論公式存在偏差，從而給扭轉(zhuǎn)角的測(cè)量引入了誤差，所以需要從理論層面上進(jìn)行系統(tǒng)校正。

本文針對(duì)莫爾條紋測(cè)量扭轉(zhuǎn)變形方案，分析了光學(xué)系統(tǒng)焦距誤差對(duì)于扭轉(zhuǎn)角測(cè)量精度的影響。

1 理論模型

1.1 扭轉(zhuǎn)角測(cè)量原理

測(cè)量模型原理如圖1 所示，光源、光柵1 固連在同軸上，設(shè)備發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)帶動(dòng)光柵1 繞z 軸實(shí)現(xiàn)同步轉(zhuǎn)動(dòng)。光線通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)1 后形成準(zhǔn)直條紋光束，并且理想情況下2 個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的焦距相同，因此利用此光路可完成扭轉(zhuǎn)變形的非接觸測(cè)量，從而增加測(cè)量距離[13-14]。最終經(jīng)過(guò)光柵1 和光柵2 形成的莫爾條紋圖像被CCD 接收。

圖 1 測(cè)量原理圖Fig. 1 Principal diagram of torsion angle measurement

扭轉(zhuǎn)角非接觸測(cè)量是通過(guò)雙光柵干涉產(chǎn)生的莫爾條紋來(lái)構(gòu)建理論模型的[15-16]。建立如圖2 所示直角坐標(biāo)系，假設(shè)有2 塊黑白型長(zhǎng)光柵尺，光柵面相互平行，光柵柵線間距分別為d1和d2，取光柵常數(shù)為d1的光柵G1 的任一柵線為y 軸，與其垂直的方向取為x 軸。那么兩光柵柵線夾角為θ，莫爾條紋之間距離為W，以此坐標(biāo)系求取光柵疊合后的莫爾條紋方程。

通過(guò)圖2，根據(jù)平面幾何原理可以推導(dǎo)出莫爾條紋的寬度公式：

圖 2 兩光柵疊加產(chǎn)生的莫爾條紋坐標(biāo)系Fig. 2 Moiré fringe coordinate system generated by two gratings superposition

在實(shí)際工程中，通常采用柵線間距d 相同的2 個(gè)光柵，以上公式可簡(jiǎn)化為

由公式（2）可得光柵夾角的表達(dá)式如下所示：

由（3）式可知，只要求得莫爾條紋的寬度W 就可求得兩光柵的夾角θ，只要求得莫爾條紋的寬度W 變化，就可求得兩光柵的夾角θ 的變化。因此在用雙光柵產(chǎn)生的莫爾條紋進(jìn)行扭轉(zhuǎn)角的測(cè)量時(shí)，設(shè)備間的扭轉(zhuǎn)變形帶動(dòng)光柵轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)莫爾條紋的間距變化，即可求解扭轉(zhuǎn)角。

1.2 光學(xué)系統(tǒng)焦距與扭轉(zhuǎn)角關(guān)系模型

取2 個(gè)光學(xué)系統(tǒng)焦距分別為f1、f2（其中f1＞f2），則兩焦距差異對(duì)光柵柵距的縮放作用σd可用下式表示：

將公式（4）帶入公式（1）可得帶有焦距的莫爾條紋寬度關(guān)系式：

則此時(shí)不同扭轉(zhuǎn)角度下對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角為

通過(guò)公式（6）得出，由于受到2 個(gè)光學(xué)系統(tǒng)不同的焦距f1、f2的影響，扭轉(zhuǎn)角與莫爾條紋寬度之間關(guān)系式發(fā)生改變，對(duì)扭轉(zhuǎn)角的測(cè)量精度造成了影響。

對(duì)比公式（3）和（7）可得在不同光柵夾角下對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角誤差為Δθ：

2 仿真分析

取2 個(gè)光學(xué)系統(tǒng)焦距差異分別為0.5%、1.0%、2.0%，2 個(gè)光柵柵距同為70 μm，利用公式（7）計(jì)算得到在不同光柵夾角下的扭轉(zhuǎn)角誤差曲線如圖3所示?？梢钥闯霎?dāng)光學(xué)系統(tǒng)焦距存在差異時(shí)，在不同光柵夾角下計(jì)算所得各扭轉(zhuǎn)角要大于理想情況（焦距誤差為零）下的真實(shí)值，也即說(shuō)明隨著焦距差異的增大，莫爾條紋的寬度變化要相對(duì)緩慢一些。在2 個(gè)光學(xué)系統(tǒng)焦距誤差為0.5%時(shí)，扭轉(zhuǎn)角測(cè)量誤差整體小于0.05°，而當(dāng)焦距誤差增大至2%時(shí)，扭轉(zhuǎn)角的測(cè)量誤差平均增大近10 倍。說(shuō)明扭轉(zhuǎn)角誤差隨焦距誤差呈現(xiàn)非線性變化，對(duì)測(cè)量精度影響較大。同時(shí)在同一變化曲線中，光柵夾角的測(cè)量誤差隨著光柵夾角的增大先減小后緩慢增大。理論模型誤差在1°～3°范圍內(nèi)變化尤為明顯，說(shuō)明在小角度下焦距誤差對(duì)于扭轉(zhuǎn)角測(cè)量精度影響較大。

圖 3 扭轉(zhuǎn)角與焦距誤差關(guān)系曲線Fig. 3 Torsion angle and focal length error curve

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置介紹

圖4 為設(shè)計(jì)的仿真實(shí)驗(yàn)裝置，主要設(shè)備有：紅色發(fā)光二極管作為光源，光學(xué)系統(tǒng)1 的焦距為1 325 mm，光學(xué)系統(tǒng)2 的焦距為1 295 mm，2 個(gè)矩形測(cè)量光柵柵距同為70 μm，分辨率（pixel)為1 999 ×2 000、像元尺寸為4.8 μm×4.8 μm 的面陣CCD 以及圖像采集裝置，軸角編碼器采用的是海德漢MRP5080，測(cè)量精度優(yōu)于2.5″。圖5 為采集獲得的莫爾條紋圖像。

圖 4 實(shí)驗(yàn)設(shè)備布局Fig. 4 Experimental equipment layout

圖 5 采集得到的莫爾條紋圖像Fig. 5 Captured Moiré fringe image

整個(gè)裝置的操作原理如下：控制旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)，模擬扭轉(zhuǎn)變形，同時(shí)帶動(dòng)光柵1 和軸角編碼器發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)軸角編碼器可以獲得光柵1 發(fā)生的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。2 個(gè)自準(zhǔn)直光學(xué)系統(tǒng)焦距存在差異，在像面處形成大小不同的光柵像。在不同角度下，疊加在CCD 上的莫爾條紋圖像發(fā)生變化，然后從零位開(kāi)始每隔1°采集對(duì)應(yīng)圖像，并將編碼器轉(zhuǎn)動(dòng)的角度作為真值，計(jì)算焦距在不同光柵夾角下存在的誤差。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

表1 是將編碼器轉(zhuǎn)動(dòng)角度作為真值，光柵夾角在1°～10°范圍內(nèi)進(jìn)行測(cè)量的結(jié)果?？梢钥闯? 個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的焦距差異使得扭轉(zhuǎn)角的整體測(cè)量誤差較大，在1°～3°的小角度范圍內(nèi)這種現(xiàn)象尤為明顯。在光柵夾角為1°時(shí)測(cè)量誤差達(dá)到最大值，測(cè)量精度下降了67%。因此在利用莫爾條紋測(cè)量扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，2 個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的焦距誤差會(huì)嚴(yán)重影響扭轉(zhuǎn)變形的測(cè)量精度。

表 1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 1 Experimental results

4 結(jié)論

本文建立了光學(xué)系統(tǒng)焦距對(duì)扭轉(zhuǎn)角測(cè)量精度影響的理論模型，通過(guò)分析得出在非接觸測(cè)量時(shí)光學(xué)系統(tǒng)焦距誤差使得莫爾條紋成像規(guī)律發(fā)生改變，從而影響了扭轉(zhuǎn)變形的測(cè)量精度。通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取的計(jì)算結(jié)果，扭轉(zhuǎn)角最大測(cè)量誤差達(dá)到0.67°。與理論仿真相對(duì)照，證明了光學(xué)系統(tǒng)焦距對(duì)扭轉(zhuǎn)角測(cè)量精度，尤其是在小角度下有著較大影響。因此在利用莫爾條紋進(jìn)行扭轉(zhuǎn)變形測(cè)量時(shí)，應(yīng)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)焦距進(jìn)行精確測(cè)量，并進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償，從而將光學(xué)系統(tǒng)焦距誤差控制在合理目標(biāo)范圍內(nèi)。