張 龍，王孝坤，程 強(qiáng)，胡海翔

（1. 中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所 中國(guó)科學(xué)院光學(xué)系統(tǒng)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 吉林 長(zhǎng)春 130033；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文學(xué)家迫切需求更高分辨率的天文望遠(yuǎn)鏡來(lái)探索宇宙的奧秘。增大望遠(yuǎn)鏡的主鏡口徑是提高觀測(cè)分辨率和集光能力的有效手段[1-2]。然而隨著主鏡口徑的不斷增大，給望遠(yuǎn)鏡的制造、加工、檢測(cè)、集成裝調(diào)等技術(shù)都帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn)[3]。為了解決這一技術(shù)難題，科學(xué)家提出采用拼接式主鏡代替單塊主鏡的方案[4-5]。其中，地基望遠(yuǎn)鏡KECK I/II、GTC、GMT[6]、TMT[7]、E-ELT[8]、天基望遠(yuǎn)鏡JWST[9]等皆采用拼接式主鏡的設(shè)計(jì)方案。雖然拼接式主鏡的設(shè)計(jì)具有很多優(yōu)勢(shì)，但如何選擇合適的構(gòu)型以及如何檢測(cè)和調(diào)整拼接失調(diào)所引起的平移誤差、傾斜誤差成為必須要解決的難題。

為了使拼接式望遠(yuǎn)鏡的分辨率接近等效口徑的衍射極限，首先分析拼接式主鏡構(gòu)型、平移誤差、傾斜誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響。目前，國(guó)外Chanan G[10]、Yaitskova N[11]等人通過(guò)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和斯特列爾比（Strehl ratio）[12]簡(jiǎn)單分析了平移誤差、傾斜誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響，但都沒(méi)有研究拼接式主鏡模型建立的方式和分析拼接式主鏡構(gòu)型對(duì)衍射效應(yīng)的影響。在國(guó)內(nèi)，針對(duì)拼接式望遠(yuǎn)鏡的研究主要集中在平移誤差、傾斜誤差的檢測(cè)技術(shù)上[13-14]，對(duì)拼接式主鏡的衍射效應(yīng)研究較少，其中，李毅超[15]等人分析了單個(gè)子鏡在不同平移誤差、傾斜誤差下拼接主鏡的衍射效應(yīng)，得到的結(jié)論為分析拼接鏡系統(tǒng)的成像質(zhì)量提供了依據(jù)。

本文從標(biāo)量衍射的原理入手，分析了拼接式光學(xué)系統(tǒng)的成像原理。基于齊次坐標(biāo)變換建立了拼接式主鏡的光瞳模型，并利用拼接主鏡的構(gòu)型參數(shù)、遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度分析了拼接式主鏡構(gòu)型對(duì)衍射效應(yīng)的影響。然后以典型的拼接主鏡構(gòu)型為例，分別仿真分析了單個(gè)子鏡在不同平移誤差、傾斜誤差下拼接主鏡遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度，并利用斯特列爾比仿真分析了拼接主鏡整體平移誤差、傾斜誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響。分析結(jié)果為發(fā)展拼接式望遠(yuǎn)鏡提供了技術(shù)支持。

1 拼接式光學(xué)系統(tǒng)的成像原理

如圖1 所示，對(duì)于任意一個(gè)光學(xué)成像系統(tǒng)模型，均可以簡(jiǎn)化為由物面、系統(tǒng)的入瞳和出瞳、像面3 部分組成。其中，（出射）光瞳函數(shù) p(x,y)決定了光學(xué)成像系統(tǒng)的主要性質(zhì)。

圖 1 成像系統(tǒng)的普遍模型Fig. 1 Generalized model of imaging system

對(duì)于拼接式望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，拼接主鏡的光瞳函數(shù)p(x,y)可以描述為[16-17]

式中： pn(x,y)表示每個(gè)孔徑的光瞳函數(shù)，對(duì)應(yīng)的中心坐標(biāo)為 un； δun表示基于齊次坐標(biāo)變換對(duì)光瞳的平移和旋轉(zhuǎn)。每個(gè)孔徑光瞳函數(shù)的模 Π(u)為

基于澤尼克多項(xiàng)式[18]，每個(gè)孔徑的光瞳函數(shù)pn(u)可表示為

式中： j2=?1； αkn是 孔徑 n的 像差系數(shù)； Zk(u)是澤尼克多項(xiàng)式的項(xiàng)。對(duì)于拼接式望遠(yuǎn)鏡，特有的波前誤差 為 pistons(k=1)和 tips/tilts(k={2,3})，因此 將 對(duì)kmax=3的情況展開(kāi)深入研究。

對(duì)于非相干、準(zhǔn)單色光照明，非相干成像系統(tǒng)對(duì)于光強(qiáng)這一物理量具有線性空間不變性。像強(qiáng)度 Ii是強(qiáng)度脈沖響應(yīng) hI與理想的像強(qiáng)度 Ig的卷積：

式中： hI定義為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（point spread function，PSF），是通過(guò)光瞳函數(shù) p(x,y)作傅里葉變換并取模的平方得到。

2 拼接式主鏡光瞳模型建立

參考KECK、GMT、JWST 等拼接式望遠(yuǎn)鏡的主鏡結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)同心圓環(huán)形結(jié)構(gòu)（由一個(gè)中心鏡和M環(huán)相同子鏡拼接組成）的主鏡模型，如圖2 所示。令環(huán)數(shù) M=1，忽略孔徑遮攔問(wèn)題，通過(guò)齊次坐標(biāo)變換對(duì)拼接主鏡的光瞳進(jìn)行建模。假設(shè)拼接主鏡等效口徑為Φ (Φ=500 mm)， 主鏡孔徑間隔為d(d=10 mm)， 每 個(gè) 孔 徑 n(n=7)的 半 徑 為 R(R=160 mm)。因此，每個(gè)孔徑光瞳函數(shù) pn的模 Π可以描述為

式中： u2=x2+y2（ x,y 都是歸一化的）。對(duì)中心鏡0 進(jìn)行建模，然后對(duì)原始坐標(biāo)系 oxy進(jìn)行平移變換，計(jì)算公式如下：

式中： ?x、 ?y是 平移矢量，在新坐標(biāo)系 o′x′y′下，可以對(duì)子鏡1 進(jìn)行建模。對(duì)原始坐標(biāo)系o xy進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)角為 θ(θ=60°) ，得到坐標(biāo)系 o′′x′′y′′，計(jì)算公式為

然后再對(duì) 坐標(biāo)系 o′′x′′y′′進(jìn)行平移變換得到坐標(biāo)系 o′′′x′′′y′′′，在坐標(biāo)系 o′′′x′′′y′′′下可以 對(duì)子鏡2 進(jìn)行建模。同理，依次完成子鏡3、4、5、6 的光瞳建模。

圖 2 典型拼接主鏡光瞳模型Fig. 2 Pupil model of typical segmented primary mirror

3 拼接式主鏡構(gòu)型對(duì)衍射效應(yīng)的影響

根據(jù)典型拼接主鏡光瞳模型的建立過(guò)程，基于齊次坐標(biāo)變換構(gòu)造不同孔徑形狀、孔徑間隔的拼接主鏡模型，然后分別對(duì)其衍射效應(yīng)進(jìn)行仿真分析。

3.1 孔徑形狀對(duì)衍射效應(yīng)的影響

假設(shè)拼接主鏡的等效口徑 Φ=500 mm，孔徑間隔d=10 mm ，焦距 f =700 mm。如圖3（aI）所示，對(duì)等效口徑的光瞳進(jìn)行建模，記為Circle 型，其遠(yuǎn)場(chǎng)衍射強(qiáng)度分布I0如圖3（aII）所示，將其用于歸一化處理。然后建立如圖3（bI）、3（cI）、3（dI）所示的拼接主鏡光瞳模型，分別記為Hexagon Sector 型、Hexagon 型和Circle 7 型，其遠(yuǎn)場(chǎng)衍射對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布I（I1、I2、I3）分別如圖3（bII）、3（cII）、3（dII）所示。由于拼接式主鏡的光瞳形狀接近圓形，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的中心亮斑也接近于圓形。但是由于孔徑形狀不同，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的旁瓣能量分布不同，其衍射效應(yīng)也不同。

為了進(jìn)一步分析孔徑形狀對(duì)衍射效應(yīng)的影響，一方面，數(shù)值仿真了如圖4 所示的拼接主鏡（不同孔徑形狀）遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)歸一化相對(duì)強(qiáng)度（ I/I0）曲線；另一方面，利用幾何關(guān)系求得不同孔徑形狀的構(gòu)型參數(shù)（其中，填充因子是有效孔徑和等效孔徑的比值： F=S/S0；斯特列爾比是指所求點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的峰值強(qiáng)度與完美的衍射極限點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的峰值強(qiáng)度之比）如表1 所示。從表1 可知，拼接主鏡的填充因子越高，斯特列爾比的值越大，系統(tǒng)成像性能越好。

圖 3 拼接主鏡（不同孔徑形狀）光瞳模型及其遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)Fig. 3 Pupil models of segmented primary mirror (different aperture shapes) and their point spread functions for far-field diffraction

圖 4 拼接主鏡（不同孔徑形狀）遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)歸一化相對(duì)強(qiáng)度Fig. 4 Normalized relative intensity of point spread functions for far-field diffraction in segmented primary mirror (different aperture shapes)

表 1 拼接主鏡（不同孔徑形狀）構(gòu)型參數(shù)及衍射效應(yīng)Table 1 Configuration parameters and diffraction effects of segmented primary mirror (different aperture shapes)

3.2 孔徑間隔對(duì)衍射效應(yīng)的影響

以Circle 7 型拼接主鏡為例，假設(shè)等效口徑為Φ=500 mm， 焦距 f =700 mm。如圖5（aI）、5（bI）、5（cI）、5（dI）所示，建立孔徑間隔d=0、d=10 mm、d=50 mm、d=100 mm 的拼接主鏡光瞳模型，其遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的強(qiáng)度分布（I1、I2、I3、I4）如圖5（aII）、5（bII）、5（cII）、5（dII）所示。以孔徑間隔d=0 時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的強(qiáng)度分布I1為基準(zhǔn)作歸一化處理，得到如圖5（e）所示的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的歸一化相對(duì)強(qiáng)度曲線。從圖5 可知,隨著主鏡孔徑間隔的增大，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的旁瓣能量增大，能量集中度下降，系統(tǒng)成像質(zhì)量下降。

為了進(jìn)一步分析孔徑間隔對(duì)衍射效應(yīng)的影響，利用幾何關(guān)系求得如表2 所示的不同孔徑間隔的構(gòu)型參數(shù)。綜合分析可知：在等效口徑固定的前提下，主鏡孔徑間隔增大，一方面使旁瓣能量增加，能量集中度下降；另一方面使每個(gè)孔徑的直徑減小，填充因子變小。二者共同作用使成像質(zhì)量下降。當(dāng)孔徑間隔小于3 mm 時(shí)，斯特列爾比大于0.95；當(dāng)孔徑間隔小于6 mm 時(shí)，斯特列爾比大于0.9；當(dāng)孔徑間隔小于12 mm 時(shí)，斯特列爾比大于0.8。

4 平移誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響

圖 5 拼接主鏡（不同孔徑間隔）光瞳模型、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度Fig. 5 Pupil models, point spread functions and their normalized relative intensity of segmented primary mirror (different aperture intervals)

表 2 拼接主鏡（不同孔徑間隔）構(gòu)型參數(shù)及其衍射效應(yīng)Table 2 Configuration parameters and diffraction effects of segmented primary mirror (different aperture intervals)

Piston誤 差是指子鏡沿光軸方向（ z軸）發(fā)生平移所引起的波前誤差（其為子鏡平移誤差的2倍）。以Circle 7 型拼接主鏡為例，假設(shè)等效口徑Φ=500 mm， 孔徑間隔 d=10 mm， 焦距 f =700 mm。首先通過(guò)仿真子鏡1（見(jiàn)圖2）在不同 piston誤差下拼接主鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度來(lái)分析平移誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響。如圖6所示，當(dāng)piston=0時(shí)，此時(shí)光強(qiáng)最集中、光最強(qiáng)（將其用于計(jì)算歸一化相對(duì)強(qiáng)度）。隨著平移誤差的增大，能量分布逐漸下移，導(dǎo)致中心光斑能量逐漸降低。當(dāng)piston = 0.5λ 時(shí)，光斑上下呈對(duì)稱分布，能量相等，但都小于 piston=0時(shí)的光強(qiáng)。隨著平移誤差進(jìn)一步增大，能量分布繼續(xù)下移，直到piston = 1λ 時(shí)，形成一個(gè)與 piston=0時(shí)能量分布一樣的光斑。平移誤差超過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)后，衍射光斑呈周期性變化。

為了進(jìn)一步分析平移誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響，進(jìn)行拼接主鏡整體平移誤差的研究。以中心鏡為基準(zhǔn)，子鏡的 piston誤差的均方根值（root mean square，RMS）為 σ，假設(shè)各子鏡的 piston誤差服從(0,σ2)高 斯分布，拼接主鏡斯特列爾比 S與子鏡piston 誤差均方根值 σ的關(guān)系表達(dá)式為[10]

根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值仿真 (N=7)，仿真結(jié)果如圖7 所示。由圖7 可見(jiàn)，隨著 piston誤差均方根值的不斷增大，斯特列爾比呈下降趨勢(shì)，最終穩(wěn)定 在 1/7 ≈0.142 。當(dāng) piston誤 差 的 均 方 根 值 小于0.039λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.95；當(dāng) piston誤差的均方根值小于0.056λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.9；當(dāng)piston誤差的均方根值小于0.082λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.8。

圖 6 拼接主鏡（子鏡1 在不同piston 誤差下）的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度Fig. 6 Point spread functions and their normalized relative intensity of segmented primary mirror (sub-mirror 1 with different piston errors)

圖 7 斯特列爾比與piston 均方根誤差關(guān)系圖Fig. 7 Relation diagram of Strehl ratio and piston RMS error

5 傾斜誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響

Tip/tilt誤 差是指子鏡繞 x,y軸旋轉(zhuǎn)所引起的波前誤差。以Circle 7 型拼接主鏡為例，假設(shè)等效口徑為 Φ=500 mm ，孔徑間隔為 d=10 mm，焦距為f =700 mm 。以 tilt方向的波前誤差為例，通過(guò)仿真子鏡1（見(jiàn)圖2）在不同 tilt誤差下拼接主鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度來(lái)分析傾斜誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響，如圖8 所示。當(dāng) tilt=0時(shí)，此時(shí)光強(qiáng)最集中、光最強(qiáng)，將其用于計(jì)算歸一化相對(duì)強(qiáng)度。隨著傾斜誤差逐漸增大，由于干涉效應(yīng)，中心光斑能量逐漸減小。當(dāng)傾斜誤差進(jìn)一步增大，中心光斑能量先是增加（小于 tilt=0時(shí)的能量），然后減小，同時(shí)下方產(chǎn)生新的光斑并且逐漸遠(yuǎn)離中心光斑。

圖 8 拼接主鏡（子鏡1 在不同tilt 誤差下）的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度Fig. 8 Point spread functions and their normalized relative intensity of segmented primary mirror (sub-mirror 1 with different tilt errors)

為了進(jìn)一步分析傾斜誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響，下面進(jìn)行拼接主鏡整體傾斜誤差的研究。子鏡的tip-tilt誤差的均方根值為 σ，假設(shè)各子鏡的tip-tilt誤差服從 (0,σ2)高 斯分布，當(dāng) σ很小時(shí)，拼接主鏡斯特列爾比 S 與子鏡 tip-tilt誤 差均方根值 σ的關(guān)系表達(dá)式為[11]

式中 γ′為形狀因子，決定于孔徑的幾何形狀。對(duì)于圓形孔徑， γ′為1.33。根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值仿真(N=7)，結(jié)果如圖9 所示。由圖9 可以看出，隨著tip-tilt誤差均方根值的不斷增大，斯特列爾比呈下降趨勢(shì)。當(dāng) tip-tilt誤差的均方根值小于0.036λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.95；當(dāng) tip-tilt誤差的均方根值小于0.052λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.9；當(dāng) tip-tilt誤差的均方根值小于0.077λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.8。

圖 9 斯特列爾比與tip-tilt 均方根誤差關(guān)系圖Fig. 9 Relation diagram of Strehl ratio and tip-tilt RMS error

6 結(jié)論

本文基于標(biāo)量衍射研究了拼接式光學(xué)系統(tǒng)的成像原理，采用齊次坐標(biāo)變換建立了等效口徑Φ=500 mm、不同孔徑形狀、不同孔徑間隔的光瞳模型。利用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其歸一化相對(duì)強(qiáng)度、斯特列爾比等遠(yuǎn)場(chǎng)特性詳細(xì)分析了拼接主鏡的構(gòu)型、平移誤差、傾斜誤差對(duì)衍射效應(yīng)的影響。分析結(jié)果顯示：對(duì)于不同構(gòu)型的拼接主鏡，其衍射效應(yīng)受拼接主鏡的填充因子和孔徑間隔共同影響，填充因子越高，孔徑間隔越小，系統(tǒng)成像質(zhì)量越好；對(duì)于單個(gè)子鏡，平移誤差對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的影響具有周期性；對(duì)于拼接主鏡整體，當(dāng)子鏡 piston誤差的均方根值小于0.039λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.95；當(dāng)子鏡 tip-tilt誤差的均方根值小于0.036λ 時(shí)，斯特列爾比大于0.95。分析結(jié)果對(duì)未來(lái)拼接式望遠(yuǎn)鏡成像性能分析、主鏡的構(gòu)型設(shè)計(jì)、平移誤差和傾斜誤差的檢測(cè)與調(diào)整等具有一定的指導(dǎo)意義。