王 鑫，楊斌鑫

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

相場(chǎng)方法作為一種免于追蹤固-液界面的模擬方法，一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究聚合物結(jié)晶的重要工具，但是傳統(tǒng)的相場(chǎng)法在求解界面精度問(wèn)題時(shí)，計(jì)算過(guò)程中需要極高精度的解析度，這樣會(huì)使實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果發(fā)散。通過(guò)耦合格子玻爾茲曼方法，避免了高精度的解析運(yùn)算，允許時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置的較大，并且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

在實(shí)際加工生產(chǎn)中，熔體降溫凝固過(guò)程中會(huì)發(fā)生對(duì)流現(xiàn)象，聚合物熔體會(huì)受到流場(chǎng)的影響，結(jié)果與靜態(tài)結(jié)晶相比較，會(huì)直接影響到聚合物制品的最終形狀和作用[1]。相對(duì)于實(shí)驗(yàn)理想狀態(tài)下無(wú)流場(chǎng)的情景，流動(dòng)誘導(dǎo)聚合物結(jié)晶生長(zhǎng)是聚合物制品加工成型的關(guān)鍵之處，更具有實(shí)際意義。目前，流動(dòng)誘導(dǎo)聚合物結(jié)晶學(xué)包含結(jié)晶動(dòng)力學(xué)、結(jié)晶流變學(xué)和結(jié)晶形態(tài)學(xué)三個(gè)方面[2]，前兩個(gè)方面的研究成果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)較為豐富，而對(duì)于流動(dòng)影響聚合物結(jié)晶形態(tài)的數(shù)值模擬較少?；贙arma[3]的純擴(kuò)散相場(chǎng)模型之上，Tong等[4]和Beckermann等[5]構(gòu)建了耦合流場(chǎng)的相場(chǎng)模型，并在強(qiáng)迫對(duì)流的實(shí)驗(yàn)情景下對(duì)枝晶的生長(zhǎng)形貌進(jìn)行了數(shù)值模擬；Huo H等[6]發(fā)現(xiàn)在不同過(guò)冷度下，剪切流場(chǎng)與聚丙烯晶體生長(zhǎng)速率的關(guān)系，而Keller等[7]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剪切速度為某一臨界值時(shí)，完全伸展的鏈段會(huì)變成串晶。受到實(shí)驗(yàn)環(huán)境以及數(shù)據(jù)誤差的影響和限制，流場(chǎng)下的聚合物枝晶生長(zhǎng)還存在需要解決的問(wèn)題[8]。

本文在Wang等[9]的相場(chǎng)模型基礎(chǔ)上，使用了張晨輝等[10]的改進(jìn)模型來(lái)建立相場(chǎng)控制方程，使用多松弛的格子玻爾茲曼方程模擬溫度控制方程并耦合流場(chǎng)，研究流速，界面厚度，驅(qū)動(dòng)力參數(shù)對(duì)聚合物(ipp)結(jié)晶形貌的影響。

1 格子-動(dòng)力學(xué)耦合模型

1.1 相場(chǎng)方程

模擬過(guò)程中，本文考慮聚合物熔體是均勻的，從而忽略相變分離所引起的濃度變化。根據(jù)張晨輝等的相場(chǎng)模型，相場(chǎng)控制方程為：

(1)

1.2 耦合流場(chǎng)的溫度方程

使用D2Q9的多松弛格子玻爾茲曼方程代替一般的溫度場(chǎng)方程，避免了在低過(guò)冷度下，由于尖端速度變小使得對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的要求更為嚴(yán)苛[13]。通過(guò)運(yùn)用格子玻爾茲曼方程，允許時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置的較大。動(dòng)力學(xué)溫度分布函數(shù)[14]為：

fi(x+cΔt,t+Δt)-fi(x,t)=

-M-1S[m(x,t)-meq(x,t)]

(2)

M=

(3)

對(duì)角矩陣S用緊縮法可寫(xiě)成

S=

diag(1.0,1.4,1.4,s3,1.2,s5,1.2,1.2,s7,s8)

(4)

其中，s7=s8=2/(1+6v)，v為流體運(yùn)動(dòng)粘度，s3和s8可以為任意值，此處設(shè)為1.0.

則耦合流場(chǎng)的溫度控制方程為：

(5)

方程(1)和方程(5)構(gòu)成了格子-動(dòng)力學(xué)耦合模型。

2 耦合模型的數(shù)值解

2.1 耦合模型無(wú)量綱化

(6)

(7)

2.2 初始條件和邊界條件

在數(shù)值模擬中假設(shè)過(guò)冷后的聚合物熔體均勻的鋪滿整個(gè)二維計(jì)算區(qū)域，在二維求解區(qū)域的中心有一個(gè)半徑為r的初始晶核，且晶核內(nèi)部相場(chǎng)Ψ的值為ξ0，在晶核外部相場(chǎng)Ψ的值為0，整個(gè)求解區(qū)域的初始溫度為0，則初始條件為：

x2+y2≤r2，ψ=ξ0

x2+y2≥r2，ψ=0

3 數(shù)值模擬

3.1 流速對(duì)枝晶形貌的影響

圖1 不同流速下對(duì)結(jié)晶聚合物的形態(tài)Fig.1 Morphology of crystalline polymer under different flow velocity

3.2 界面厚度對(duì)枝晶形貌的影響

圖2所示在同一時(shí)間，相同流速，相同實(shí)驗(yàn)溫度，不同界面厚度下的聚合物結(jié)晶形貌。在時(shí)間t=3 000 Δt下，(a)，(b)，(c)，(d)的界面厚度分別為ε=0.6；ε=0.8；ε=1.0；ε=1.2.觀察得出，隨著界面厚度的增加，順流方向枝晶尖端的半徑和成長(zhǎng)速率都會(huì)隨之增長(zhǎng)，結(jié)晶聚合物整體生長(zhǎng)加速，二次分支更加茂密，晶體越發(fā)碩大。

圖2 不同界面厚度下對(duì)結(jié)晶聚合物的形態(tài)Fig.2 Morphology of crystalline polymer with different interface thickness in flow field

3.3 驅(qū)動(dòng)力參數(shù)對(duì)枝晶形貌的影響

圖3所示在同一時(shí)間，流速相等，實(shí)驗(yàn)溫度一定，驅(qū)動(dòng)力參數(shù)不同的條件下的聚合物枝晶形貌。時(shí)間為t=3 000 Δt，(a)，(b)，(c)，(d)的驅(qū)動(dòng)力參數(shù)W分別為W=1.0；W=2.0；W=3.0；W=4.0.由圖3觀察到，隨著驅(qū)動(dòng)力參數(shù)W的增加，晶體越來(lái)越大，生長(zhǎng)越快，與增加界面厚度出現(xiàn)相同的情況，二次分枝生長(zhǎng)更為茂密，迎流方向和順流方向的枝晶都生長(zhǎng)出許多細(xì)小分枝。由此可見(jiàn)，適當(dāng)?shù)脑龃篁?qū)動(dòng)力參數(shù)的數(shù)值，可以促進(jìn)整體結(jié)晶聚合物的生長(zhǎng)和枝晶的多次分枝。

圖3 不同驅(qū)動(dòng)力參數(shù)下對(duì)結(jié)晶聚合物的形態(tài)Fig.3 Morphology of crystalline polymer with different driving force parameter in flow field

4 總結(jié)

使用新建立的格子-動(dòng)力學(xué)耦合模型，數(shù)值模擬了不完全結(jié)晶聚合物(ipp)在復(fù)雜流場(chǎng)下的結(jié)晶形態(tài)，并分析各個(gè)參數(shù)對(duì)結(jié)晶形貌的影響，得出結(jié)論：(1)隨著流速的增加，順流方向的枝晶生長(zhǎng)得到促進(jìn)，逆流方向的枝晶生長(zhǎng)受到抑制，導(dǎo)致晶體的不對(duì)稱性增大；(2)在相同的流速下，界面厚度越大，枝晶生長(zhǎng)越迅速，二次枝晶越發(fā)達(dá)；(3)改變驅(qū)動(dòng)力參數(shù)數(shù)值的大小，聚合物晶體生長(zhǎng)速率發(fā)生改變，隨著驅(qū)動(dòng)力參數(shù)增大，晶體在同一時(shí)間下越來(lái)越大，整體枝晶分枝生長(zhǎng)更加茂盛。