陳發(fā)堂 侯寧寧 范藝芳

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)技術(shù)與多輸入多輸出(Multi Input Multi Output，MIMO)技術(shù)兩者相結(jié)合，不僅有效提高了無(wú)線(xiàn)系統(tǒng)的通信質(zhì)量，同時(shí)還提高了系統(tǒng)容量。但受無(wú)線(xiàn)信道環(huán)境的制約，信號(hào)在傳輸過(guò)程中會(huì)受到不同程度的衰落和延時(shí)，從而引發(fā)符號(hào)間的干擾(Inter Symbol Interference，ISI)[1]。為了有效降低ISI，提高信號(hào)的傳輸質(zhì)量，必須對(duì)信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)進(jìn)行精確估計(jì)，可見(jiàn)信道估計(jì)在無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)中頗為重要。

傳統(tǒng)估計(jì)方法，如最為常用的最小二乘(Least Squares，LS)算法以及最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)算法，在信道估計(jì)時(shí)都需要采用大量的導(dǎo)頻信號(hào)。考慮到導(dǎo)頻信號(hào)不含任何有價(jià)值的信息，但在傳輸過(guò)程中依然占用頻帶資源，因此傳統(tǒng)估計(jì)方法對(duì)頻帶資源的占用頗為嚴(yán)重，致使頻帶資源利用效率低。2006年，Donoho等提出了壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論，該理論表明借助信號(hào)的稀疏特性，只需要少量的觀測(cè)值就可以高效率地恢復(fù)出原始信號(hào)[2-3]。同時(shí)，文獻(xiàn)[4]表明無(wú)線(xiàn)多徑信道具備稀疏特性。因此，可以充分利用無(wú)線(xiàn)多徑信道具備稀疏性這一特點(diǎn)，將壓縮感知理論與信道估計(jì)相結(jié)合，在提高頻帶資源利用率的基礎(chǔ)上獲得較好的估計(jì)效果。

以CS為依據(jù)，文獻(xiàn)[5]采用匹配跟蹤(Matching Pursuit，MP)算法以及文獻(xiàn)[6]采用正交的匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法進(jìn)行了信道估計(jì)，同時(shí)驗(yàn)證了壓縮感知理論在信道估計(jì)中的有效性。為了降低噪聲的影響，在OMP算法基礎(chǔ)上，Needell等[7]提出了一種新的具有抗噪能力的壓縮采樣匹配跟蹤(Compression Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)算法。但以上三種算法都存在相同的問(wèn)題，即必須預(yù)先已知信道的稀疏度，而在實(shí)際應(yīng)用中，信道的稀疏度很難獲取，因此又提出了一種稀疏自適應(yīng)的匹配跟蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP)算法[8]。SAMP雖然解決了算法過(guò)度依賴(lài)信道稀疏度的問(wèn)題，但其算法的性能和復(fù)雜度不能達(dá)到折中，即無(wú)法同時(shí)兼顧，也就是說(shuō)性能好時(shí)復(fù)雜度高，復(fù)雜度低時(shí)性能不佳。此外，算法的抗噪能力也相對(duì)較差，有待進(jìn)一步優(yōu)化和提升。

為了進(jìn)一步優(yōu)化算法的估計(jì)精度，同時(shí)減小算法的復(fù)雜度，本文提出了一種新的具有抗噪能力且稀疏度自適應(yīng)的壓縮感知估計(jì)算法，并稱(chēng)之為N-SAMP算法。該算法在不需要事先知道信道稀疏度的前提下，采用自適應(yīng)步長(zhǎng)來(lái)提高算法的重構(gòu)效率；迭代過(guò)程中，與奇異值分解技術(shù)相結(jié)合，并根據(jù)奇異熵來(lái)確定有效的重構(gòu)階次，達(dá)到過(guò)濾相關(guān)性較小原子的目的，同時(shí)，還起到了抵抗噪聲干擾的作用。仿真結(jié)果表明，N-SAMP算法與傳統(tǒng)重構(gòu)算法相比，估計(jì)精度得到了明顯提升，尤其在信噪比較低的信道環(huán)境下，與此同時(shí)，重構(gòu)效率也得到了進(jìn)一步的改善。

1 系統(tǒng)模型

MIMO-OFDM系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 MIMO-OFDM系統(tǒng)模型

在MIMO-OFDM系統(tǒng)的發(fā)送端，傳輸?shù)男盘?hào)首先需要進(jìn)行快速的傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform，IFFT)，然后再加循環(huán)前綴(Cyclic Prefix，CP)。加CP時(shí)，為避免載波間以及符號(hào)間的干擾，其所加CP的長(zhǎng)度需要大于最大的時(shí)延路徑，最后進(jìn)行并串變換處理。在MIMO-OFDM系統(tǒng)的接收端，也就是對(duì)發(fā)送端進(jìn)行一個(gè)逆過(guò)程處理，即依次進(jìn)行串并變換、去CP以及FFT變換。假如MIMO-OFDM系統(tǒng)的發(fā)送天線(xiàn)的個(gè)數(shù)為NT，接收天線(xiàn)的個(gè)數(shù)為NR，子載波個(gè)數(shù)為K，且保證一個(gè)OFDM符號(hào)內(nèi)的信道參數(shù)完全一致，則該系統(tǒng)模型可表示為：

(1)

式中:zn(k)表示接收天線(xiàn)n在第k個(gè)子載波上的加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN);sm(k)表示發(fā)送天線(xiàn)m在第k個(gè)子載波上所發(fā)送的信息；rn(k)表示接收天線(xiàn)n在第k個(gè)子載波上所接收到的信息；Hnm(k)表示發(fā)送天線(xiàn)m與接收天線(xiàn)n在第k個(gè)子載波上的沖激響應(yīng)。Hnm(k)的表達(dá)式為：

(2)

且有：

(3)

式中:L代表信道的多徑個(gè)數(shù);αnm代表發(fā)送天線(xiàn)m與接收天線(xiàn)n之間的增益;τj代表發(fā)送天線(xiàn)m與接收天線(xiàn)n在第j個(gè)路徑上的時(shí)延。令hnm=[hnm(0),hnm(1),…,hnm(L-1)]T，實(shí)際通信環(huán)境中，hnm是由少量多徑延遲抽頭系數(shù)組成，也就是說(shuō)，若hnm中非零元素的個(gè)數(shù)用T來(lái)表示，則滿(mǎn)足T<

MIMO-OFDM無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)中，假如有W個(gè)導(dǎo)頻信號(hào)，且依次位于k1、k2、…、kW子載波上，則接收天線(xiàn)n所接收到的導(dǎo)頻信息可表示如下：

(4)

式中：rn=[rn(k1),rn(k2),…,rn(kw)]T表示接收天線(xiàn)n所接收到的導(dǎo)頻信息，sm=[sm(k1),sm(k2),…,sm(kw)]T表示發(fā)送天線(xiàn)m所發(fā)送的導(dǎo)頻信息，zn=[zn(k1),zn(k2),…,zn(kw)]T表示接收天線(xiàn)n上的加性高斯白噪聲，F(xiàn)s∈RW×L為離散的傅里葉變換陣F且維度為W×L的一個(gè)子矩陣。F的表達(dá)式如下：

(5)

接收到的信號(hào)可進(jìn)一步表示如下：

R=SFsh+z

(6)

2 基于壓縮感知的估計(jì)算法

2.1 壓縮感知

壓縮感知理論表明：若信號(hào)本身是具有稀疏性的或者是在某個(gè)變換基下具有稀疏性，用少量的觀測(cè)值就能有效地恢復(fù)出原始信號(hào)。其數(shù)學(xué)模型如下：

y=Φx+z=ΦΨα+z=Θα+z

(7)

式中：y∈RM代表觀測(cè)向量；z∈RM代表噪聲矢量；Ψ∈RN×N表示變換基；x∈RN，若x稀疏，Φ表示M×N維觀測(cè)矩陣且滿(mǎn)足M<

(8)

由于M×N維矩陣Φ或Θ滿(mǎn)足M<

2.2 基于N-SAMP的信道估計(jì)

本文以壓縮感知理論為依據(jù)，借鑒傳統(tǒng)重構(gòu)算法的處理流程，所提N-SAMP算法主要包括原子預(yù)選、預(yù)估計(jì)、基于奇異值分解的降噪處理以及原子裁剪四個(gè)階段，具體見(jiàn)算法1。由式(6)以及算法流程可知，R∈RWNR相當(dāng)于式(7)中的觀測(cè)向量y，B=SFs相當(dāng)于式(7)中的測(cè)量矩陣Φ。

算法1 N-SAMP算法流程

輸入：觀測(cè)向量R，測(cè)量矩陣B=SFs，參數(shù)α,β,ε

對(duì)于1≤t≤WNR，

1： 原子預(yù)選：計(jì)算殘差與測(cè)量矩陣相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，將大于閾值γ所對(duì)應(yīng)B的序列號(hào)j構(gòu)成集合J0；

2： 更新索引集：Δt=Δt-1∪J0

4： 通過(guò)(12)式計(jì)算Ek并使其滿(mǎn)足Ek≥β，確定階次k

6： 更新索引(原子裁剪)：Δt=supp(Δt,k)

以向量x=[x1,x2,…,xn]和y=[y1,y2,…,yn]為例，首先向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

(9)

(10)

(11)

式中:(·)?表示矩陣的偽逆過(guò)程；(·)-1表示矩陣的求逆過(guò)程；Δt=Δt-1∪J0，J0表示相關(guān)系數(shù)大于閾值γ所對(duì)應(yīng)B的序列號(hào)j構(gòu)成的集合。

(12)

(13)

由式(13)計(jì)算奇異熵：

(14)

式中：k表示奇異熵階次。

在噪聲過(guò)高的信道狀態(tài)下，對(duì)角陣ΛP×P含有的非零元素較多，因此只保留對(duì)角陣ΛP×P中前k個(gè)元素，其余元素均設(shè)為零值，則式(12)可表示為：

(15)

由表1的處理流程可知，本文算法在迭代過(guò)程中引入了α、β、ε三個(gè)參數(shù)。其中：α的大小決定了原子預(yù)選的個(gè)數(shù)，也就是步長(zhǎng)D；β的大小決定了降噪階次k的值；ε的大小決定了算法的迭代次數(shù)以及算法的復(fù)雜度?？紤]到參數(shù)的取值大小會(huì)直接嚴(yán)重影響整體算法的性能，因此本文對(duì)以上參數(shù)進(jìn)行了多次測(cè)試?；诖罅康膶?shí)驗(yàn)分析，當(dāng)α取值在0.6到1之間，β取值在0.97到0.99之間，ε取值在0.1到0.5之間時(shí)，算法性能較為穩(wěn)定，因此算法仿真時(shí)，α、β、ε三個(gè)參數(shù)的取值均在以上范圍內(nèi)。

3 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證N-SAMP算法的估計(jì)效果以及對(duì)比所提算法與傳統(tǒng)算法的性能差異，本文采用MATLAB軟件進(jìn)行搭建仿真鏈路，并利用均方誤差(Mean Square Error，MSE)來(lái)加以衡量，均方誤差定義如下：

(16)

由式(16)可知，MSE值越小，表明估計(jì)精度越高。表1為MATLAB仿真參數(shù)。

表1 仿真參數(shù)

首先，圖2對(duì)比了傳統(tǒng)估計(jì)算法LS和MMSE以及基于壓縮感知的OMP、CoSaMP、SAMP和本文所提N-SAMP算法的均方誤差性能。通過(guò)觀察圖2可知，以上五種算法均方誤差曲線(xiàn)整體保持一致，即都隨信噪比的增加呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)。此外，相同信噪比的前提條件下，N-SAMP算法的均方誤差要小于LS、OMP以及CoSaMP。更值得一提的是，在信噪比較低的信道狀況下，N-SAMP算法相較SAMP來(lái)說(shuō)，性能更佳且更為穩(wěn)定，如信噪比為5 dB時(shí)，N-SAMP算法的均方誤差僅為SAMP的5%左右，約降低了95%，性能得到了極大提升。

圖2 不同算法MSE曲線(xiàn)對(duì)比圖

圖3對(duì)比了傳統(tǒng)估計(jì)算法LS、MMSE以及基于壓縮感知的OMP、CoSaMP、SAMP和本文所提N-SAMP算法均方誤差性能與導(dǎo)頻數(shù)量間的關(guān)系，其中信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)取值在15 dB。通過(guò)觀察圖3可知，以上算法均方誤差曲線(xiàn)整體上呈現(xiàn)出一個(gè)下降趨勢(shì)，即均方誤差都隨著導(dǎo)頻數(shù)目的增加而減小，也就是說(shuō)算法的性能會(huì)隨導(dǎo)頻的增加而逐漸變好，這是因?yàn)閷?dǎo)頻個(gè)數(shù)的增加，說(shuō)明觀測(cè)向量所包含的原始信息就越多，因此誤差就會(huì)變小。另外，當(dāng)采用相同導(dǎo)頻時(shí)，N-SAMP的均方誤差要小于其他三種傳統(tǒng)的重構(gòu)算法；當(dāng)均方誤差相同時(shí)，N-SAMP所需的導(dǎo)頻數(shù)量同樣要低于其他三種傳統(tǒng)的重構(gòu)算法，這就說(shuō)明本文所提N-SAMP算法能在采用較少導(dǎo)頻的基礎(chǔ)上取得比傳統(tǒng)重構(gòu)算法更佳的估計(jì)精度，同時(shí)還說(shuō)明了N-SAMP能減少導(dǎo)頻的開(kāi)銷(xiāo)，從而提高系統(tǒng)頻譜資源的利用效率。

圖3 不同導(dǎo)頻MSE曲線(xiàn)對(duì)比圖

為了比較各算法的計(jì)算復(fù)雜度，本文統(tǒng)計(jì)了基于壓縮感知的SAMP、OMP、CoSaMP以及本文所提N-SAMP算法的運(yùn)行時(shí)間，如圖4所示。此外，為了更好體現(xiàn)所提算法具有較高的重構(gòu)精度，對(duì)圖4進(jìn)行了數(shù)字化處理，如表2-表4所示。通過(guò)觀察圖4可以看出，以上四種算法的運(yùn)行時(shí)間隨信噪比的增加均呈現(xiàn)出下降趨勢(shì)，即算法的運(yùn)行效率隨信噪比的增加而得到提高。在相同信噪比下，N-SAMP算法的運(yùn)行時(shí)間要明顯低于OMP、CoSaMP以及SAMP三種傳統(tǒng)的重構(gòu)算法。由表2-表4可以看出，相同信噪比下，N-SAMP算法運(yùn)行時(shí)間相比SAMP降低了約15%，相比CoSaMP降低了約40%，相比OMP降低了約50%。

圖4 各算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

表2 N-SAMP與SAMP運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

表3 N-SAMP與CoSaMP運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

表4 N-SAMP與OMP運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

本文鑒于基于壓縮感知的估計(jì)方法能高效獲得信道狀態(tài)信息，提出了一種新的具有抗噪能力的基于壓縮感知的N-SAMP估計(jì)算法，并將其應(yīng)用到MIMO-OFDM無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)。N-SAMP采用自適應(yīng)步長(zhǎng)來(lái)提高算法的重構(gòu)效率，與奇異值分解技術(shù)相結(jié)合，并根據(jù)奇異熵來(lái)確定有效的重構(gòu)階次，進(jìn)而過(guò)濾掉能量較低的原子，從而避免迭代過(guò)程中選取不太相關(guān)的原子，同時(shí)還抵抗了噪聲的干擾，提高了算法的魯棒性。與傳統(tǒng)的重構(gòu)算法相比，N-SAMP算法具有較好的估計(jì)效果，尤其在信噪比相對(duì)較低的信道狀態(tài)下，性能更優(yōu)且更加穩(wěn)定，同時(shí)算法的復(fù)雜度還得到了進(jìn)一步的改善。N-SAMP不需要事先知道信道稀疏度，具有較高的實(shí)用價(jià)值。