張春新

摘要：復(fù)習(xí)課教學(xué)內(nèi)容面廣量大，過細(xì)、過散、過淺、過窄的問題往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的思維膚淺、單一，而好的問題，特別是好的“核心問題”，能起到引領(lǐng)和推進(jìn)的作用。《“平面圖形的面積”總復(fù)習(xí)課》，通過三個(gè)核心問題的引領(lǐng)，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思維更加深刻。

關(guān)鍵詞：核心問題復(fù)習(xí)課《“平面圖形的面積”總復(fù)習(xí)課》

復(fù)習(xí)課教學(xué)內(nèi)容面廣量大，如果“眉毛胡子一把抓”，過細(xì)、過散、過淺、過窄的問題往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維膚淺、單一，而好的問題，特別是好的“核心問題”，能起到引領(lǐng)和推進(jìn)的作用。教學(xué)“平面圖形的面積”總復(fù)習(xí)課，如何讓學(xué)生在夯實(shí)平面圖形面積計(jì)算方法的基礎(chǔ)上抓住計(jì)算的本質(zhì)，促使他們的認(rèn)識(shí)和思維更加深刻？我嘗試通過三個(gè)核心問題的引領(lǐng)來實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)追求。

一、在核心問題的引領(lǐng)下感悟本質(zhì)

【片段1】

（學(xué)生交流長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積公式推導(dǎo)過程。）

師回顧這些平面圖形的學(xué)習(xí)過程，我們先學(xué)習(xí)的是什么圖形的面積計(jì)算？

生長(zhǎng)方形和正方形。

師大家有沒有想過，為什么我們先學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算，再學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算，最后才學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算呢？可不可以調(diào)換一下順序呢？大家小組交流一下。

（學(xué)生小組內(nèi)熱烈地交流。）

生長(zhǎng)方形的面積計(jì)算最簡(jiǎn)單。

生長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，其他圖形不是。

生單位面積是邊長(zhǎng)1厘米的小正方形的面積，長(zhǎng)方形可以直接用這些小正方形去擺，從而算出面積，其他圖形不行。

生（邊說邊在黑板上畫）是的，長(zhǎng)方形可以用邊長(zhǎng)1厘米的小正方形去擺，看看沿著長(zhǎng)可以擺幾個(gè)，沿著寬可以擺幾排;每排小正方形的個(gè)數(shù)×排數(shù)=總的小正方形的個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方形的面積。而其他平面圖形，比如平行四邊形，用小正方形就不能正好擺滿。

生我知道了，所以我們先學(xué)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，用擺小正方形的方式推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積公式;再學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算，它們不好用小正方形去擺，可以用轉(zhuǎn)化的策略轉(zhuǎn)化成學(xué)過的長(zhǎng)方形來計(jì)算。

學(xué)生以前是一個(gè)圖形接著一個(gè)圖形學(xué)，現(xiàn)在回過頭一看：為什么先學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算？可不可以先學(xué)習(xí)其他圖形呢？學(xué)生會(huì)非常好奇，會(huì)激起思考和探究的欲望。這個(gè)問題實(shí)際上是學(xué)生思維的盲點(diǎn)，同時(shí)又是學(xué)習(xí)平面圖形面積計(jì)算的核心問題。抓住了它，就抓住了平面圖形面積計(jì)算的本質(zhì)，即圖形中所含面積單位（小正方形）的個(gè)數(shù)。通過對(duì)這一核心問題的思考，牽一發(fā)而動(dòng)全身，學(xué)生不但知道了為什么要先學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，而且對(duì)為什么要將后面學(xué)習(xí)的平面圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形有了更加深刻的認(rèn)識(shí)。

這樣，通過“瞻前”——對(duì)“為什么先學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”這一核心問題的探尋，讓學(xué)生回到原點(diǎn)思考，從源頭抵達(dá)知識(shí)的本質(zhì)。同時(shí)也為“顧后”——體積度量本質(zhì)的理解做了知識(shí)和方法上的鋪墊。

二、在核心問題的引領(lǐng)下整體建構(gòu)

（一）以長(zhǎng)方形的面積計(jì)算為基礎(chǔ)整體建構(gòu)，感受由易到難的過程

【片段2】

師通過回顧，我們知道了長(zhǎng)方形的面積公式是學(xué)習(xí)其他平面圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)，這6種圖形之間是有聯(lián)系的。你能用圖表示出它們之間的聯(lián)系嗎？

（學(xué)生分組整理，典型的整理結(jié)果有兩種，分別如圖1、圖2。）

生（邊指圖1邊說）我們小組是這樣梳理的：長(zhǎng)方形的面積由數(shù)含有小正方形的個(gè)數(shù)獲得，是計(jì)算其他平面圖形面積的基礎(chǔ)，所以將長(zhǎng)方形畫在最下面;由長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出了正方形、平行四邊形、圓的面積公式，將

這3種圖形畫在第2層;再由平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出了三角形和梯形的面積公式，將三角形和梯形畫在最上層。

生我來補(bǔ)充一下：從上往下看，就是三角形、梯形是通過轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)出面積公式的，平行四邊形、圓是通過轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形推導(dǎo)出面積公式的;它們都不能直接用小正方形去擺、去數(shù)，都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的方法。

生（邊指圖2邊說）我們是這樣整理的：將其他5種平面圖形都轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來推導(dǎo)。

生我來補(bǔ)充：雖然我們小組之間轉(zhuǎn)化的圖形不一樣，但共同的地方都是轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形來推導(dǎo)面積公式，都是以長(zhǎng)方形的面積公式為基礎(chǔ)來轉(zhuǎn)化的。

……

通過對(duì)“為什么先學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積公式”這一核心問題的探尋，學(xué)生從本質(zhì)上理解了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算是其他平面圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)。這時(shí)，再讓學(xué)生通過思維導(dǎo)圖來梳理各個(gè)圖形面積之間的聯(lián)系，融入自己的認(rèn)知圖式。

（二）以梯形的面積計(jì)算為中心整體建構(gòu)，感受化繁為簡(jiǎn)的過程

【片段3】

師前面我們以長(zhǎng)方形的面積公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)出了其他5種平面圖形的面積公式，是由易到難。（板書：由易到難）我們還能化繁為簡(jiǎn)，（板書：化繁為簡(jiǎn)）把這6種圖形的面積公式都用梯形的面積公式來表示，大家相信嗎？

（學(xué)生都露出不相信的神情。）

師不相信？看著圖形想一想：可以把這些平面圖形看作怎樣的梯形？

（課件展示動(dòng)態(tài)過程：梯形下底不變，上底慢慢縮短，變成三角形;上底慢慢延長(zhǎng)，變成平行四邊形……學(xué)生交流討論。）

生三角形可以看作上底為0的特殊梯形。

（教師同步定格課件于圖3。）

生平行四邊形可以看作上底a和下底b相等的特殊梯形。

（教師同步定格課件于圖4。）

生長(zhǎng)方形可以看作上底a和下底b相等，且上底a、下底b與腰h分別垂直的特殊梯形。（教師同步定格課件于圖5。）

生正方形可以看作上底、下底和腰相等，即a=b=h，且a、b與h分別垂直的特殊梯形。

（教師同步定格課件于圖6。）

生圓可以看作上底為0，下底為圓的周長(zhǎng)（即2πr），高為圓的半徑（即r）的特殊梯形。

師圓是封閉的曲線圖形，你是怎樣想的？

生我們之前學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算時(shí)，是把圓割成“小三角形”，然后拼成“平行四邊形”計(jì)算的。這里，我將圓割、拼成“大三角形”，然后將圓心（長(zhǎng)度為0）看成梯形的上底，將圓的一周（長(zhǎng)度為2πr）拉直，看成梯形的下底，這時(shí)半徑r就是梯形的高。

師真不簡(jiǎn)單，能化曲為直，將圓看作這樣的特殊梯形，真是愛動(dòng)腦筋的孩子！那么，這些平面圖形的面積能用梯形的面積公式計(jì)算嗎？要怎么做？

生用梯形的面積公式算算看。

師好，每人選一個(gè)平面圖形算算看。計(jì)算好后，仔細(xì)觀察。你發(fā)現(xiàn)了什么？在小組內(nèi)交流各自的發(fā)現(xiàn)。

（學(xué)生計(jì)算、觀察、交流。）

生我選的是三角形。用梯形的面積公式計(jì)算：（0+a）×h÷2=a×h÷2，和用三角形的面積公式算一樣。所以三角形的面積可以用梯形的面積公式計(jì)算。

生我選的是平行四邊形。用梯形的面積公式計(jì)算：（a+a）×h÷2=a×h，和用平行四邊形的面積公式算一樣。所以平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計(jì)算。

生平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計(jì)算，長(zhǎng)方形、正方形是特殊的平行四邊形，所以不需要計(jì)算就知道長(zhǎng)方形和正方形的面積也可以用梯形的面積公式計(jì)算。

生我選的是圓。用梯形的面積公式計(jì)算：（0+2πr）×r÷2=πr2 。所以圓的面積也可以用梯形的面積公式計(jì)算。

生（展示圖7）圓也可以近似等積變形為梯形，所以圓的面積可以用梯形的面積公式計(jì)算。

師現(xiàn)在你們想說——

生梯形的面積公式真神奇呀！好多平面圖形的面積都可以用它來計(jì)算。

緊扣“6種平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式來計(jì)算嗎？”這一核心問題展開探究，通過課件展示梯形（下底和高不變）上底和腰的動(dòng)態(tài)變化過程，讓學(xué)生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系，進(jìn)而通過深入探究將梯形的面積公式與其他圖形的面積公式相勾連，感受化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)魅力。

這樣由易到難、化繁為簡(jiǎn)的整體建構(gòu)，不再只是知識(shí)的整體建構(gòu)，同時(shí)也是思維的整體建構(gòu)。

三、在核心問題的引領(lǐng)下反思提升

【片段4】

師（出示圖8、圖9）大正方形的邊長(zhǎng)a為10厘米，那么兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等嗎？為什么？

（學(xué)生小組合作，討論探究。）

生圖8中陰影部分的左邊雖然是三角形，但它的底、高都不知道，也很難求出;右邊可用四分之一圓的面積減去下面空白小三角形的面積，但下面空白小三角形的高不知道，所以也不好求出。所以我們小組思考能不能用轉(zhuǎn)化的方法，把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的圖形。

生我們發(fā)現(xiàn)，圖8左邊大梯形ABCF的面積等于空白大三角形ABE的面積：左邊大梯形ABCF的面積是（a+b）×b÷2，空白大三角形ABE的面積也是（a+b）×b÷2。而空白小梯形ABGF是它們公共的，那么△CBG的面積等于△EFG的面積。把△CBG的面積移到△EFG上，整個(gè)陰影部分的面積就等于四分之一圓的面積。這樣就把復(fù)雜的陰影部分圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的四分之一圓了，就很好算了。

生圖9也可以將復(fù)雜的陰影部分圖形轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的圖形。空白大三角形ADF的面積是（a+a）×a÷2=a2，正方形ABEF的面積是a2，故空白大三角形ADF的面積等于正方形ABEF的面積。而空白梯形AFEG是它們公共的，那么△ABG的面積等于△EDG的面積，將△ABG的面積移到△EDG上，這樣陰影部分的面積就等于四分之一圓的面積了。

生兩幅圖中陰影部分的面積都等于四分之一圓的面積，而圓的半徑都是10厘米，故圓的面積相等，四分之一圓的面積相等，兩幅圖中陰影部分的面積也就相等。

師你們真不簡(jiǎn)單！在常規(guī)方法無法解決問題的情況下，想到了運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略來解決。

生我們是從之前平面圖形面積公式推導(dǎo)的過程得到的啟示：在推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形等的面積公式時(shí)，都是轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的簡(jiǎn)單的圖形來推導(dǎo)的。

生是的，在難以直接計(jì)算較復(fù)雜的平面圖形的面積時(shí)，我們可以換一種思路，看看能不能將較復(fù)雜的不規(guī)則平面圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的規(guī)則平面圖形來計(jì)算。

……

面對(duì)“陰影部分的面積相等嗎？”這一核心問題，常用的整分法（大面積減去多余的小面積）和分割法（將復(fù)雜的不規(guī)則圖形分割成幾個(gè)小的規(guī)則圖形）都無法或難以解決，思維困境激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步挑戰(zhàn)的欲望和動(dòng)力。學(xué)生進(jìn)一步思考，想到運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略將復(fù)雜的陰影部分轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的圖形。怎樣轉(zhuǎn)化呢？學(xué)生小組內(nèi)繼續(xù)思考，積極尋求圖形之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了面積相等的圖形，從而將陰影部分的一小部分移到與之面積相等的空白部分上，轉(zhuǎn)化得到簡(jiǎn)單圖形（四分之一圓），使問題迎刃而解。

本節(jié)課中的三個(gè)核心問題，一方面使得那些與核心問題無關(guān)的多余環(huán)節(jié)、無效程序被刪除，課堂變得寬松，教學(xué)變得從容，學(xué)生也贏得了更多獨(dú)立學(xué)習(xí)的時(shí)空，從而更能沉下心來思考;另一方面引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了由易到難、化繁為簡(jiǎn)的整體建構(gòu)，體會(huì)到運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略解決問題的深度思考的喜悅，促使他們的認(rèn)識(shí)和思維更深刻。