陳六一

摘要：基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的命題原則，小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)面測(cè)驗(yàn)試題的命制需要注意以下幾點(diǎn)：考查核心素養(yǎng)，聚焦本質(zhì)理解，融入文化元素，賦予分值多義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)試題課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)本質(zhì)理解文化元素

教學(xué)評(píng)價(jià)是教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分，可以考查學(xué)生學(xué)習(xí)的成效，進(jìn)而考查教師教學(xué)的成效。通過(guò)考查，可以診斷學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)與不足，進(jìn)而診斷教師教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)與不足;通過(guò)診斷，可以改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，進(jìn)而改進(jìn)教師的教學(xué)行為。

書(shū)面測(cè)驗(yàn)是教學(xué)評(píng)價(jià)的重要形式，測(cè)驗(yàn)試題是教學(xué)評(píng)價(jià)的重要工具。對(duì)于測(cè)驗(yàn)試題的命制，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系……”“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用……融入數(shù)學(xué)文化?！薄懊}時(shí)，應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問(wèn)題，還應(yīng)包括開(kāi)放性問(wèn)題和探究性問(wèn)題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過(guò)程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)……評(píng)分應(yīng)遵循滿意原則和加分原則，達(dá)到測(cè)試的基本要求視為滿意，有所拓展或創(chuàng)新可以根據(jù)實(shí)際情況加分?！弊鳛榛A(chǔ)教育領(lǐng)域當(dāng)下最新的課程標(biāo)準(zhǔn)，其基本理念對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)疑也有著重要的指導(dǎo)價(jià)值?；谏鲜雒}原則，小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)面測(cè)驗(yàn)試題的命制需要注意以下幾點(diǎn)：

一、考查核心素養(yǎng)

命題時(shí)，要依托相關(guān)的問(wèn)題情境，既關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，要把對(duì)知識(shí)技能掌握的考查和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)達(dá)成的考查結(jié)合起來(lái)。下面分別就數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查舉例進(jìn)行說(shuō)明。

例1某大學(xué)生計(jì)劃暑期勤工儉學(xué)，以掙取下學(xué)期的生活費(fèi)。他看到一家餐廳招聘小時(shí)工的啟事，標(biāo)注著“每天的薪資待遇=基本工資+時(shí)薪×?xí)r間”，并給出了參照表，如表1。

那么根據(jù)表格，這家餐廳每天的基本工資是元 ，時(shí)薪是元;如果工作3天，共獲得薪資285元，那就意味著平均每天工作了小時(shí)。

“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義”，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)便一步步清晰可見(jiàn)。例1便這樣考查著學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。根據(jù)表1中每一列的數(shù)據(jù)，可以列出諸如50÷2、80÷4、110÷6等的算式，認(rèn)為求得的是每小時(shí)的工作報(bào)酬，即時(shí)薪，然而，結(jié)果呈現(xiàn)出時(shí)薪是有差異的。這就逼著學(xué)生進(jìn)一步厘清，50元、80元、110元等工作報(bào)酬中包含著兩種不變量：一是基本工資，二是時(shí)薪。這就需要學(xué)生從整體上觀察數(shù)據(jù)：橫著看，每增加2小時(shí)工作量，報(bào)酬增加30元，或者每增加1小時(shí)工作量，報(bào)酬增加15元。由此能夠求出時(shí)薪是15元。接著，用時(shí)薪乘工作時(shí)間，再用工作報(bào)酬減去相應(yīng)結(jié)果，就可以得到基本工資，即50-2×15、80-4×15、110-6×15……同樣，不同的式子可以相互驗(yàn)證。

例2圖1是經(jīng)認(rèn)證發(fā)布的2019年中國(guó)城市電影票房排名統(tǒng)計(jì)情況，請(qǐng)仔細(xì)閱讀統(tǒng)計(jì)圖，回答以下問(wèn)題（可用計(jì)算器計(jì)算）：

（1）2019年，蘇州的電影票房收入比同省的南京要高，有人認(rèn)為原因在于南京的電影票價(jià)比蘇州低，但小明不同意這種說(shuō)法。如果你是小明，你會(huì)怎樣運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)說(shuō)服他人？寫(xiě)出必要的算式。

（2）蘇州、成都的平均電影票價(jià)大致相當(dāng)，電影票房收入?yún)s有較大的差異，你覺(jué)得原因是什么？

（3）為提升蘇州市的電影票房，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一句廣告詞，其中要含有數(shù)學(xué)元素，如百分?jǐn)?shù)、方程等。

數(shù)據(jù)分析是當(dāng)下大數(shù)據(jù)時(shí)代一種解釋世界的方法，它不像傳統(tǒng)數(shù)學(xué)那樣依賴(lài)于計(jì)算效率與算術(shù)技能。例2便是如此，盡管需要運(yùn)算，卻不考查計(jì)算程序、筆算的精確度;更重要的是，計(jì)算結(jié)果不是問(wèn)題解決的結(jié)論，而是數(shù)據(jù)分析的媒介。當(dāng)學(xué)生列出195098.43÷5234<125261.22÷3312之類(lèi)的式子時(shí)，運(yùn)算在這里成了探索生活真理的方式。同時(shí)，學(xué)生在解這道題時(shí)，需要將內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)變成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，有學(xué)生在回答后兩問(wèn)時(shí)說(shuō)：“除了人口因素以外，蘇州的房?jī)r(jià)高于成都，所以成都人口袋里的錢(qián)就比蘇州人多，自然有利于看電影這樣的消費(fèi)?！薄疤K州+電影=天堂里聽(tīng)故事?！薄谇饲娴拇痤}中，學(xué)生并未盲從數(shù)據(jù)，而是會(huì)用自己的數(shù)學(xué)思考涵養(yǎng)理性精神。甚至，學(xué)生還可以此題為基礎(chǔ)，進(jìn)一步做城市電影票房變量因素等的項(xiàng)目研究。

二、聚焦本質(zhì)理解

命題時(shí)，應(yīng)該聚焦對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)理解，而非形式記憶;同時(shí)，應(yīng)該圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，不以其他學(xué)科的知識(shí)、方法作為問(wèn)題解決的主要依據(jù)。

例3（1）判斷題：x=1是方程。（）

（2）如圖2，為防止雨天路滑，環(huán)衛(wèi)工人在一塊長(zhǎng)3米的長(zhǎng)方形過(guò)道上鋪了7張完全相同的長(zhǎng)方形草席，請(qǐng)問(wèn)：還有多少面積沒(méi)有鋪滿？

許多版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都這樣給方程下定義：“像x+60=100、180=4x這樣含有未知數(shù)的等式是方程?！钡?，“這樣的定義只是一種形式上的表述，不可能把握方程的本質(zhì)”。史寧中教授指出：“方程描述的是現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)量有關(guān)的兩個(gè)故事，其中用字母表示未知的量;這兩個(gè)故事有一個(gè)共同點(diǎn)，在這個(gè)共同點(diǎn)上兩個(gè)故事的數(shù)量相等。這是列方程的基本原則?！苯虒W(xué)實(shí)踐也一再表明，判斷學(xué)生是否掌握了方程思想，“要去看學(xué)生列出來(lái)的方程左邊、右邊是不是都有意義并且描述簡(jiǎn)單”。

本題第1問(wèn)中的“x=1”由于脫離了實(shí)際背景，不知道實(shí)際意義，無(wú)法判斷是“數(shù)學(xué)故事”中的數(shù)量關(guān)系還是像“2x-x=x”一樣的運(yùn)算結(jié)果。這樣直接考查概念的形式記憶，不利于概念的本質(zhì)理解，會(huì)使學(xué)生鉆入牛角尖，而忽視真正有價(jià)值的東西。

本題第2問(wèn)就很好地考查了學(xué)生從圖形中挖掘出隱含的數(shù)量關(guān)系（草席的長(zhǎng)等于草席寬的4倍，草席的長(zhǎng)加上草席寬的2倍等于過(guò)道的長(zhǎng)），從而借助方程（也可運(yùn)用算術(shù)方法）解決問(wèn)題的能力，從而真正考查了學(xué)生對(duì)方程的本質(zhì)理解。

例4媽媽買(mǎi)回5塊餅分給兄弟2人，怎樣分才合理呢？

本題的問(wèn)題在于，學(xué)生可能會(huì)給出“弟弟比較小，所以弟弟分3個(gè)，哥哥分2個(gè)”“哥哥分2個(gè)，弟弟也分2個(gè)，剩1個(gè)給媽媽”這樣的回答。這就導(dǎo)致將數(shù)學(xué)知識(shí)（平均分）的考查變成了思想道德（“孔融讓梨”）的考查。

三、融入文化元素

數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，不應(yīng)脫離文化母體獨(dú)立存在。歷史上，很多人的很多事促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，給數(shù)學(xué)帶來(lái)了新內(nèi)容、新方法，這樣的人和事便屬于數(shù)學(xué)文化——數(shù)學(xué)名題、趣題也比比皆是。命題時(shí)，加入一點(diǎn)文化元素，將數(shù)學(xué)置于文化大系統(tǒng)中，看上去只是一份包裝，實(shí)際上給學(xué)生帶來(lái)了進(jìn)行思維較量的沖動(dòng)和數(shù)學(xué)冒險(xiǎn)的信心，讓學(xué)生從更寬廣的視野審視數(shù)學(xué)的意義，從而格外注重用數(shù)學(xué)的眼光去丈量這個(gè)世界——畢竟數(shù)學(xué)在文化中總是扮演著智慧的角色。

例5于振善爺爺雖然是農(nóng)民，但是非常愛(ài)動(dòng)腦筋，曾用“稱(chēng)地圖”的方法算出了一塊地的面積，被稱(chēng)為“農(nóng)民數(shù)學(xué)家”?，F(xiàn)在，有一幅比例尺是1∶1000000的地圖，長(zhǎng)0.8米，寬0.5米。為求得圖中某地域的面積，先把該地圖貼在一塊同樣大小且質(zhì)地均勻的木板上，稱(chēng)得整塊木板質(zhì)量為2千克，再沿待求區(qū)域的邊緣將木板鋸下，稱(chēng)得其質(zhì)量為0.4千克。該地域的實(shí)際面積是多少平方千米？

這道題改編自農(nóng)民數(shù)學(xué)家于振善的真實(shí)故事，只是將原故事中兩、錢(qián)等舊式單位換成了常用單位。它讓學(xué)生充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的“善”，感受到數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。

四、賦予分值多義

通常，命題工作還包括研制評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。評(píng)分時(shí)，對(duì)于整道題或某一步，除了答錯(cuò)不得分、答對(duì)得分這一基本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)之外，基于滿意原則和加分原則，可以用不同的加綴數(shù)碼標(biāo)識(shí)相同的得分，賦予固定的分值多元意義，從而不僅關(guān)注答題結(jié)果的對(duì)錯(cuò)，也關(guān)注思維過(guò)程的優(yōu)劣及差異。唯有淡化分值的量，而追究分值的質(zhì)，才能夠通過(guò)測(cè)評(píng)與學(xué)生的思考對(duì)話，厘清學(xué)生的問(wèn)題或發(fā)現(xiàn)學(xué)生的才智，繼而因材施教，以學(xué)定教。

例6（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)中，和同學(xué)們一起探索發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高=底面積×高;正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)=底面積×高;圓柱的體積=底面積×高。于是，他猜想所有立體圖形的體積都等于“底面積×高”。你覺(jué)得小明同學(xué)的猜想對(duì)嗎？不管你認(rèn)為對(duì)還是錯(cuò)，請(qǐng)給出你的理由。

（2）如圖3所示是一個(gè)糧倉(cāng)，頂部為圓錐形，主體為圓柱形，底面周長(zhǎng)為18.84米，圓錐形的高和底面半徑相等，圓柱形的高為10米。如果將這個(gè)糧倉(cāng)改建成整體都是圓柱形，要求所容納的糧食量不變，底面積也不變，那么改建后的糧倉(cāng)高為多少米？（取π=3.14）

本題第1問(wèn)，同樣是答錯(cuò)不得分，回答為“小明同學(xué)的猜想是正確的，因?yàn)樗械牧Ⅲw圖形都是用底面一層一層地鋪出來(lái)的”，說(shuō)明學(xué)生誤認(rèn)為所有立體圖形上下一樣粗;回答為“既然長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的體積可以這樣計(jì)算，那么，別的立體圖形的體積也都可以這樣計(jì)算”，說(shuō)明學(xué)生不理解不完全歸納推理的不確定性，不會(huì)用舉反例的方法。評(píng)分時(shí)，可以在0后面加綴數(shù)碼，予以區(qū)分錯(cuò)誤的類(lèi)型和水平。

本題第2問(wèn)，同樣是答對(duì)得分，可能有兩種解法。（1）先求出底面半徑為18.84÷3.14÷2=3（米），也是圓錐的高;接著求出糧倉(cāng)的體積為3.14×32×10+13×3.14×32×3=282.6+28.26=310.86（立方米）;最后用總體積除以底面積求出高為310.86÷（3.14×32）=11（米）。（2）只要將頂部圓錐改建為圓柱，且底面積和體積不變即可，那么只要將上面部分的高縮小為原來(lái)的三分之一;求出底面半徑（也就是圓錐的高）為3米，可得縮小后上面部分的高為3÷3=1（米），于是，整體的高就是10+1=11（米）。第一種解法步驟多、計(jì)算量大，從中能看出學(xué)生思維嚴(yán)密，計(jì)算技能很強(qiáng)，但是只會(huì)套用公式，不能聯(lián)結(jié)知識(shí)，變通思路;第二種解法步驟少、計(jì)算量小，從中能看到學(xué)生已經(jīng)打通了知識(shí)聯(lián)系，深刻領(lǐng)會(huì)到“等底、等高的圓錐體積是圓柱的三分之一”可以轉(zhuǎn)化為“等底、等體積的圓柱高是圓錐的三分之一”，具有較高水平的邏輯推理素養(yǎng)。

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