周 攀，周建中，賴昕杰，鄧 磊，許顏賀

(1. 國(guó)網(wǎng)新源控股有限公司技術(shù)中心，北京 100161；2. 華中科技大學(xué)水電與數(shù)字化工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

抽水蓄能機(jī)組的可逆式設(shè)計(jì)導(dǎo)致其全特性曲線相較于普通混流式水輪機(jī)具有交叉、聚集和扭轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，呈現(xiàn)出明顯的“S”形區(qū)域[1](簡(jiǎn)稱“S”特性)。機(jī)組運(yùn)行于低水頭空載工況時(shí)，易進(jìn)入“S”特性區(qū)，進(jìn)而引起機(jī)組轉(zhuǎn)速擺動(dòng)，導(dǎo)致機(jī)組控制品質(zhì)急劇劣化。

針對(duì)這一問題，目前抽水蓄能電站多通過加裝導(dǎo)葉不同步裝置(MGV)，在機(jī)組低水頭開機(jī)時(shí)預(yù)開部分導(dǎo)葉，或在機(jī)組空載運(yùn)行時(shí)部分開啟球閥進(jìn)行節(jié)流的方式[2]避免機(jī)組低水頭空載不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生。然而上述兩種方法均存在一定缺陷，預(yù)開部分導(dǎo)葉會(huì)破壞轉(zhuǎn)輪室水力平衡，引發(fā)機(jī)組振動(dòng)，降低機(jī)組發(fā)電效率，而部分開啟球閥則容易引起球閥振動(dòng)和過流表面的破壞[3]。王國(guó)玉[4]等提出了雙通道PID控制方法并在響水澗電站成功應(yīng)用，雙通道PID在常規(guī)PID控制算法的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)微分通道，雙微分通道采樣頻率不同，可根據(jù)機(jī)組頻率變化速率自動(dòng)切換，使機(jī)組轉(zhuǎn)速在網(wǎng)頻值附近具有更小的波動(dòng)。曹健[5]、許顏賀[6]等在抽水蓄能機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)線性化模型的基礎(chǔ)上，將FOPID控制引入抽水蓄能機(jī)組控制，并提出了基于智能優(yōu)化算法的控制參數(shù)優(yōu)化策略，驗(yàn)證了FOPID控制的優(yōu)越性，提升了機(jī)組低水頭空載工況的控制品質(zhì)。歸納已有研究成果，抽水蓄能機(jī)組低水頭開機(jī)優(yōu)化研究仍存在以下不足：①抽蓄機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型多采用線性化或部分線性化模型，無法準(zhǔn)確描述機(jī)組在“S”特性區(qū)附近的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，導(dǎo)致研究結(jié)果脫離工程實(shí)際，具有較大應(yīng)用局限性；②只針對(duì)額定水頭進(jìn)行控制參數(shù)優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果的工況適應(yīng)性不強(qiáng)；③采用的優(yōu)化方法均基于工程經(jīng)驗(yàn)或采用單目標(biāo)優(yōu)化策略，將多個(gè)目標(biāo)加權(quán)聚合為單個(gè)目標(biāo)，無法體現(xiàn)多個(gè)目標(biāo)之間的矛盾關(guān)系，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不夠理想。為此，本文提出了一種基于精細(xì)化模型的抽水蓄能機(jī)組低水頭FOPID控制多目標(biāo)優(yōu)化策略，均衡考慮了機(jī)組額定水頭和低水頭開機(jī)時(shí)存在的博弈目標(biāo)，取得了良好的優(yōu)化效果，優(yōu)化結(jié)果在保證額定水頭控制品質(zhì)的前提下，提升了低水頭控制性能，并為提高抽水蓄能電站低水頭空載控制品質(zhì)提供了技術(shù)支持。

1 抽水蓄能機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)精細(xì)化模型

抽水蓄能機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的精確建模是機(jī)組分?jǐn)?shù)階PID控制優(yōu)化研究的前提。為此，本文建立了能精確地描述機(jī)組過渡過程真實(shí)情況的抽水蓄能機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)精細(xì)化模型。該模型分為有壓過水系統(tǒng)、水泵水輪機(jī)、微機(jī)調(diào)節(jié)器、液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)和發(fā)電電動(dòng)機(jī)及負(fù)載等模塊。

1.1 有壓過水系統(tǒng)模型

本文應(yīng)用特征線法建立有壓過水系統(tǒng)非線性模型。若考慮水體可壓縮性和管道彈性，對(duì)有壓過水管道中的非恒定水流可列寫如下動(dòng)量方程和連續(xù)性方程

(1)

式中，a為水擊波速；C±為水擊波速方向；Hi、Qi分別為分段管道節(jié)點(diǎn)出水頭和流量，i=A,B,p；D為管道直徑；A為管道垂直截面面積；f為管道摩阻系數(shù)；Δt為仿真步長(zhǎng)；g為重力加速度。

采用調(diào)整波速法對(duì)有壓過水系統(tǒng)進(jìn)行管道劃分，并根據(jù)式(1)對(duì)劃分后的過水管道及管道邊界[7]列寫特征線方程。在此基礎(chǔ)上，通過迭代計(jì)算即可求解全管道所有節(jié)點(diǎn)的水頭及流量變化。

1.2 水泵水輪機(jī)模型

抽水蓄能機(jī)組低水頭工況下的空載運(yùn)行軌跡在反“S”區(qū)附近，若此時(shí)機(jī)組受到擾動(dòng)，極易進(jìn)入反“S”區(qū)。為保證模型在反“S”區(qū)域的精度，本文采用改進(jìn)Suter變換方法[8]對(duì)機(jī)組原始全特性曲線進(jìn)行處理，改善原始全特性曲線反“S”區(qū)域存在的交叉、聚集和扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象。改進(jìn)Suter變換公式如下

(2)

式中，WH(x,y)、WM(x,y)分別為變換后的機(jī)組水頭和轉(zhuǎn)矩；k1、k2、Cy、Ch分別為改進(jìn)Suter變換參數(shù)；a、q、h、m、y分別為機(jī)組轉(zhuǎn)速、流量、水頭、轉(zhuǎn)矩和開度相對(duì)值，參數(shù)k1>|M11max|

圖1 改進(jìn)Suter變換處理后的機(jī)組全特性曲線

1.3 微機(jī)調(diào)節(jié)器分?jǐn)?shù)階PID模型

FOPID控制器通過引入微分和積分階次將傳統(tǒng)PID擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，相較于傳統(tǒng)PID多了2個(gè)自由度，因此具有更強(qiáng)的靈活性和更好的控制效果[9]。FOPID的傳遞函數(shù)為

(3)

式中，e為控制偏差；u為控制器輸出量；Kp、Ki、Kd為傳統(tǒng)PID控制器參數(shù)；μ∈(0，2)為微分階次，λ∈(0，2)為積分階次。

在此基礎(chǔ)上，綜合考慮測(cè)頻時(shí)延和頻率死區(qū)，可得到基于FOPID控制器的微機(jī)調(diào)節(jié)器框圖，如圖2所示。

圖2 考慮測(cè)頻時(shí)延和頻率死區(qū)的FOPID控制器模型示意

圖3 抽蓄機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)精細(xì)化模型示意

1.4 其他環(huán)節(jié)

液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型為主配壓閥-主接力器兩級(jí)結(jié)構(gòu)，并充分考慮隨動(dòng)裝置死區(qū)、主配壓閥飽和與主接力器飽和等非線性環(huán)節(jié)。

發(fā)電電動(dòng)機(jī)及負(fù)載采用一階模型，如下所示

(4)

式中，J為發(fā)電電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；n為機(jī)組轉(zhuǎn)速；Mt為主動(dòng)力矩；Mg為阻力矩。

綜上，本文建立的抽水蓄能機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)精細(xì)化模型如圖3所示。

2 抽水蓄能機(jī)組低水頭控制優(yōu)化策略

本文在抽水蓄能調(diào)節(jié)系統(tǒng)精細(xì)化模型的基礎(chǔ)上，引入時(shí)間絕對(duì)誤差積分指標(biāo)(ITAE)衡量FOPID的控制性能，構(gòu)造反映機(jī)組額定水頭和低水頭工況下控制品質(zhì)的雙目標(biāo)函數(shù)，建立抽水蓄能機(jī)組低水頭控制組優(yōu)化模型。在此基礎(chǔ)上，將混合變異和鄰域搜索機(jī)制引入多目標(biāo)粒子群算法，提出了混合變異-鄰域搜索多目標(biāo)粒子群算法(HNMOPSO)進(jìn)行模型高效求解。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

為保證分?jǐn)?shù)階PID在不同工作水頭特別是低水頭工況下的控制品質(zhì)，選取機(jī)組在額定水頭和低水頭下的時(shí)間絕對(duì)誤差積分(ITAE)指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，可寫出如下雙目標(biāo)函數(shù)

(5)

式中，Ti(k)，i=1，2為仿真時(shí)刻；c為系統(tǒng)響應(yīng)參考值；xH(k)、xL(k)分別為機(jī)組在正常水頭和低水頭工況下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)。

2.2 模型求解算法

多目標(biāo)粒子群算法[11](MOPSO)屬于多目標(biāo)進(jìn)化算法，具有規(guī)則簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易、收斂快的優(yōu)點(diǎn)。群體中粒子的速度和位置更新策略如下所示

(6)

針對(duì)MOPSO易陷入局部最優(yōu)的缺陷，本文通過引入混合變異機(jī)制和鄰域搜索機(jī)制[12]，提出了混合變異-鄰域搜索多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。

2.2.1混合變異

引入結(jié)合高斯變異和柯西變異的混和變異機(jī)制。高斯分布的概率密度函數(shù)為

(7)

式中，?為均值；σ2為方差。N(?，σ2)為服從均值為?、方差為σ2的正態(tài)分布。柯西分布的概率密度函數(shù)為

(8)

式中，Ω>0為比例系數(shù)；z0為概率密度峰值位置，C(z0，Ω2)為柯西分布。

由此，引出混和變異機(jī)制如下：

Xnew=Xold(1+η·Nr(0，1)+(1-η)·Cr(0，1))

(9)

式中，Nr(0，1)為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布曲線上的隨機(jī)數(shù)；Cr(0，1)為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布曲線上的隨機(jī)數(shù)；η為隨迭代次數(shù)遞減的權(quán)重系數(shù)，通常取η=t/T，其中t為當(dāng)前迭代次數(shù)，T為最大迭代次數(shù)。該混合變異機(jī)制保證了算法迭代初期的全局搜索性能，同時(shí)增強(qiáng)了算法迭代后期的局部搜索性能。

2.2.2鄰域搜索

鄰域搜機(jī)制通過隨機(jī)搜索粒子鄰域空間中可能存在的更優(yōu)位置，增強(qiáng)算法的局部搜索性能。若發(fā)現(xiàn)粒子鄰域空間中存在更優(yōu)位置，則更新粒子位置，其搜索公式為

(10)

2.3 優(yōu)化流程

利用HNMOPSO優(yōu)化不同水頭下FOPID控制參數(shù)步驟如下：

(1)算法初始化。設(shè)置算法初始參數(shù)，包括群體規(guī)模N，檔案集規(guī)模Nrep，算法迭代次數(shù)T，慣性系數(shù)w，慣性衰減系數(shù)wdamp，自學(xué)習(xí)系數(shù)R1，全局學(xué)習(xí)系數(shù)R2，初始鄰域搜索步長(zhǎng)L0，并設(shè)置初始迭代次數(shù)t=0。依據(jù)待優(yōu)化向量Xi的上下限BU和BL初始化N個(gè)個(gè)體的位置，個(gè)體速度表示為vi(0)，位置表示為Xi(0)。

(3)檔案集初始化。根據(jù)Fi(t)進(jìn)行群體范圍內(nèi)的非支配排序，由未被支配的個(gè)體組成初始檔案集。若檔案集中個(gè)體數(shù)量n超過Nrep，則計(jì)算檔案集中所有個(gè)體的擁擠度，刪除擁擠度最高的個(gè)體。重復(fù)上述操作直至n≤Nrep。

(4)更新群體。根據(jù)式(6)更新個(gè)體速度向量vi(t+1)和位置向量Xi(t+1)，i=1，2，…，N，并代入精細(xì)化模型，求解得到頻率響應(yīng)x(t+1)并計(jì)算目標(biāo)函數(shù)Fi(t+1)。

(5)混合變異與鄰域搜索。對(duì)更新后的個(gè)體Xi(t+1)，i=1，2，…，N，根據(jù)式(9)進(jìn)行混合變異，并根據(jù)式(10)進(jìn)行鄰域搜索，得到新個(gè)體X′i(t+1)，i=1，2，…，N。若新個(gè)體支配原個(gè)體，則由新個(gè)體代替原個(gè)體，反之則不進(jìn)行任何操作，此外，若新個(gè)體和原個(gè)體互為非劣，則新個(gè)體以50%的概率代替原個(gè)體。

(6)更新檔案集。以個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值Fi(t+1)為依據(jù)進(jìn)行群體范圍內(nèi)的非支配排序，將未被支配的個(gè)體加入檔案集，并采用步驟3中方法對(duì)更新后的檔案集進(jìn)行處理，保證檔案集中個(gè)體數(shù)量n≤Nrep。

(7)t=t+1，若t>T，優(yōu)化結(jié)束，輸出檔案集；否則，轉(zhuǎn)入步驟(4)。

3 實(shí)例研究

本文以某大型抽水蓄能電站為例，機(jī)組在t=0 s時(shí)刻受到+2%頻率階躍擾動(dòng)，利用HNMOPSO算法對(duì)機(jī)組正常水頭和低水頭工況下的FOPID控制參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，并與PID參數(shù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，闡述FOPID控制多目標(biāo)優(yōu)化策略的有效性和優(yōu)越性。該抽水蓄能電站額定水頭工況下，上游水位735 m，下游水位181 m，機(jī)組轉(zhuǎn)速500 rad/min，流量7.51 m3/s，導(dǎo)葉開度3.58°。低水頭工況下，上游水位716 m，下游水位181 m，機(jī)組轉(zhuǎn)速500 rad/min，流量8.17 m3/s，導(dǎo)葉開度4.45°。

此外，水泵水輪機(jī)模型中，全特性曲線改進(jìn)Suter變換參數(shù)為：k1=10，k2=0.9，Cy=0.2，Ch=0.5。液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型中，放大系數(shù)k0=7，主接力器時(shí)間常數(shù)Ty=0.2，主配壓閥時(shí)間常數(shù)Ty1=0.05，隨動(dòng)裝置死區(qū)設(shè)置為0.013 7，主接力器限幅環(huán)節(jié)最小、最大行程相對(duì)值分別設(shè)置為0、1.12，主接力器限速環(huán)節(jié)上、下限相對(duì)值分別設(shè)置為0.012 44、-0.007 47。發(fā)電機(jī)及負(fù)載模型中，機(jī)組慣性時(shí)間常數(shù)Ta=8.503，發(fā)電機(jī)組空載狀態(tài)自調(diào)節(jié)系數(shù)en=0。HNMOPSO算法中，算法迭代次數(shù)T=300，群體規(guī)模N=50，檔案集規(guī)模Nrep=30，慣性系數(shù)w=0.4，慣性衰減系數(shù)wdamp=0.9，權(quán)重系數(shù)c1=c2=2，初始鄰域搜索步長(zhǎng)L0=0.4、待優(yōu)化變量Xi的尋優(yōu)上、下限分別為BU=[10，10，10，2，2]、BL=[0，0，0，0，0]。

表1 典型控制方案參數(shù)

優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。在PID和FOPID的Pareto最優(yōu)解集中分別選取3個(gè)解作為典型方案，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)如表2所示。

圖4 HNMOPSO多目標(biāo)優(yōu)化前沿

將表2中的典型方案控制參數(shù)代入精細(xì)化模型，求解可得對(duì)應(yīng)的機(jī)組轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，如圖5所示。

通過分析表2數(shù)據(jù)、圖4中的Pareto前沿以及

圖6中的機(jī)組轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可得出以下結(jié)論：

(1)一組控制參數(shù)無法同時(shí)保證不同水頭下的控制性能。由圖4可知，在方案A2對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)作用下，機(jī)組的低水頭ITAE指標(biāo)較小，即控制效果較好，但額定水頭ITAE指標(biāo)較大，即控制品質(zhì)較差；在方案C2對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)作用下，機(jī)組的低水頭ITAE指標(biāo)較大，控制效果較好，但額定水頭ITAE指標(biāo)較小，控制品質(zhì)較高。由此可見，一組固定不變的控制參數(shù)具有很強(qiáng)的工況局限性；

(2)可通過略微犧牲額定水頭下的控制性能，提升機(jī)組低水頭工況下的控制品質(zhì)。由圖4中的優(yōu)化結(jié)果可知，通過折衷的方法可大幅提升機(jī)組在低水頭工況下的控制品質(zhì)，即選擇方案B2。圖5c-f中的綠色實(shí)線分別為方案B2和C2對(duì)應(yīng)的機(jī)組轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程，相較于方案C2，方案B2在稍增加機(jī)組額定水頭工況轉(zhuǎn)速超調(diào)的前提下，抑制了機(jī)組低水頭工況下轉(zhuǎn)速持續(xù)振蕩，大幅提升了機(jī)組在低水頭工況下的控制品質(zhì)；

(3)FOPID相較于PID控制具有更優(yōu)異的控制品質(zhì)。由圖4可知，F(xiàn)OPID對(duì)應(yīng)的Pareto前沿位于PID的左下方，具有更小的ITAE指標(biāo)，更加靠近真實(shí)前沿。此外，觀察從圖5中機(jī)組在不同水頭下的轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線可知，F(xiàn)OPID控制器作用下的機(jī)組動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線相較于PID具有更小的超調(diào)和更短的穩(wěn)定時(shí)間。

4 結(jié) 論

為提升抽水蓄能機(jī)組在低水頭工況下的控制品質(zhì)，本文提出了基于抽水蓄能機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)精細(xì)化模型的分?jǐn)?shù)階PID控制多目標(biāo)優(yōu)化策略，取得了良好的效果，并得出以下結(jié)論：

(1)本文建立的抽水蓄能機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)精細(xì)化模型能充分反映過水系統(tǒng)、水泵水輪機(jī)構(gòu)非線性，更接近于電站實(shí)際運(yùn)行狀況，從而精確地描述抽蓄機(jī)組低水頭工況下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程。

(2)本文提出的抽水蓄能機(jī)組低水頭工況分?jǐn)?shù)階PID控制多目標(biāo)優(yōu)化策略提升了機(jī)組在低水頭工況下的控制品質(zhì)。

圖5 典型方案轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程

(3)通過HNMOPSO算法獲得的Pareto最優(yōu)方案集，能有效地指導(dǎo)抽水蓄能電站機(jī)組低水頭工況下控制優(yōu)化，從而為機(jī)組的穩(wěn)定運(yùn)行提供有力的技術(shù)支持。