陳鳳翔 曹功輝 汪禮勝

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系，湖北 武漢 430070)

一維勢阱是量子力學(xué)中最簡單最基本的模型，在量子力學(xué)教學(xué)和科研過程中起著基礎(chǔ)性作用[1]。其理論結(jié)果在許多實際系統(tǒng)中也得到了很好的應(yīng)用，比如在低維量子系統(tǒng)(如量子點、量子面、量子線等)中[2]。但作為量子力學(xué)中的基本方程，薛定諤方程[3]的求解卻并不簡單，在《量子力學(xué)》課程的教學(xué)過程中，除了一維無限深勢阱、一維諧振子勢等特殊一維情形有解析解外，一般情形很難求解。即使對于處在一維有限深勢阱中的運動的粒子，當其處于束縛態(tài)時，由于確定其能級的是超越方法，無法具體給出它們的能級的解析表達式和歸一化波函數(shù)[4]。

薛定諤方程的求解可分為解析法和數(shù)值法兩種，解析法主要有WKB法、變分法等，數(shù)值法有打靶法[5]和有限元(FEM)法等。作為一種有益的探索，本文以處理多層光波導(dǎo)問題的轉(zhuǎn)移矩陣(TM)法為算法，求解粒子在不同一維有限深勢阱中運動的能量本征值，并利用Matlab作為計算工具，繪制出對應(yīng)的波函數(shù)圖像。采用TM方法計算，通過不同勢阱的設(shè)置，可以得到定性的準解析規(guī)律性結(jié)論，為解釋實驗現(xiàn)象提供重要的理論依據(jù)。而且，在《量子力學(xué)》課程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可借助不同勢阱的計算分析將理論學(xué)習(xí)進行拓展，更直觀更透徹地理解一維勢阱相關(guān)方面的知識點，加深對相關(guān)物理概念的理解。

1 轉(zhuǎn)移矩陣法

1.1 算法應(yīng)用依據(jù)

轉(zhuǎn)移矩陣法起源于光學(xué)，用于計算多層薄膜介質(zhì)的反射率和透射率。在光波導(dǎo)技術(shù)中，轉(zhuǎn)移矩陣法用來建立不同介質(zhì)層間的場分布聯(lián)系。而經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)：不含時的薛定諤方程與平板波導(dǎo)的波動方程在形式上是一致的；同時一維勢阱模型與平板波導(dǎo)模型相類似，因而轉(zhuǎn)移矩陣法也能夠用于解決一維有限深勢阱問題[6]。

平板波導(dǎo)的波動方程為[7]

(1)

其中k0=2π/λ，是光在真空中的傳播常數(shù)，Ey為y方向的電場，β為電磁場沿z方向的傳播常數(shù)，nj對應(yīng)于波導(dǎo)中不同層的折射率，j=0,1,2。

不含時的一維薛定諤方程形式為

其中V(x)表示勢能，m為粒子質(zhì)量，E和ψ分別代表粒子的能量本征值和本征函數(shù)，上式經(jīng)過變形，有：

(2)

對比方程(2)與方程(1)即可發(fā)現(xiàn)：這兩個方程在形式上是一致的，方程(2)中的本征函數(shù)ψ即對應(yīng)方程(1)中的電場強度Ey，因此兩個方程可采用相同的方法求解。

按照波動光學(xué)理論，光波是電磁橫波，光波在空間任意位置的電磁場強度及所在介質(zhì)性能之間的聯(lián)系都是通過Maxwell方程組和物質(zhì)方程建立，電磁波在兩種介質(zhì)形成的界面上反射和透射時的振幅反射因數(shù)和透射因數(shù)均可以由菲涅耳公式確定。若是一個多界面的薄膜系統(tǒng)，則根據(jù)以下兩點[8]：(1)在每一界面處運用電磁場邊界條件，將同一界面兩側(cè)的場分布聯(lián)系起來；(2)利用與電磁場傳播相伴隨的相位差，將同一膜層上下兩界面內(nèi)側(cè)的場分布聯(lián)系起來，可將多界面系統(tǒng)看作是入射介質(zhì)與薄膜、基底形成的等效介質(zhì)之間的界面。將以上思路應(yīng)用到任何一個復(fù)雜的薄膜系統(tǒng)，此時系統(tǒng)中光反射率和透射率問題，都可以通過其等效界面對應(yīng)的等效介質(zhì)進行計算。等效介質(zhì)的光譜特性可以采用一個特征矩陣來表示，該矩陣也稱之為轉(zhuǎn)移矩陣。

非對稱平板波導(dǎo)的模型如圖1所示。通常來說折射率有n1>n0>n2，導(dǎo)波光可被約束在導(dǎo)波層中進行傳播。將導(dǎo)波光類比為勢場中運動的粒子，粒子會被約束在勢能較低處運動，則導(dǎo)波層可看作勢阱中勢能低的地方，襯底層和覆蓋層可看作勢能相對較高的地方。從這一角度看，勢阱中粒子運動的模型和波導(dǎo)中導(dǎo)波光的傳播模型是一致的?；谝陨戏治觯蓪⑥D(zhuǎn)移矩陣法應(yīng)用到不含時薛定諤方程的求解。而在實際應(yīng)用中，例如超晶格量子阱，雖然由能隙不同的材料組成可以形成復(fù)雜的勢阱，但系統(tǒng)的基本特征完全可以通過有限深勢阱問題獲得很好的理解[2]。

圖1 非對稱平板波導(dǎo)模型

1.2 建模與求解

對方程(1)的求解，首先選取兩個特解E1(x)和E2(x)，使之滿足E1(0)=E′2(0)=1和E′1(0)=E2(0)=0。則方程(1)的通解可設(shè)為E1(x)和E2(x)的線性疊加，即

Ey(x)=C1E1(x)+C2E2(x)

(3)

在區(qū)間(0，d)界面上，根據(jù)(3)式可給出場分布及其導(dǎo)數(shù)，建立0-d界面上的轉(zhuǎn)移關(guān)系：

(4)

(5)

可以看出，轉(zhuǎn)移矩陣僅和區(qū)間內(nèi)的折射率分布、傳播常數(shù)以及d有關(guān)。借助轉(zhuǎn)移矩陣M，界面x= 0和x=d處的電磁場分布建立起聯(lián)系。而利用矩陣逆陣的概念，可得反向傳遞關(guān)系，有：

(6)

由于矩陣M及其逆陣是互為逆矩陣的關(guān)系，通常兩者都被稱為轉(zhuǎn)移矩陣。

轉(zhuǎn)移矩陣法理論上可以求解任意的一維勢阱，一維勢阱的基本型就是一維方勢阱或一維類方勢阱。對于基本的一維方勢阱，勢能分布如圖2所示。

圖2 一維方勢阱

對應(yīng)束縛態(tài)的波函數(shù)為[7]

(7)

其中

(8)

由轉(zhuǎn)移矩陣理論，波函數(shù)ψ(x)及其一階導(dǎo)數(shù)ψ′(x)應(yīng)滿足矩陣方程

(9)

根據(jù)束縛態(tài)波函數(shù)以及一維方勢阱勢能分布，可以得到波函數(shù)邊界條件

(10)

將邊界條件代入矩陣方程并進行一些簡單的變換，就可得到方程

(11)

求解方程(11)即可獲得粒子的能量E和相應(yīng)的波函數(shù)ψ(x)。

圖3 一維任意勢阱

根據(jù)以上算法，可將一維方勢阱推廣到任意的一維任意勢阱。對于一維任意勢阱，其勢能分布如圖3所示。在x<0和x>d的區(qū)域，波函數(shù)已衰減到足夠小，勢場的變化帶來的影響微乎其微，因此可在這兩點截斷，考慮x<0時，V(x)=V0，x>d時，V(x)=V2(V0，V2均為有限值)。在0

(12)

于是有

(13)

若在0E，即勢場能量高于粒子能量，此時可定義

κi=iαi

(14)

利用恒等式

sin(ix)=isinh(x),cos(ix)=cosh(x)

則無需改變運算規(guī)則，同樣可利用轉(zhuǎn)移矩陣方法運算。可以發(fā)現(xiàn)計算過程中微元細分得越多，得到的能量本征值和波函數(shù)就越精確。

2 四種一維有限深勢阱計算結(jié)果

圖4給出了采用Matlab計算的流程圖。對于不同的有限深勢阱，在勢阱形狀參數(shù)設(shè)定后，可根據(jù)方程(11)求解粒子能量E值，如果E值滿足束縛態(tài)條件，則繼續(xù)運行得到勢阱中的波函數(shù)和粒子的位置分布概率圖示。

圖4 一維有限深勢阱中波函數(shù)、位置分布概率圖像繪制流程圖

2.1 一維對稱有限深勢阱

圖5(a)為一維對稱有限深方勢阱，圖中勢阱為2nm寬，兩邊勢壘高度為2eV，勢阱內(nèi)以不同顏色的線從低到高分別來表示n=1,2,3所對應(yīng)的基態(tài)能量和激發(fā)態(tài)能量。圖5(b)和圖5(c)則分別給出了相對應(yīng)能級的波函數(shù)和位置分布概率。在實際物理問題中，微觀粒子可以被勢阱所束縛，但勢阱并不是無限深，而是幾個電子伏的有限深勢阱。從圖5中結(jié)果可以看出：有限深勢阱中粒子的能量仍然是離散化的；在基態(tài)情況下，微觀粒子最可能的位置仍然是位于勢阱正中。此結(jié)果表明，無限深勢阱雖是一個理想模型，但在一定條件下，很多系統(tǒng)都可以抽象為無限深勢阱問題來處理。但有限深勢阱結(jié)果和無限深勢阱結(jié)果仍略有不同。由于微觀粒子并不能穿透無限深勢阱，因此在無限深勢阱中粒子波函數(shù)表現(xiàn)為在邊界上截斷的正弦波，而有限深勢阱中，無論是處于基態(tài)還是激發(fā)態(tài)，粒子均有一定幾率穿出勢阱，粒子波函數(shù)延續(xù)超出勢阱邊界，而且隨著粒子能量的增加，穿出勢阱的概率逐漸增大。

2.2 一維不對稱有限深勢阱

在三層材料體系中，若是左右兩邊生長的薄層材料不一樣，則為不對稱有限深勢阱，如常見的非對稱平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)。圖6(a)給出了不對稱有限深勢阱的典型結(jié)構(gòu)，為便于與圖5結(jié)果對比，勢阱仍設(shè)置為2nm寬，但左勢壘高度降為1eV，而右勢壘高度保持為2eV。圖6(b)給出n=1,3,5時的粒子波函數(shù)結(jié)果，可以看出：當粒子能量較低時，如n=1,3時，此時不對稱勢阱對粒子的波函數(shù)并無太大影響；而當粒子能量較高，如n=5時，粒子能量高于左勢壘，此時的波函數(shù)連續(xù)進入左勢壘，類似波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的“輻射?！?。而從圖6(c)來看，不對稱勢阱對粒子的位置分布概率也有影響，n=1基態(tài)時位置分布概率不對稱情形并不明顯，但隨著能量的升高，如n=3時，位置分布概率的不對稱性明顯增加，粒子進入低勢壘側(cè)的幾率增大，

圖6 一維不對稱有限深勢阱結(jié)果演示(a) 勢阱； (b) 波函數(shù)； (c) 位置分布概率

而對于n=5，粒子有更高的概率存在于低勢壘中。

2.3 一維類三角勢阱

超晶格量子阱物理自20世紀70年代以來得到了長足的發(fā)展，不同形式的載流子的運動規(guī)律及在外場作用下的輸運問題得到較好的研究[9]。在半導(dǎo)體器件中，單個異質(zhì)界面，如MOS結(jié)構(gòu)中Si/SiO2，GaAs/AlGaAs界面附近，載流子被限制在一很窄的勢阱中，通常將這類勢阱稱為類三角量子阱，這是在電子器件問題中最常遇到的情形[10]，同樣可以采用TM理論來討論類三角勢阱中的波函數(shù)分布。

圖7 一維類三角勢阱結(jié)果演示(a) 勢阱； (b) 波函數(shù)； (c) 位置分布概率

圖7給出了一維類三角勢阱的形式、波函數(shù)與位置分布概率的演示，給出的能級分別為n=1,2,3。從圖7(a)來看，此時勢阱中能級分布并不是均勻的，隨能級升高，能級間的能量間隔逐漸減小。在圖7(b)中，粒子的波函數(shù)在勢阱左端全部為零，這是因為在實際的Si/SiO2界面，勢壘高度可到3eV，波函數(shù)向勢壘區(qū)滲入的影響完全可以忽略，效果類似無限深勢阱中的“剛性壁”。而從圖7(c)來看，隨能級升高，粒子的分布概率呈準周期性的振蕩，振蕩周期越來越大，振蕩幅度也越來越大，粒子很容易穿出右側(cè)勢阱而到達勢阱外。對比分析類三角勢阱和方勢阱，可以發(fā)現(xiàn)：方勢阱的底部水平，因此能量一定時德布羅意波長是個常數(shù)，對應(yīng)波函數(shù)相鄰兩個節(jié)點的間距相等，這滿足正弦函數(shù)的數(shù)學(xué)表征[9]；而對于類三角勢阱，勢阱底部從左到右上升，粒子的能量與勢能之差減小，因此能量一定時德布羅意波長從左到右不斷增大，波函數(shù)相鄰兩個節(jié)點的間距越來越大，振蕩周期就越來越大。

2.4 一維有限對稱雙階梯勢阱

在半導(dǎo)體多層材料體系中，不同材料間的緩沖層設(shè)計可用來減少材料間的晶格失配，降低材料的表面、界面復(fù)合，形成的雙面異質(zhì)結(jié)的能帶結(jié)構(gòu)，則對應(yīng)圖8(a)中的對稱雙階梯勢阱，也可以將它視為一個簡化的雙勢阱模型[11]。

圖8 一維有限雙階梯勢阱結(jié)果演示(a) 勢阱； (b) 波函數(shù)； (c) 位置分布概率

圖8(b)中給出了n=1,3,5時的波函數(shù)演示結(jié)果。從圖(b)中可以看出，在對稱勢阱中，波函數(shù)的分布始終是對稱的。當n=5時，粒子的相應(yīng)能量高于較低勢阱，此時波函數(shù)連續(xù)進入了中間勢阱。而從圖8(c)的位置分布概率來看，此時粒子有更高的概率進入在中間勢阱中。

3 總結(jié)

本文將處理光導(dǎo)波問題的TM法成功運用到求解一維有限深勢阱的不含時薛定諤方程中，得到了粒子在不同勢阱內(nèi)運動的能量本征值，并給出了粒子波函數(shù)和位置分布概率的圖像，直觀地反映出粒子在勢阱內(nèi)的分布情況。借助Matlab強大的計算功能，可根據(jù)實際的物理問題和物理圖像，對四種不同的一維有限深勢阱進行設(shè)置，直觀地顯示不同勢阱中的計算結(jié)果，這對學(xué)生學(xué)習(xí)《量子力學(xué)》是一個很好的輔助應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生更深入地理解粒子在勢場內(nèi)的位置分布概率、運動行為等，加深對量子知識的理解。