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        Hilbert空間中逼近對(duì)偶框架的構(gòu)造

        2020-06-12 01:54:24倪德果楊守志
        關(guān)鍵詞:對(duì)偶實(shí)數(shù)算子

        倪德果,江 震,楊守志

        (汕頭大學(xué)理學(xué)院,廣東 汕頭 515063)

        0 引言

        1952年,Duffin和Schaeffer[1]在研究非調(diào)和分析問題時(shí),提出了框架的概念.但直到1986年,Daubechies等人的工作才使得人們開始真正地關(guān)注到框架理論.框架作為基的推廣,由于它的冗余性,使得框架的設(shè)計(jì)更加地靈活,從而比基能夠更好地解決信號(hào)處理和傳輸過程中產(chǎn)生的一些問題,因而框架理論在信號(hào)處理,無線通信等領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用和發(fā)展.

        經(jīng)過學(xué)者們多年的努力,框架理論取得了豐碩的成果,如:Daubechies和Bin[2]研究了小波框架的典范對(duì)偶框架,Gr?chenig[3]提出了Banach空間上對(duì)偶框架的概念.但借助框架的典范對(duì)偶框架去重構(gòu)信號(hào)要涉及到求框架算子的逆算子,通常求逆算子的運(yùn)算量很大或者無法進(jìn)行.對(duì)于借助于框架的對(duì)偶框架重構(gòu)信號(hào),計(jì)算框架的對(duì)偶框架也是較為復(fù)雜的[4].學(xué)者們開始尋求方法去逼近對(duì)偶框架,見文獻(xiàn)[5-6],Christensen等[7]人提出了逼近對(duì)偶框架的概念和一些構(gòu)造方法.近年來很多學(xué)者也對(duì)逼近對(duì)偶框架的構(gòu)造和性質(zhì)進(jìn)行了研究,如:Khosravi[8]研究了g-框架的逼近對(duì)偶框架,Javanshiri[9]研究了Hilbert空間上逼近對(duì)偶框架的一些性質(zhì),張偉[10]研究了逼近對(duì)偶Hilbert-Schmidt框架等.

        本文在第一部分回顧了框架理論的一些基礎(chǔ)知識(shí).在第二部分得到了構(gòu)成逼近對(duì)偶框架的一些充分條件和構(gòu)造方法,首先研究了利用框架的倍數(shù)去構(gòu)造逼近對(duì)偶框架.如果是框架,的對(duì)偶框架或逼近對(duì)偶框架,通過適當(dāng)?shù)倪x擇實(shí)數(shù)a,b,之間可構(gòu)成逼近對(duì)偶框架,之間也可構(gòu)成逼近對(duì)偶框架.當(dāng)U,V是有界線性算子時(shí),之間可構(gòu)成逼近對(duì)偶框架,之間也可構(gòu)成一對(duì)逼近對(duì)偶框架.然后研究了通過兩個(gè)框架的線性組合構(gòu)造逼近對(duì)偶框架,包括框架的兩個(gè)對(duì)偶框架的線性組合,框架和它的對(duì)偶框架的線性組合,框架的對(duì)偶框架和框架的逼近對(duì)偶框架的線性組合,框架的兩個(gè)逼近對(duì)偶框架的線性組合及框架的對(duì)偶框架擾動(dòng)后得到的兩個(gè)序列的線性組合和原框架之間都可構(gòu)成一對(duì)逼近對(duì)偶框架.在第三部分,構(gòu)造了一些例子.文章中Hilbert空間簡(jiǎn)記為H,H到H上全體有界線性算子組成的集合簡(jiǎn)記為B(H).

        1 預(yù)備知識(shí)

        首先回顧一下Hilbert空間中有關(guān)框架的基礎(chǔ)知識(shí).

        定義1.1設(shè)是Hilbert空間H上的序列,如果存在常數(shù)A,B>0,對(duì)于任意的f∈H,使得

        如果{fk}∞k=1是 Bessel序列,定義 T 是的合成算子,有T算子是線性的,有界的,且.定義 T*是的分析算子,定義S是框架算子,有如果是 Bessel序列,定義U是的合成算子,定義U*是的分析算子,定義V是復(fù)合框架算子,有

        定義1.2設(shè)是Hilbert空間H上的Bessel序列,如果對(duì)于任意的f∈H,使得

        其中,

        稱上式為完美重構(gòu).

        定義1.3設(shè)是Hilbert空間H上的Bessel序列,如果存在0≤ε<1,對(duì)于任意的f∈H,使得

        2 逼近對(duì)偶框架的充分條件

        2.1 利用框架乘以系數(shù)構(gòu)造

        在文獻(xiàn)[11]中,Azandarani給出了這樣的一個(gè)論述,設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基,如果任意實(shí)數(shù)0<a<2,則的逼近對(duì)偶框架.當(dāng)是框架時(shí),a需要滿足什么條件,可以構(gòu)成一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        定理2.1[12]設(shè)是Hilbert空間H上的框架,上、下框架界分別為B、A,且A、B>0,框架算子記為S,如果任意實(shí)數(shù)那么的逼近對(duì)偶框架.

        由 Gr?chenig[13]91,(1-aB)I≤I-aS≤(1-aA)I.

        由于

        所以

        通常顯式構(gòu)造對(duì)偶框架的方法[14]159較為復(fù)雜,而在定理2.1中,僅通過框架乘以一個(gè)系數(shù)就構(gòu)造出了一對(duì)逼近對(duì)偶框架.我們可以通過調(diào)整a,趨于完美重構(gòu).當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)Azandarani在文獻(xiàn)[11]中的論述是該定理的一個(gè)推論.我們可以看到Christensen在文獻(xiàn)[7]和Javanshiri在文獻(xiàn)[9]中的論述也是該定理的推論.

        推論2.2設(shè)是 Hilbert空間的框架,B、A 是的上、下框架界,則是的逼近對(duì)偶框架.

        推論2.3設(shè)是Hilbert空間中的框架,上框架界為M,則的逼近對(duì)偶框架.

        定理2.4設(shè)任意非零實(shí)數(shù)0<ab<2,設(shè)是Hilbert空間中的框架,上、下框架界分別為B,A,的對(duì)偶框架,則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        由于對(duì)偶框架是逼近對(duì)偶框架的特殊情況,于是當(dāng)ab=1時(shí),得到構(gòu)成一對(duì)對(duì)偶框架.

        推論2.5在定理2.4的條件下,當(dāng)ab=1時(shí),是一對(duì)對(duì)偶框架.

        定理2.6設(shè)任意非零實(shí)數(shù)a,b,且ab=1,是 Hilbert空間中的框架,的逼近對(duì)偶框架,則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        定理2.7設(shè)是Hilbert空間中的框架,的對(duì)偶框架,U、V∈B(H),且,則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        推論2.8設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基,U、V是B(H)中的可逆算子,當(dāng),則是Riesz基,并且構(gòu)成一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        推論2.9設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基,U、V是B(H)中的滿射算子,當(dāng),則是框架,并且構(gòu)成一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        我們通過Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基和有界線性算子,構(gòu)造出了一對(duì)逼近對(duì)偶Riesz基和逼近對(duì)偶框架.

        定理2.10設(shè)是 Hilbert空間中的框架,的逼近對(duì)偶框架,V 是和的復(fù)合框架算子,U是B(H)中的一個(gè)酉算子,且U*和V可交換,則和是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        定理2.11設(shè)是 Hilbert空間中的一對(duì)逼近對(duì)偶框架,U、V∈B(H),a,b是非零實(shí)(復(fù))數(shù),當(dāng)U=aI,V=bI時(shí),是一對(duì)逼近對(duì)偶框架等價(jià)于和是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        2.2 利用兩個(gè)框架的線性組合構(gòu)造

        這一部分我們將研究通過兩個(gè)框架的線性組合構(gòu)造逼近對(duì)偶框架,首先研究地是通過兩個(gè)對(duì)偶框架的線性組合去構(gòu)造逼近對(duì)偶框架.

        定理2.12設(shè)任意非零實(shí)數(shù)是 Hilbert空間中的框架,的兩組對(duì)偶框架,hk=agk+bg'(kk=1,2,3,…),如果0<a+b<2,則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        證明 由題意得,

        由于對(duì)偶框架是逼近對(duì)偶框架的特殊情況,所以當(dāng)a+b=1時(shí),我們得到框架和它的兩組對(duì)偶框架的線性組合之間構(gòu)成是一對(duì)對(duì)偶框架.

        推論2.13在定理2.12的條件下,如果a+b=1,則是一對(duì)對(duì)偶框架.

        定理2.14設(shè)是Hilbert空間中的框架,框架算子記為S,的對(duì)偶框架,hk=fk+g(kk=1,2,3,…),且滿足S<1,則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.證明 已知是 Hilbert空間中的框架,易知是 Hilbert空間中的 Bessel序列.

        定理2.15設(shè)是 Hilbert空間中的框架,的對(duì)偶框架,的逼近對(duì)偶框架,hk=gk+g'(kk=1,2,3,…),則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        定理2.15的證明過程與定理2.14類似,這里不再贅述.在逼近對(duì)偶框架的定義中,我們把ε不妨看成趨于完美重構(gòu)的誤差上限,這樣得到了下面兩個(gè)定理.

        定理2.16設(shè)是 Hilbert空間的框架,的兩個(gè)逼近對(duì)偶框架,ε0記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限,ε1記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限,且滿足 ε0+ε1<2,則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        證明

        定理2.17設(shè)a,b是非零實(shí)(復(fù))數(shù),是 Hilbert空間的框架,的兩個(gè)逼近對(duì)偶框架,V1記為的復(fù)合框架算子,V2記為的復(fù)合框架算子,ε0記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限,ε1記為關(guān)于的趨于完美重構(gòu)的誤差上限,且滿足,則是一對(duì)逼近對(duì)偶框架.

        證明

        定理2.18設(shè)是Hilbert空間的框架,上、下框架界為A,B,的對(duì)偶框架,上框架界為是Hilbert空間中的序列,如果存在常數(shù)對(duì)于任意的有限序列{ck},使得

        成立,對(duì)于任意的f∈H,則有

        3 例子

        這一部分,我們給出了關(guān)于前面的部分定理的一些例子,并且我們發(fā)現(xiàn)可以通過調(diào)整a,b的取值,去趨于完美重構(gòu).

        考慮H=C2,標(biāo)準(zhǔn)正交基為{e1,e2},令

        例3.1構(gòu)造關(guān)于定理2.1的例子,取,計(jì)算驗(yàn)證得,的逼近對(duì)偶框架,且求得的ε不同,這也表明我們可以通過選擇適當(dāng)?shù)腶趨于完美重構(gòu).

        例3.2構(gòu)造關(guān)于定理2.4和推理2.5的例子,通過計(jì)算得,其典范對(duì)偶框架為

        例3.3構(gòu)造關(guān)于定理2.12和推論2.13的例子,通過文獻(xiàn)[14]159的方法,我們構(gòu)造出了的一個(gè)對(duì)偶框架為取另一個(gè)對(duì)偶為當(dāng)取驗(yàn)證得構(gòu)成一對(duì)逼近對(duì)偶框架.當(dāng)取,驗(yàn)證得構(gòu)成一對(duì)對(duì)偶框架.

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