朱 平

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南洛陽(yáng) 471934)

在現(xiàn)實(shí)世界中， 各種干擾因素可能會(huì)改變事物的周期運(yùn)動(dòng)規(guī)律， 甚至使其周期性發(fā)生變化. 因此， 自然現(xiàn)象的概周期性研究比周期性更符合實(shí)際， 例如能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)日食以及月食發(fā)生的地點(diǎn)等信息.

在概周期函數(shù)的基礎(chǔ)上， 張傳義教授提出偽概周期函數(shù)， 該函數(shù)可分解為概周期函數(shù)與無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)間平均為零的函數(shù)之和[1]. 2006年， 針對(duì)偽概周期函數(shù)的擾動(dòng)部分， 在權(quán)函數(shù)ρ的作用下提出加權(quán)偽概周期函數(shù)[2]. 近年來(lái)， 加權(quán)偽概周期函數(shù)及其推廣已應(yīng)用到不同類(lèi)型的微分方程[3-4]. 但是當(dāng)兩個(gè)不等價(jià)的權(quán)函數(shù)共同作用時(shí)， 在均方意義下的加權(quán)偽概周期隨機(jī)過(guò)程尚未研究， 因此， 本文提出均方雙加權(quán)偽概周期隨機(jī)過(guò)程的定義， 并從不同角度研究其空間的等價(jià)性. 該研究具有重要的理論和實(shí)際意義.

1 基本知識(shí)

稱ρ為權(quán)函數(shù), 如果ρ局部可積且?guī)缀跆幪幋?/p>

于0, 所構(gòu)成的集合用U表示. 對(duì)r>0,定義

則下列定義成立.

定義1[3]連續(xù)隨機(jī)過(guò)程X∶R→L2(P,H)稱為是概周期的， 若對(duì)每ε>0,存在l(ε)>0,使得任意長(zhǎng)度為l(ε)的區(qū)間內(nèi)， 至少存在一個(gè)τ使得

記AP(R,L2(P,H))表示所有這樣的隨機(jī)過(guò)程構(gòu)成的集合.

定義2[4]令ρi,qi∈U∞, 稱均方連續(xù)有界的隨機(jī)過(guò)程X∶R→L2(P,H)是雙加權(quán)遍歷擾動(dòng)的， 如果

記PAP0(R,L2(P,H),ρ,q)為該類(lèi)隨機(jī)過(guò)程構(gòu)成的集合.

定義3稱隨機(jī)過(guò)程X∶R→L2(P,H)是雙加權(quán)偽概周期的， 若X=X1+X2, 其中

X1∈AP(R,L2(P,H)),

X2∈PAP0(R,L2(P,H),ρ,q).

記WPAP(R,L2(P,H),ρ,q)為所有這樣的隨機(jī)過(guò)程構(gòu)成的集合.

2 主要結(jié)果

對(duì)任意集合A， 用AC表示該集合在R中的補(bǔ)集， 則下列結(jié)論成立.

定理1令ρi,qi∈U∞， 且存在可測(cè)集A0∈R和常數(shù)mi,Mi>0(i=1,2)使得

則

WPAP(R,L2(P,H),ρ1,q1)=

WPAP(R,L2(P,H),ρ2,q2).

證明由定義3可知， 只需證

PAP0(R,L2(P,H),ρ1,q1)=

PAP0(R,L2(P,H),ρ2,q2).

(1)

因此

結(jié)合條件f∈PAP0(R,L2(P,H),ρ1,q1)、 (1)和

f∈PAP0(R,L2(P,H),ρ2,q2)

類(lèi)似地， 我們可證結(jié)論

PAP0(R,L2(P,H),ρ2,q2)?PAP0(R,L2(P,H),ρ1,q1).

定理2令ρi,qi∈U∞(i=1,2)， 且存在常數(shù)

0<α<1和可測(cè)集A0∈R, 使得

(2)

(3)

其中Ar={t∈R∶αr≤|t|≤r},

(4)

(5)

則

WPAP(R,L2(P,H),ρ1,q1)=

WPAP(R,L2(P,H),ρ2,q2).

證明由定義3可知， 只需證

PAP0(R,L2(P,H),ρ1,q1)=

PAP0(R,L2(P,H),ρ2,q2).

對(duì)任意的h∈PAP0(R,L2(P,H),ρ1,q1)， 令

利用Ar={t∈R∶αr≤|t|≤r},可得

(6)

通過(guò)計(jì)算， 則

利用(3)和(4)， 有

(7)

結(jié)合(6)和(7)， 可推出

因?yàn)?/p>

且

從而

即h∈PAP0(R,L2(P,H),ρ2,q2).

類(lèi)似地， 可證

PAP0(R,L2(P,H),ρ2,q2)?

PAP0(R,L2(P,H),ρ1,q1).

推論1. 令ρi,qi∈U∞(i=1,2)， 且存在常數(shù)

α>1和可測(cè)集A0∈R, 使得

其中Ar={t∈R∶r≤|t|≤αr},

則

WPAP(R,L2(P,H),ρ1,q1)=

WPAP(R,L2(P,H),ρ2,q2).