夏德銀,常海波

(北京控制與電子技術研究所,北京 100038)

1 引言

欠驅(qū)動機械系統(tǒng)是一類控制輸入個數(shù)小于系統(tǒng)自由度的控制系統(tǒng),它廣泛地存在于機器人、航空航天等各個領域,由于控制輸入個數(shù)的減小,較大地增加了系統(tǒng)的控制難度,因此它成為控制系統(tǒng)的研究熱點之一.針對欠驅(qū)動機械系統(tǒng),研究人員已經(jīng)提出了較多的控制方法,例如Spong等人[1–2]提出了基于能量的控制方法;Su等人[3]給出了PD部分反饋線性化的控制方法;Xia等人[4–6]分別設計了基于奇異避免的能量控制器、基于神經(jīng)網(wǎng)絡補償摩擦的奇異避免能量控制器以及基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡補償摩擦的奇異避免能量控制器等.

欠驅(qū)動航天器是一類具有強非線性和強耦合性的復雜機械系統(tǒng).針對欠驅(qū)動航天器的執(zhí)行機構出現(xiàn)故障或者缺失的狀況,已經(jīng)出現(xiàn)了較多有價值的研究成果.金磊等人[7]提出了線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR),用于實現(xiàn)三軸角速度的穩(wěn)定控制,其控制性能與初始姿態(tài)有一定的關系;黃興宏等人[8]設計了分段解耦的姿態(tài)控制器,每一步解耦的前提是前面分段的控制誤差要盡量地趨近于零;宋道喆等人[9]給出了零角動量逆最優(yōu)的穩(wěn)定控制器,對輸入不確定性具有一定的魯棒性;桂海潮等人[10]表明僅在帶有兩個非共軸的飛輪時,航天器姿態(tài)才有可能滿足局部可控,非光滑控制器才能使得航天器的姿態(tài)鎮(zhèn)定;陽洪等人[11]提出了反步控制器,只是所應用的運動學模型未考慮失控軸的角速度,給出的反步控制器存在奇異性,需要證明在奇異點姿態(tài)控制系統(tǒng)也是穩(wěn)定收斂的;鄭彥琴等人[12]給出了一種復雜的連續(xù)時變控制律,通過引入輔助變量和設計中間虛擬變量使得系統(tǒng)的參數(shù)趨于穩(wěn)定.

綜上所述,研究結果表明欠驅(qū)動軸角速度快速收斂是航天器姿態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定收斂的重要前提;具有奇異性的姿態(tài)系統(tǒng)控制器,需要證明在奇異點姿態(tài)控制系統(tǒng)也是穩(wěn)定收斂的.由此本文提出了一種奇異避免的反步非線性連續(xù)控制器:

1)基于欠驅(qū)動剛體航天器的動力學模型和利用(w,z)參數(shù)表述的運動學模型,考慮失控軸的角速度,設計了反步控制器,利用三通道之間的強非線性和強耦合性實現(xiàn)了驅(qū)動軸角速度和欠驅(qū)動軸角速度在較短的時間內(nèi)快速地收斂到穩(wěn)定狀態(tài);

2)通過構造合適的李雅普諾夫函數(shù),推導得到了奇異避免的非線性連續(xù)控制器,成功地避免了反步控制器的奇異性.

最終,為了檢驗本文提出的奇異避免的反步控制器的性能,另外進行了數(shù)值仿真實驗,實驗結果表明本文提出的控制器具有較好的控制性能.

2 數(shù)學模型

2.1 動力學模型

本文使用的航天器姿態(tài)動力學方程[12]如下所示:

其中:ω=[ωxωyωz]T表示航天器姿態(tài)角速度;?ω表示反對稱方陣;T=[TxTyTz]T表示控制力矩;J=diag{Jx,Jy,Jz}表示航天器轉(zhuǎn)動慣量.

為了不失一般性,假定剛體航天器繞Y軸的控制力矩Ty缺失,則航天器動力學方程轉(zhuǎn)化為如下形式:

其中:u1,u2表示航天器姿態(tài)系統(tǒng)的控制輸入,λ表示常數(shù),一般情況下λ0.則式(3)可以表示為如下形式:

2.2 運動學模型

本文以(w,z)參數(shù)[12]描述的航天器姿態(tài)系統(tǒng)運動學方程如下所示:

其中w1,w2,z表示航天器姿態(tài).

3 控制器設計

本文首先設計理想的姿態(tài)角速度ωxd,ωzd,其次在理想的姿態(tài)角速度的基礎上,推導得到奇異避免的反步控制器,完成航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.

3.1 ωxd,ωzd設計

為了便于設計理想的姿態(tài)角速度ωxd,ωzd,本文構造的李雅普諾夫函數(shù)如下所示:

由于V0為半正定函數(shù),對其求導可得

根據(jù)式(5)可得

將式(8)代入式(7)可知

將式(9)中的wx,wz利用理想角速度wxd,wzd代替,其中本文設計的理想姿態(tài)角速度的表達式如下所示:

注1δ>0表示極小正數(shù),此時式(10)中0,避免了wxd,wzd的奇異性.

注2k1>0,k2>0,k3>0,k4>0為正數(shù).

由式(9)–(10)可得

對式(11)進行簡化可得

注3由式(12)中0可知,在式(10)中理想的姿態(tài)角速度ωxd,ωzd的作用下,航天器姿態(tài)參數(shù)w1,w2,z收斂到穩(wěn)定狀態(tài).

3.2 奇異避免的反步控制器設計

根據(jù)式(10),為了推導得到奇異避免的反步控制器,完成航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定控制,本文重構的李雅普諾夫函數(shù)如下所示:

由式(8)可知

進一步推導得到

將式(10)代入式(16)可得

注4k5>0,k6>0為正數(shù).可得

注5由式(19)可知0,可知在本文給出的奇異避免的反步控制器的作用下,欠驅(qū)動剛體航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定.

4 仿真研究

為了檢驗本文提出的奇異避免的反步控制器(singularity avoidance back-stepping control,SABSC)的性能,將SABSC與欠驅(qū)動航天控制器的運動學和動力學模型組成閉環(huán)系統(tǒng)進行數(shù)值仿真分析.其中航天器硬件結構參數(shù)在表1中給出.SABSC的主要控制參數(shù)在表2中列出.

表1 航天器硬件結構參數(shù)值Table 1 Hardware structure parameter values of spacecraft

表2 SABSC參數(shù)值Table 2 Parameters of SABSC

在SABSC的作用下,假定航天器的初始姿態(tài)角速度均為零,初始參數(shù)分別為

航天器姿態(tài)系統(tǒng)輸出的角速度曲線等在圖1–2中給出.

圖1 w1(0)=?0.8 rad時航天器姿態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的變化曲線Fig.1 Parameters change curves of spacecraft attitude system when w1(0)=?0.8 rad

圖2 w1(0)=?2.0 rad時航天器姿態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的變化曲線Fig.2 Parameters change curves of spacecraft attitude system when w1(0)=?2.0 rad

由圖1可知,在本文提出的奇異避免的反步控制器(SABSC)的作用下,欠驅(qū)動剛體航天器的參數(shù)w1,w2,z,wx,wy,wz都在1 s的時間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài).其中驅(qū)動軸的姿態(tài)參數(shù)w1,z,wx,wz收斂到零,欠驅(qū)動軸的姿態(tài)參數(shù)w2,wy在三通道之間耦合控制力的作用下分別收斂到某個常值狀態(tài),并且隨著剛體航天器飛行狀態(tài)的不斷變化,繼續(xù)保持在這一狀態(tài)穩(wěn)定飛行,表明本文設計的SABSC具有較好的控制性能.

由圖2中航天器姿態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的變化曲線可知,當初始參數(shù)為(w1(0)w2(0)z(0))=(?2.0 2.0 2.0)rad時,在本文提出的SABSC的作用下,w1,w2,z,wx,wy,wz等參數(shù)也都在較短的時間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài),表明SABSC具有較好的控制品質(zhì),使得驅(qū)動軸和欠驅(qū)動軸的姿態(tài)參數(shù)具有較好的動態(tài)特性,快速地趨近并且保持在穩(wěn)定狀態(tài).

5 結論

本文主要研究了欠驅(qū)動剛體航天器姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問題,根據(jù)航天器姿態(tài)系統(tǒng)的動力學方程和利用(w,z)參數(shù)表述的運動學方程,本文提出了SABSC,當繞Y軸的控制力矩Ty失效時,用于完成航天器姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.由數(shù)值仿真的實驗結果可知,w1,w2,z,wx,wy,wz都在較短的時間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài),表明本文給出的SABSC 具有較好的快速性和收斂性.