姚蘇華 ,高國琴 ,高志強

(1.江蘇大學電氣信息工程學院,江蘇鎮(zhèn)江 212013;2.克利夫蘭州立大學電機工程與計算機科學系,俄亥俄州克里夫蘭市44115)

1 引言

目前汽車電泳涂裝輸送設備大多采用懸臂梁結(jié)構(gòu),為克服懸臂梁結(jié)構(gòu)承載能力不足的缺點,本課題組將并聯(lián)機構(gòu)引入輸送機,發(fā)明了一種并聯(lián)汽車電泳涂裝輸送機[1–2].輸送機包含兩個完全對稱的并聯(lián)機構(gòu),并聯(lián)機構(gòu)末端通過一對轉(zhuǎn)動副與一根連接桿的兩端連接,車體懸架固定在具有一個轉(zhuǎn)動自由度的連接桿上.輸送機構(gòu)作為閉鏈機構(gòu),機構(gòu)支鏈公共端連接點處的彈性剛度具有一定的極限,主動關(guān)節(jié)不協(xié)調(diào)易引發(fā)支鏈接觸處受力超出剛度允許范圍,導致塑性形變,輕則帶來機構(gòu)磨損,重則造成閉鏈解構(gòu),因此,從控制上保證輸送機構(gòu)每邊及兩邊主動關(guān)節(jié)位置協(xié)調(diào)性十分關(guān)鍵;而實際系統(tǒng)受到負載變化(如車型調(diào)整)、模型不準確、關(guān)節(jié)摩擦及流體阻力等內(nèi)外擾動綜合影響,而且上述擾動對各個主動關(guān)節(jié)位置輸出影響也不具有一致性,因此,在非一致的擾動作用下,如何通過控制實施保證主動關(guān)節(jié)位置協(xié)調(diào)性,是協(xié)調(diào)控制的核心難點.

解決協(xié)調(diào)控制問題,目前主要有同等控制[3]、主從控制[4]、虛擬主軸控制[5]、偏差耦合控制[6]及交叉耦合控制[7]等方案.其中交叉耦合控制由Koren Y首次提出[8],已被用于解決多軸系統(tǒng)[9–10]、移動機器人[11]、多機器人[12–13]、多關(guān)節(jié)靈巧手[14]及并聯(lián)機構(gòu)[15–17]等協(xié)調(diào)控制問題.而針對閉鏈機構(gòu),文獻[15–16]將交叉耦合控制與比例微分(proportional derivative,PD)控制或自適應控制結(jié)合;文獻[17]結(jié)合相鄰交叉耦合提出同步高階PD控制等等,綜合來看,交叉耦合控制沒有明確劃分不確定問題和協(xié)調(diào)控制問題的界限,這說明協(xié)調(diào)控制問題本身只是一類特殊的不確定問題,其特殊性在于:在擾動對輸出影響不一致的情況下,通過控制實現(xiàn)輸出穩(wěn)定一致.

解決不確定問題一般使用跟蹤誤差反饋,而交叉耦合控制解決協(xié)調(diào)控制這種特殊的不確定問題也可以使用耦合誤差反饋,如文獻[14,17].在文獻[10]所定義的耦合誤差中,跟蹤誤差與同步誤差的階是一致的,因此耦合誤差可以表示為一個非奇異矩陣與跟蹤誤差向量的左積.控制直接利用耦合誤差與跟蹤誤差這一線性關(guān)系,可以通過線性變換將建?？臻g中的協(xié)調(diào)控制問題轉(zhuǎn)化(描述)為耦合空間中的不確定(抗擾)問題.由此可見,協(xié)調(diào)控制要解決正是另一空間的不確定問題.

解決不確定問題的方法很多,滑?？刂凭褪瞧渲械囊环N.作為一類特殊的非線性控制,滑?？刂凭哂许憫俣瓤?、魯棒性好、實現(xiàn)簡單的優(yōu)點,但也存在抖振問題.文獻[18]提出將滑?？刂婆c非線性擾動觀測器(nonlinear disturbance observer,NDOB)結(jié)合,通過擾動觀測器減少不確定上界,從而減輕滑?？刂频亩墩?文獻[19]結(jié)合文獻[18],并與交叉耦合控制結(jié)合,也在一定程度上解決了并聯(lián)機構(gòu)主動關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)控制問題.然而,非線性擾動觀測器(NDOB)的主要功能是補償標稱模型誤差和外部擾動,設計需要植入標稱逆模型,當標稱模型較為復雜時,會降低控制計算的實時性.為簡化擾動觀測器設計,本文提出一種新型擾動觀測器,它借用擴張狀態(tài)觀測(extended state observer,ESO)[20]的計算結(jié)構(gòu),并使用估計誤差的比例、積分、微分(P,I,D)估計總擾動.它與滑模控制復合,不僅可以消除滑?？刂频亩墩?降低滑?？刂茖吔实倪x擇要求;更重要的還在于閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)統(tǒng)一設計的實現(xiàn),與帶寬參數(shù)化的結(jié)合,又能有效地解決控制參數(shù)的整定問題.

至此,本文后續(xù)安排如下:首先給出閉鏈機構(gòu)在建?？臻g和耦合空間描述;在耦合空間中提出擾動觀測器復合滑模的控制方法;給出穩(wěn)定性證明后提出帶寬參數(shù)化整定方法;在仿真和實驗的基礎(chǔ)上給出研究結(jié)論.

2 協(xié)調(diào)控制問題在不同空間中的描述

2.1 建?？臻g描述

電泳涂裝輸送機構(gòu)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示,文獻[21]通過拉格朗日法建立操作空間的動力學模型,然后將操作空間的動力學映射到關(guān)節(jié)空間,得到關(guān)節(jié)動力學模型

其中:D(t)為摩擦力項,D(t)=Fcsgnx+BcFc為庫侖摩擦力矩陣,Bc為粘度系數(shù)矩陣,輸出向量為x=[x1x2x3x4?1?2]T,xi,i=1,2,3,4分別為4個平移關(guān)節(jié)在位移,?j,j=1,2分別為兩個翻轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)逆時針轉(zhuǎn)動角度,F(t)為外界干擾項,包括空氣及槽液阻力等.

圖1 電泳涂裝輸送機構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of electro-coating conveyor

注1上述動力學模型建立時的隱性假設為支鏈在接觸點處的剛度為無窮大.超出剛度允許的高階動態(tài)無法通過模型體現(xiàn),一旦主動關(guān)節(jié)位置不協(xié)調(diào),依據(jù)標稱模型設計的低階控制器因難以抑制高階快變未建模動態(tài)影響,會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定.

設6個主動關(guān)節(jié)(4個平移關(guān)節(jié)和2個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié))的位置跟蹤誤差為

式中:xid(t),xi(t)分別為第i個平移關(guān)節(jié)在t時刻的期望位置和實際位置;?jd(t),?j(t)分別為第j個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)在t時刻的期望位置和實際位置.

在建?？臻g中,協(xié)調(diào)控制問題可以描述為通過控制實現(xiàn)目標即實現(xiàn)4個平移關(guān)節(jié)和2個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差分別一致收斂.

2.2 耦合空間描述

根據(jù)式(3)的協(xié)調(diào)控制目標,根據(jù)文獻[21],可將4個平移關(guān)節(jié)和2個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)視為2組智能體,每組智能體之間可以相互通信,因此,首先畫出兩組智能體的強連通圖,如圖2所示.

圖2 平移關(guān)節(jié)及旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的連通圖Fig.2 Connected graphs of translational and rotational joints

圖2對應的拉普拉斯矩陣(Laplacian matrix)為

定義同步誤差向量

其中:e=[ex1ex2ex3ex4e?1e?2]T,同步傳遞矩陣T=diag{Tx,T?}.考慮式(3)中的ex2和ex4取負號,為保證

成立,應該滿足

定義耦合誤差[14]

結(jié)合式(5)得

其中:kε=diag{kε1I4,kε2I2},kε1,kε2均為正的常數(shù),I表示單位矩陣.

定義耦合傳遞矩陣

由式(10)知Ts可逆,耦合誤差與跟蹤誤差滿足

線性關(guān)系.

其中:r1=Tsr,x1=Tsx.

由式(1)得

將式(14)代入式(13)后兩邊左乘Ts得

利用耦合傳遞矩陣Ts,主動關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)控制問題就轉(zhuǎn)化為解決耦合空間動態(tài)系統(tǒng)(15)的不確定問題,協(xié)調(diào)控制的目標就轉(zhuǎn)換為:通過設計τ1,使e1→0.

3 擾動觀測復合滑?？刂?/h2>

針對耦合空間的不確定問題,首先將式(15)轉(zhuǎn)化為積分串聯(lián)型

設計擾動觀測器

估計d2,使→d2.與文獻[15]采用觀測誤差積分估計總擾動不同,式(19)使用觀測誤差的非線性PID估計總擾動,擾動觀測器增益與ESO中3個反饋增益一致,對擾動信號的要求為:擾動及其擾動信號的導數(shù)有界[23].將代入式(17)得

針對式(21),定義滑模面

然后設計滑模控制律

其中ks=diag{ks1,…,ks6}.綜上可知,擾動觀測復合滑?？刂坡蔀?/p>

其中η0.

4 穩(wěn)定性證明

擴張狀態(tài)觀測器關(guān)于z1的狀態(tài)方程等價于非線性微分方程

其中eo=e1?z1.將式(25)代入式(19)得

聯(lián)立式(22)–(23)得

聯(lián)立式(17)(23)得

聯(lián)立式(19)(27)–(28)得

其中:

式(29)等價于

比較式(29)(33)得

注2滑模控制的切換增益ηO,放寬了滑?？刂魄袚Q增益一般要求ηsup|d|的條件,同時,切換項兩重積分的平滑作用是滑模抖振得以消除的根本原因.

注3式(30)揭示了擾動觀測復合滑?？刂频淖钥箶_本質(zhì)[22].

5 帶寬參數(shù)化整定

解決滑?？刂茀?shù)ks和擾動觀測器參數(shù)ki(i=1,…,3)的整定問題,是獲得高性能協(xié)調(diào)控制性能關(guān)鍵.由于本文新型擾動觀測器使用了fal型函數(shù),fal作為分段函數(shù),其第1段是線性的,第2段是非線性分數(shù)指數(shù)冪函數(shù)(使用大誤差小增益原理引入的類飽和保護行為[23],以防止系統(tǒng)超出執(zhí)行限制).在平衡點附近,擾動觀測器通常工作在第一段(線性區(qū)).由式(29)可知,系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

當η0,且式(35)滿足Hurwitz,則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.

為解決參數(shù)整定問題,不妨先設η=0,將式(22)代入式(35)并化簡得

由式(36)知系統(tǒng)各個通道的閉環(huán)特征多項式均為

注4為區(qū)分式(22)變量,需要強調(diào)式(37)中的s是拉普拉斯算子.

結(jié)合帶寬參數(shù)化[24]得

其中ωc,ωo分別為滑模控制器參數(shù)和擾動觀測器的帶寬.

求解式(38)得

注5滑?？刂破鲄?shù)ks=ωc意味滑模面的增益參數(shù)具有帶寬的物理意義,這也說明:在實際系統(tǒng)中使用滑模控制時,滑模面的設計應尊重有限帶寬[25]這一根本系統(tǒng)限制.

當η >0,等速趨近律滑模切換項迫使狀態(tài)趨向滑模面的趨近速率保持恒定,其代價在于控制量的幅值隨之增加.在實際系統(tǒng)中控制量一般受飽和約束,因此滿足η 0是實際系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定運行的必要條件.

6 仿真及實驗

在MATLAB/Simulink環(huán)境下進行系統(tǒng)仿真,步長取0.001 s,離散化采用ode1,仿真時間為16 s;為方便比較,與文獻[16]所設置的干擾保持一致,其中粘性系數(shù)矩陣、庫倫摩擦力矩陣、外部干擾及建模誤差分別取

將式(39)代入式(24),并取控制參數(shù)

式(41)中θi(i=1,2,3)取值根據(jù)文獻[20]直接得到,而δ的選擇在實際應用中應根據(jù)執(zhí)行器飽和限制條件取適當?shù)闹?本文仿真取δ=1.

選不同的η,檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性和滑模抖振情況.由于任意關(guān)節(jié)控制量輸出曲線特征相似,為便于描述,本文僅給出平移關(guān)節(jié)1在t∈[0,8]取不同η時的控制量曲線.為進一步評價系統(tǒng)末端執(zhí)行精度和主動關(guān)節(jié)同步精度,選擇跟蹤誤差的均方根誤差TRSME和同步誤差的均方根誤差SRSME分別用于評價跟蹤和同步性能[17].

如圖3所示,取η0時系統(tǒng)是穩(wěn)定的,控制量幅值隨η增大而增大,控制量平滑性好,控制量曲線中無明顯的云狀抖振區(qū)域.

圖3 平移關(guān)節(jié)1的控制量曲線Fig.3 Control curve of the first translational joint

表1列出η=0,5,10對應兩個指標的仿真數(shù)據(jù),η=0時,跟蹤精度最高,隨著η的提高,跟蹤精度有所下降,但同步性能幾乎不變,這說明新型擾動觀測器復合滑模的方案可以很好解決閉鏈機構(gòu)主動關(guān)節(jié)位置協(xié)調(diào)控制問題,與文獻[19]選擇傳統(tǒng)的非線性擾動觀測器結(jié)合雙冪次趨近律的滑?？刂频姆抡娼Y(jié)果對比后發(fā)現(xiàn),不僅兩項指標均獲得明顯提升,而且參數(shù)整定也更加簡便.

表1 同步與跟蹤性能指標Table 1 Synchronization &tracking performance indexes

結(jié)合圖1和表1可以看出,在同等條件下,當滑模切換增益為零時,系統(tǒng)幾乎以最小的能量代價獲得了最佳的性能.這一方面說明了擾動估計器具有優(yōu)越的擾動估計能力;而從另一方面來看,切換控制量的引入由于增加了擾動估計器的估計負擔,因而切換的存在并不一定有利于性能的提升.

為了驗證本文算法的有效性,在電泳輸送樣機平臺上進行了實驗,結(jié)合帶寬參數(shù)化法整定,實驗獲得的主動關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線如圖4所示,實驗取η=0的情形.在圖4中,前4張圖顯示的是4個主動平移關(guān)節(jié)的跟蹤誤差,最后兩張圖顯示的是翻轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差.平移關(guān)節(jié)和反轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)跟蹤精度等級分別達到10?3m與10?2rad.4個平移關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線除粗細存在細微差別之外(關(guān)節(jié)傳感器測量噪聲不一致性是造成跟蹤誤差曲線在粗細有所差別的主要原因),誤差曲線的形狀基本保持一致,由此可見主動關(guān)節(jié)的協(xié)調(diào)控制性能較好.

圖4 6個主動關(guān)節(jié)跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors of six active joints

7 結(jié)論

本文根據(jù)閉鏈機構(gòu)特點,利用耦合誤差與跟蹤誤差間的線性關(guān)系,將閉鏈機構(gòu)協(xié)調(diào)控制問題描述為耦合空間中不確定問題,并在耦合空間中設計了帶寬化擾動觀測復合滑模的控制算法.本文主要工作如下:

1)提出了一種新型非線性擾動觀測器,它保留非線性擴張狀態(tài)觀測器(NESO)的計算結(jié)構(gòu),并使用觀測誤差的P,I,D估計擾動;

2)結(jié)合穩(wěn)定性證明,研究擾動觀測復合滑模的閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)特征;

3)結(jié)合帶寬參數(shù)化法解決參數(shù)整定問題.

仿真和實驗表明,擾動觀測復合滑模的控制方案不但可以有效解決閉鏈機構(gòu)的協(xié)調(diào)控制問題,還具有參數(shù)整定容易的優(yōu)點,因而還具有較高的工程應用價值.

擾動觀測復合滑模、PID、自抗擾控制都具有狀態(tài)擴張能力,直接表現(xiàn)為對系統(tǒng)升階.系統(tǒng)的抗干擾能力強弱與控制對系統(tǒng)升階次數(shù)之間是否存在某種必然聯(lián)系,這是本文下一步要討論的問題.